SPSS主成分分析与因子分析[1]

第13章主成分分析与因子分析介绍：1、主成分分析与因子分析的概念2、主成分分析与因子分析的过程主成分分析与因子分析的概念需要与可能：在各个领域的科学研究中，往往需要对反映事物的多个变量进行大量的观测，收集大量数据以便进行分析寻找规律。多变量大样本无疑会为科学研究提供丰富的信息，但也在一定程度上增加了数据采集的工作量，更重要的是在大多数情况下，许多变量之间可能存在相关性而增加了问题分析的复杂性，同时对分析带来不便。如果分别分析每个指标，分析又可能是孤立的，而不是综合的。盲目减少指标会损失很多信息，容易产生错误的结论。因此需要找到一个合理的方法，减少分析指标的同时，尽量减少原指标包含信息的损失，对所收集的资料作全面的分析。由于各变量间存在一定的相关关系，因此有可能用较少的综合指标分别综合存在于各变量中的各类信息。主成分分析与因子分析就是这样一种降维的方法。主成分分析与因子分析是将多个实测变量转换为少数几个不相关的综合指标的多元统计分析方法直线综合指标往往是不能直接观测到的，但它更能反映事物的本质。因此在医学、心理学、经济学等科学领域以及社会化生产中得到广泛的应用。主成分分析与因子分析的概念（续）由于实测的变量间存在一定的相关关系，因此有可能用较少数的综合指标分别综合存在于各变量中的各类信息，而综合指标之间彼此不相关，即各指标代表的信息不重叠。综合指标称为因子或主成分（提取几个因子），一般有两种方法：特征值1累计贡献率0.8主成分分析实例P316－不旋转使用默认值进行最简单的主成分分析(默认为主成分分析法:Principalcomponents)例子P316：对美国洛杉矶12个人口调查区的5个经济学变量的数据进行因子分析，data13-01a，数据见下一张幻灯片）菜单：Analyze－DataReduction－FactorVariables：pop，School，employ，Services，house其他使用默认值（主成分分析法Principalcomponents，选取特征值1，不旋转)比较有用的结果：两个主成分(因子)f1,f2及因子载荷矩阵(ComponentMatrix)，根据该表可以写出每个原始变量（标准化值）的因子表达式：Pop0.581f1+0.806f2School0.767f1-0.545f2employ0.672f1+0.726f2Services0.932f1-0.104f2house0.791f1-0.558f2每个原始变量都可以是5个因子的线性组合，提取两个因子f1和f2，可以概括原始变量所包含信息的93.4%。f1和f2前的系数表示该因子对变量的影响程度，也称为变量在因子上的载荷。但每个因子（主成分）的系数(载荷)没有很明显的差别，所以不好命名。因此为了对因子进行命名，可以进行旋转，使系数向0和1两极分化，这就要使用选择项。洛衫矶对12个人口调查区的数据编号总人口中等学校平均总雇员数专业服务中等房价nopop校龄Schoolemploy项目数Serviceshouse1570012.82500270250002100010.96001010000334008.810001090004380013.61700140250005400012.8160014025000682008.3260060120007120011.440010160008910011.5330060140009990012.534001801800010960013.73600390250001196009.63300801200012940011.4400010013000因子分析实例322－旋转Rotation由于系数没有很明显的差别,所以要进行旋转(Rotation：method一般用Varimax方差最大旋转),使系数向0和1两极分化,例子同上菜单：Analyze－DataReduction－FactorVariables：pop，School，employ，Services，houseExtraction：使用默认值（method：Principalcomponents，选取特征值1）Rotation：method选VarimaxScore:Saveasvariables和DisplayfactorscoreCoefficientmatrix比较有用的结果：两个主成分(因子)f1,f2及旋转后的因子载荷矩阵(RotatedComponentMatrix)，根据该表可以写出每个原始变量（标准化值）的因子表达式：Pop0.01602f1+0.9946f2School0.941f1-0.00882f2employ0.137f1+0.98f2Services0.825f1+0.447f2house0.968f1-0.00605f2第一主因子对中等学校平均校龄,专业服务项目,中等房价有绝对值较大的载荷(代表一般社会福利-福利条件因子);而第二主因子对总人口和总雇员数有较大的载荷(代表人口-人口因子).P326比较有用的结果:因子得分fac1_1,fac2_1。其计算公式：因子得分系数和原始变量的标准化值的乘积之和（P326)。然后可以利用因子得分进行聚类p327（Analyze-Classify-HierarchicalCluster）。主成分分析实例P330－不旋转市场研究中的顾客偏好分析在市场研究中，常常要求分析顾客的偏好和当前市场的产品与顾客偏好之间的差别，从而找出新产品开发的方向。顾客偏好分析时常用到主成分分析方法（因子没有旋转）。例子P330：数据来自SAS公司，1980年一个汽车制造商在竞争对手中选择了17种车型，访问了25个顾客，要求他们根据自己的偏好对17种车型打分。打分范围0～9.9，9.9表示最高程度的偏好。data13-02a（17×25：17个case，25个变量V1-V25）菜单：Analyze－DataReduction－FactorVariables：V1-V25Extraction：method：PrincipalcomponentsExtract:Numberoffactors:3要三个主成分Score:Saveasvariables比较有用的结果：3个主成分及其因子载荷矩阵(ComponentMatrix)：第一主成分和第二主成分的载荷图（Loadingplots）比较有用的结果:因子得分fac1_1,fac2_1,fac3_1。然后可以利用因子得分进行各种分析：做偏好图：用fac1_1,fac2_1做散点图（Graphs-Scatter：X-fac1_1,Y-fac2_1）:第一主成分反映了车的产地，第二主成分反映了车的特性（质量、动力、座位数等）具体见P332-334补充：主成分分析和因子分析以下的讲义是吴喜之教授有关主成分分析和因子分析的讲义，我觉得比书上讲得清楚。主成分分析和因子分析汇报什么？假定你是一个公司的财务经理，掌握了公司的所有数据，比如固定资产、流动资金、每一笔借贷的数额和期限、各种税费、工资支出、原料消耗、产值、利润、折旧、职工人数、职工的分工和教育程度等等。如果让你向上面介绍公司状况，你能够把这些指标和数字都原封不动地摆出去吗？当然不能。你必须要把各个方面作出高度概括，用一两个指标简单明了地把情况说清楚。主成分分析每个人都会遇到有很多变量的数据。比如全国或各个地区的带有许多经济和社会变量的数据；各个学校的研究、教学等各种变量的数据等等。这些数据的共同特点是变量很多，在如此多的变量之中，有很多是相关的。人们希望能够找出它们的少数“代表”来对它们进行描述。本章就介绍两种把变量维数降低以便于描述、理解和分析的方法：主成分分析（principalcomponentanalysis）和因子分析（factoranalysis）。实际上主成分分析可以说是因子分析的一个特例。在引进主成分分析之前，先看下面的例子。成绩数据（student.sav）100个学生的数学、物理、化学、语文、历史、英语的成绩如下表（部分）。从本例可能提出的问题目前的问题是，能不能把这个数据的6个变量用一两个综合变量来表示呢？这一两个综合变量包含有多少原来的信息呢？能不能利用找到的综合变量来对学生排序呢？这一类数据所涉及的问题可以推广到对企业，对学校进行分析、排序、判别和分类等问题。主成分分析例中的的数据点是六维的；也就是说，每个观测值是6维空间中的一个点。我们希望把6维空间用低维空间表示。先假定只有二维，即只有两个变量，它们由横坐标和纵坐标所代表；因此每个观测值都有相应于这两个坐标轴的两个坐标值；如果这些数据形成一个椭圆形状的点阵（这在变量的二维正态的假定下是可能的）那么这个椭圆有一个长轴和一个短轴。在短轴方向上，数据变化很少；在极端的情况，短轴如果退化成一点，那只有在长轴的方向才能够解释这些点的变化了；这样，由二维到一维的降维就自然完成了。主成分分析当坐标轴和椭圆的长短轴平行，那么代表长轴的变量就描述了数据的主要变化，而代表短轴的变量就描述了数据的次要变化。但是，坐标轴通常并不和椭圆的长短轴平行。因此，需要寻找椭圆的长短轴，并进行变换，使得新变量和椭圆的长短轴平行。如果长轴变量代表了数据包含的大部分信息，就用该变量代替原先的两个变量（舍去次要的一维），降维就完成了。椭圆（球）的长短轴相差得越大，降维也越有道理。-4-2024-4-2024主成分分析对于多维变量的情况和二维类似，也有高维的椭球，只不过无法直观地看见罢了。首先把高维椭球的主轴找出来，再用代表大多数数据信息的最长的几个轴作为新变量；这样，主成分分析就基本完成了。注意，和二维情况类似，高维椭球的主轴也是互相垂直的。这些互相正交的新变量是原先变量的线性组合，叫做主成分(principalcomponent)。主成分分析正如二维椭圆有两个主轴，三维椭球有三个主轴一样，有几个变量，就有几个主成分。选择越少的主成分，降维就越好。什么是标准呢？那就是这些被选的主成分所代表的主轴的长度之和占了主轴长度总和的大部分。有些文献建议，所选的主轴总长度占所有主轴长度之和的大约85%即可，其实，这只是一个大体的说法；具体选几个，要看实际情况而定。•对于我们的数据，SPSS输出为•这里的InitialEigenvalues就是这里的六个主轴长度，又称特征值（数据相关阵的特征值）。头两个成分特征值累积占了总方差的81.142%。后面的特征值的贡献越来越少。TotalVarianceExplained3.73562.25462.2543.73562.25462.2541.13318.88781.1421.13318.88781.142.4577.61988.761.3235.37694.137.1993.32097.457.1532.543100.000Component123456Total%ofVarianceCumulative%Total%ofVarianceCumulative%InitialEigenvaluesExtractionSumsofSquaredLoadingsExtractionMethod:PrincipalComponentAnalysis.•特征值的贡献还可以从SPSS的所谓碎石图看出ScreePlotComponentNumber654321Eigenvalue43210•怎么解释这两个主成分。前面说过主成分是原始六个变量的线性组合。是怎么样的组合呢？SPSS可以输出下面的表。ComponentMatrixa-.806.353-.040.468.021.068-.674.531-.454-.240-.001-.006-.675.513.499-.181.002.003.893.306-.004-.037.077.320.825.435.002.079-.342-.083.836.425.000.074.276-.197MATHPHYSCHEMLITERATH