8北京市2013届中考数学二轮专题突破《代几综合题》(知识概括+典型例题点拨)

专题八┃北京中考代几综合题分析与预测专题八┃京考解读京考解读考情分析代数和几何型综合题是指以几何元素为背景构造未知量或者以代数知识为背景形成几何关系的综合题．涉及知识以函数与圆、方程，函数与三角形、四边形等相关知识为主，在方法上把解直角三角形、图形的变换、相似等与代数计算融合在一起，在能力考查上体现方程与函数的思想、转化思想、数形结合思想、分类讨论等数学思想方法.在北京中考试卷中，代几综合题通常出现在后两题，分值为7～8分左右，由2～3个小问组成.专题八┃京考解读年份分值考点2008～2012年北京第23题考点对比20087分函数图象的平移、确定一次函数解析式、二次函数解析式、相似三角形、等腰直角三角形的判定及性质20097分直角坐标系、一次函数、四边形、相似、最短距离问题专题八┃京考解读年份分值考点2008～2012年北京第23题考点对比20108分确定抛物线的解析式、等腰三角形的性质、分类讨论20117分一次函数综合题、函数图象平移、平行四边形的性质、圆周角定理、分类讨论20128分新定义、一次函数综合题、圆、最值问题专题八┃京考解读京考解读与指导►热考一坐标系中的几何问题例1[2012·北京]在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝－m－14x2＋5m4x＋m2－3m＋2与x轴的交点分别为原点O和点A，点B(2，n)在这条抛物线上.(1)求B点的坐标；(2)点P在线段OA上，从O点出发向A点运动，过P点作x轴的垂线，与直线OB交于点E，延长PE到点D，使得ED＝PE，以PD为斜边，在PD右侧作等腰直角三角形PCD(当P点运动时，C点、D点也随之运动)．①当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；专题八┃京考解读②若P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一个点Q从A点出发向O点作匀速运动，速度为每秒2个单位(当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动)．过Q点作x轴的垂线，与直线AB交于点F，延长QF到点M，使得FM＝QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN(当Q点运动时，M点、N点也随之运动)．若P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值．图28－1专题八┃京考解读解：(1)∵抛物线y＝－m－14x2＋5m4x＋m2－3m＋2经过原点，∴m2－3m＋2＝0.解得m1＝1，m2＝2.由题意知m≠1，∴m＝2.∴抛物线的解析式为y＝－14x2＋52x.∵点B(2，n)在抛物线y＝－14x2＋52x上，∴n＝4.∴B点的坐标为(2，4).专题八┃京考解读(2)①设直线OB的解析式为y＝k1x.将B(2，4)代入，得k1＝2.∴直线OB的解析式为y＝2x.∵A点是抛物线与x轴的一个交点，可求得A点的坐标为(10，0).设P点的坐标为(a，0)，则E点的坐标为(a，2a)．根据题意作等腰直角三角形PCD，如图①.可求得点C的坐标为(3a，2a)．由C点在抛物线上，得2a＝－14×(3a)2＋52×3a.即94a2－112a＝0.解得a1＝229，a2＝0(舍去)．∴OP＝229.专题八┃京考解读②依题意作等腰直角三角形QMN.设直线AB的解析式为y＝k2x＋b.由点A(10，0)，点B(2，4)，求得直线AB的解析式为y＝－12x＋5.当P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况：第一种情况：CD与NQ在同一条直线上，如图②.可证△DPQ为等腰直角三角形．此时OP、DP、AQ的长可依次表示为t、4t、2t个单位．∴PQ＝DP＝4t.∴t＋4t＋2t＝10.∴t＝107.专题八┃京考解读第二种情况：PC与MN在同一条直线上，如图③.可证△PQM为等腰直角三角形．此时OP、AQ的长依次表示为t、2t个单位．∴OQ＝10－2t.∵F点在直线AB上，∴FQ＝t.∴MQ＝2t.∴PQ＝MQ＝CQ＝2t.∴t＋2t＋2t＝10.∴t＝2.专题八┃京考解读第三种情况：点P、Q重合时，PD、QM在同一条直线上，如图④.此时OP、AQ的长依次表示为t、2t个单位．∴t＋2t＝10.∴t＝103.综上，符合题意的t值分别为107，2，103.专题八┃京考解读本类题通常先给定函数解析式和几何图形，由几何图形的性质或解析法确定待定系数所需的条件，求出函数解析式，然后根据所求的函数关系进行探索研究．探索研究的一般类型有：①在什么条件下三角形是等腰三角形、直角三角形；②四边形是菱形、梯形等；③探索两个三角形满足什么条件相似；④探究线段之间的位置关系等．当函数与几何图形相结合时，关键是要做好点的坐标与线段长的互相转化，同时还要考虑分类讨论．分类讨论是要依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类原则是不重不漏、最简.专题八┃京考解读分类常见的依据是：一是依概念分类，如判断直角三角形时明确哪个角可以是直角，两个三角形相似时分清谁与谁可以是对应角；二是依运动变化的图形中的分界点进行分类，如一个图形在运动过程中，与另一个图形重合部分可以是三角形，也可以是四边形、五边形等；三是依据图形间的位置关系，如点在线段上(不与端点重合)、点与端点重合、点在线段延长线上等．专题八┃京考解读例2[2009·北京]如图Z8－2，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A－6，0，B6，0，C0，43，延长AC到点D，使CD＝12AC，过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E.(1)求D点的坐标；(2)作C点关于直线DE的对称点F，分别联结DF、EF，若过B点的直线y＝kx＋b将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；►热考二动点问题专题八┃京考解读(3)设G为y轴上一点，点P从直线y＝kx＋b与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短．(要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明)图Z8－2专题八┃京考解读[解析](1)借助△DMC∽△AOC，根据相似三角形的性质得点D的坐标；(2)先说明四边形CDFE是菱形，且其对称中心为对角线的交点M，则点B与这一点的连线即为所求的直线，再结合全等三角形性质说明即可，由点B、M的坐标求得直线BM的解析式。(3)过点A作MB的垂线，该垂线与y轴的交点即为所求的点G.再结合由OB、OM的长设法求出∠BAH.借助三角函数求出点G的坐标．专题八┃京考解读解：(1)∵A(－6，0)，C(0，43)，∴OA＝6，OC＝43.设DE与y轴交于点M.由DE∥AB可得△DMC∽△AOC.又CD＝12AC，∴MDOA＝CMCO＝CDCA＝12.∴CM＝23，MD＝3.∴OM＝63.∴D点的坐标为(3，63)．专题八┃京考解读(2)由(1)可得点M的坐标为(0，63)．由DE∥AB，EM＝MD，可得y轴所在直线是线段ED的垂直平分线．∴点C关于直线DE的对称点F在y轴上．∴ED与CF互相垂直平分．∴CD＝DF＝FE＝EC.∴四边形CDFE为菱形，且点M为其对称中心．作直线BM.设BM与CD、EF分别交于点S、点T.可证△FTM≌△CSM.∴FT＝CS.∵FE＝CD，∴TE＝SD.∵EC＝DF，∴TE＋EC＋CS＋ST＝SD＋DF＋FT＋TS.∴直线BM将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形．∵点B(6，0)，点M(0，63)在直线y＝kx＋b上，∴直线BM的解析式为y＝－3x＋63.专题八┃京考解读(3)确定G点位置的方法：过A点作AH⊥BM于点H.则AH与y轴的交点为所求的G点．由OB＝6，OM＝63，可得∠OBM＝60°，∴∠BAH＝30°.在Rt△OAG中，OG＝AO·tan∠BAH＝23.∴G点的坐标为(0，23)(或G点的位置为线段OC的中点)．专题八┃京考解读解决动态几何问题我们需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变量和不变关系或特殊关系；在求有关图形的变量之间关系时，通常建立函数模型或不等式模型来求解；求图形之间的特殊数量关系和一些特殊值时，通常建立方程模型求解．►热考三新定义题型专题八┃京考解读例3[2012·北京]在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)的“非常距离”，给出如下定义：若|x1－x2|≥|y1－y2|，则点P1(x1，y1)与点P2(x2，y2)的非常距离为|x1－x2|；若|x1－x2||y1－y2|，则点P1(x1，y1)与点P2(x2，y2)的非常距离为|y1－y2|；例如：点P1(1，2)，点P2(3，5)，因为|1－3||2－5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2－5|＝3，也就是图①中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值(点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点)．专题八┃京考解读图Z8－3(1)已知点A－12，0，B为y轴上的一个动点，①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标；②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值．专题八┃京考解读(2)已知C是直线y＝34x＋3上的一个动点，①如图②，点D的坐标是(0，1)，求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；②如图③，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应点E和点C的坐标．专题八┃京考解读解：(1)①∵B为y轴上的一个动点，∴设点B的坐标为(0，y)．∵－12－0＝12≠2，∴|0－y|＝2，解得y＝2或y＝－2.∴点B的坐标是(0，2)或(0，－2)．②点A与点B的“非常距离”的最小值为12.专题八┃京考解读(2)①∵C是直线y＝34x＋3上的一个动点，∴设点C的坐标为x0，34x0＋3，∴－x0＝34x0＋2，此时，x0＝－87，∴点C与点D的“非常距离”的最小值为87，此时C－87，157；②E－35，45.－35－x0＝34x0＋3－45，解得x0＝－85，则点C的坐标为－85，95，最小值为1.专题八┃京考解读新定义题型是中考热点题目之一，简单分类可分为新定义运算和新定义几何模型两种．解答新定义运算题的关键是理解新定义运算法则，严格按照新定义运算法则代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的运算．新定义几何模型的整体模式是先特定一个新概念，然后在理解了这个概念之后，联想出符合此概念的几个几何模型，进而再运用这个概念解决与此有关的问题．专题八┃京考解读解决本类题的关键是理解这个概念，并清楚这个概念是解决问题的重要条件．同时熟练掌握几何中的基本概念和基本性质，把握图形的变化规律，把新概念图形分解转化为我们熟悉的图形，运用熟悉的知识加以解决．