1.3平面直角坐标系中的伸缩变换

平面直角坐标系中的伸缩变换学习如逆水行舟1.函数y=Asinx与y=sinx的图像关系如何？2.函数y=sinωx与y=sinx的图像关系如何？3.函数y=sin(x±φ)与y=sinx的图像关系如何？4.函数y=Asinωx与y=sinx的图像关系如何？以上函数的图像又是通过什么样的变换得到的？一、复习引入：1、周期变换：y=sinωx与y=sinx图象的关系例1、作函数y=sin2x及的简图xy21sin0-1010sin2x2ππ02xπ0x22234430-1010Sinx2ππ0x4π3π2ππ0x2121232解：列表2πyx01-1223π4433π4π结论：一般地，函数y=sinωx（ω＞0且ω≠1）的图象可以看作是把y=sinx的图象上所有点的横坐标缩短（当ω＞1时）或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的倍（纵坐标不变）而得到的。1描点作图：纵坐标不变，横坐标缩短是一个坐标的压缩变换。设P(x,y)是坐标平面中的任意一点，保持纵坐标x不变，横坐标y缩短为原来的½倍，得到点P/(x/,y/)那么把⑴叫做平面直角坐标系中的一个坐标压缩变换。12xxyy⑴设P(x,y)是y=sinx图象的一点，通过上述变换有2xxyy代入y=sinx，得到sin2yx如何刻画这种关系？2、振幅变换：y=Asinx与y=sinx图象的关系例1、作函数y=2sinx及的简图xysin21解：列表000sinx0-20202sinx0-1010sinx2ππ0x223212121描点作图xy012-1-2223π2π结论：一般地，函数y=Asinx（A＞0且A≠1）的图象可以看作是把y=sinx的图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）而得到的。y=Asinx，x∈R的值域是［-A，A］，最大值是A，最小值是-A。横坐标不变，纵坐标伸长是一个坐标的伸长变换。设P(x,y)是坐标平面中的任意一点，保持横坐标x不变，纵坐标y伸长为原来的2倍，得到点P/(x/,y/)那么把⑵叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换。2xxyy⑵设P(x,y)是y=sinx图象的一点，通过上述变换有12xxyy代入y=sinx，得到1sin2yx1-１2-2oxy3-32653335y=sin2xy=sinxy=3sin2x3、y=sinx与y=3sin2x的关系（2）横坐标不变纵坐标伸长到原来的3倍y=3sin2x的图象函数y=sinxy=sin2x的图象纵坐标不变（1）横坐标缩短到原来的倍21y=sinx的图象函数y=sinx（2）横坐标不变，纵坐标伸长(A1)或缩短(0A1)到原来的A倍y=Asinx的图象（1）横坐标缩短(1)或伸长(01)到原来的倍，纵坐标不变1y=Asinx的图象函数y=sinx（1）横坐标不变，纵坐标伸长(A1)或缩短(0A1)到原来的A倍y=Asinx的图象（2）横坐标缩短(1)或伸长(01)到原来的倍，纵坐标不变1或者横坐标不变，纵坐标伸长是一个坐标的伸长变换。设P(x,y)是坐标平面中的任意一点，横坐标x缩短为原来的1/2，纵坐标y伸长为原来的3倍，得到点P/(x/,y/)那么把⑶叫做平面直角坐标系中的坐标伸缩变换。123xxyy⑶设P(x,y)是y=sinx图象的一点，通过上述变换有213xxyy代入y=sinx，得到1sin2,3sin23yxyx即：设P(x,y)是坐标平面中的任意一点，在变换,(0):,(0)xxyy定义：的作用下，点P(x,y)对应到点P/(x/,y/)，称ψ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换。作用：1.实现平面图形的伸缩；2.求出新、旧方程；注（1）（2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；（3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。0,0例2：在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形。（1）2x+3y=0;(2)x2+y2=1213xxyy解：由伸缩变换代入2x+3y=01213xxyy得得x+y=023xxyy22代入x+y=1得2249xy+=11222133xxxxyyyy由伸缩变换得[悟一法]利用坐标伸缩变换φ：x′＝λ·x，λ0y′＝μ·y，μ0求变换后的曲线方程，其实质是从中求出x＝1λx′y＝1μy′，然后将其代入已知的曲线方程求得关于x′，y′的曲线方程．例3.在同一直角坐标系下，求满足下列图形的伸缩变换：曲线4x2+9y2=36变为曲线0xxyy1解：设伸缩变换，22代入x+y=1得22221xy224936xy又1312则1312xxyy得221xy例4.在同一直角坐标系下经过伸缩变换后，曲线C变为，求曲线C的方程并画出图形。3xxyy2299xy22得9x-9y=922即x-y=122x-9y=93xxyy2.解：将代入1：在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为9x2-y2=1，求曲线C的方程.23xxyy2：在同一平面直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换.⑴直线x-2y=2变为直线2x-y=4；⑵曲线x2-y2-2x=0变为x2-16y2-4x=0；练习：思考：在伸缩下，椭圆是否可以变成圆？抛物线，双曲线变成什么曲线？4课堂练习3.在同一平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形.2131yxxyyxyx2)3(;11218)2(;149122222）（课堂小结：（1）体会坐标法的思想，应用坐标法解决几何问题；（2）掌握平面直角坐标系中的伸缩变换。常见的对称关系：1、点P(x,y)关于原点的对称点为(-x,-y)2、点P(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y)3、点P(x,y)关于y轴的对称点为(-x,y)4、点P(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x)5、点P(x,y)关于直线y=-x的对称点为(-y,-x)6、点P(x,y)关于直线x=l的对称点为(2-x,y)