离散型随机变量的期望

教学要求:1.使学生了解离散型随机变量的期望的意义,会根据离散型随机变量的分布列求出期望.奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆⒉理解公式“E（aξ+b）=aEξ+b”，以及“若ξ～B（n,p），则Eξ=np”.能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的期望.教学重点：离散型随机变量的期望的概念教学难点：根据离散型随机变量的分布列求出期望1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示;2.离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量3．连续型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系:离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出一、复习引入：奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆若ξ是随机变量，η=ａξ＋ｂ,ａ,ｂ是常数，则η也是随机变量并且不改变其属性（离散型、连续型）5.分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x1，x2，…，x3，…，ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为P(ξ=xi)=pi，则称表:ξx1x2…xi…PP1P2…Pi…为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列6.分布列的两个性质：⑴Pi≥0，(i＝1，2，…)；⑵P1+P2+…=1．7.[离散型随机变量的二项分布]:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是:n,0,1,2,kp,1且qqpCk)(ξPknkknnn00nqpC1n11nqpC0nnnqpCknkknqpC于是得到随机变量ξ的概率分布如下：ξ01…k…nP……称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数，并记knkknqpC＝b(k；n，p)．8.离散型随机变量的几何分布：在独立重复试验中，某事件第一次发生时，所作试验的次数ξ也是一个正整数的离散型随机变量．“ξ=k”表示在第k次独立重复试验时事件第一次发生.如果把k次试验时事件A发生记为Ak,事件A不发生记为,P(Ak)=p,P()=q,(q=1-p)那么:kAkA112311231()()()()()()()kkkkkPkPAAAAAPAPAPAPAPAqpp1q（k＝0,1,2,…，)于是得到随机变量ξ的概率分布如下ξ123…k…Pppqpq2…qk-1p…称这样的随机变量ξ服从几何分布记作g(k，p)=qk-1p,其中k=0,1,2,3,…,q=1-p对于离散型随机变量，确定了它的分布列，就掌握了随机变量取值的统计规律,同时可以方便的得出随机变量的某些指定的概率，但分布列的用途远不止于此。在实际问题中，我们还常常希望通过数字来反映随机变量的某个方面的特征，最常用的有期望与方差二、新知引入：奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆[引例]：例如:已知某射手射击所得环数ξ的分布列如下：ξ45678910P0.020.040.060.090.280.290.22根据这个射手射击所得环数ξ的分布列，我们很容易得到下面的信息:n0.024n0.045n0.22100.02(40.045n0.22)10故在n次射击的总环数大约为在n次射击中，预计有大约0.02n次的4环在n次射击中，预计有大约0.04n次的5环,同理可得其它……从而，预计n次射击的平均环数约为这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的，只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数，它反映了射手射击的平均水平．0.0240.0458.320.2210n0.024n0.045n0.22100.02(4[0.045nn]0.22)10故在n次射击的总环数大约为新知探究在n次射击之前，可以根据这个分布列估计n次射击的平均环数．这就是我们今天要学习的离散型随机变量的期望.期望的定义类似地，对任一射手，若已知其射击所得环数ξ的分布列，即已知各个P（ξ=i)(i=0,1,2,,…10），则可预计他任意n次射击的平均环数是Eξ=0×P（ξ=0）+1×P（ξ=1）+…+10×P（ξ=10）称Eξ为此射手射击所得环数ξ的期望，它刻划了随机变量ξ所取的平均值，从一个方面反映了射手的射击水平。若离散型随机变量ξ的概率分布为ξx1x2…xi…Pp1p2…pi…则称Eξ=x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望或平均数、均值，又称期望。[例题1]篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分。已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他罚球1次的得分ξ的期望。[例题2]随机抛掷一个骰子，求所得骰子的点数ξ的期望。知识应用[点拔]:据随机变量ξ的数学期望的概念及计算公式,知其值为随机变量的所有取值与其相应概率积的和,故需先求其分布列.生做:答:(1)Eξ=0.7;(2)Eξ=3.5例3有一批数量很大的产品，其次品率是15%。对这批产品进行抽查，每次抽出1件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品，但抽查次数最多不超过10次。求抽查次数ξ的期望。（结果保留三个有效数字）解：抽查次数ξ取1~10的整数，从这批数量很大的产品中每次抽取一件检验的试验可以认为是彼此独立的，取出次品的概率是0.15，取出正品的概率是0.85，前k-1次取出正品而第k次（k=1，2，…9）取出次品的概率P(ξ=k）=g(k,0.15)=0.85k-1×0.15，（k=1，2，…9）；需要抽查10次即前9次取出的都是正品的概率P（ξ=10）=0.859[知识探索]：若ξ为上述离散型随机变量，则η=aξ+b的分布列怎样？Eη呢？因为P（η=axi+b）=P（ξ=xi），i=1，2，3…所以，η的分布列为ηax1+bax2+b…axn+b…Pp1p2…pn…于是Eη=（ax1+b)p1+（ax2+b)p2+…+（axn+b)pn+…=a（x1p1+x2p2+…+xnpn+…）+b（p1+p2+…+pn+…）=aEξ+b[性质1]E（aξ+b）=aEξ+b数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.[例4](补充)．某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km时租车费为10元，若行驶路程超出4km，则按每超出lkm加收2元计费(超出不足lkm的部分按lkm计).从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km．某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量．设他所收租车费为η(Ⅰ)求租车费η关于行车路程ξ的关系式(Ⅱ)若随机变量ξ的分布列为ξ15161718P0.10.50.30.1求所收租车费η的数学期望．(Ⅲ)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?16.40.1180.3170.5160.115Eξ2奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆[解]：(Ⅰ)依题意得η=2(ξ-4)十10，即η=2ξ+2；∵η=2ξ+2故Eη=2Eξ+2=34.8（元）5×(18-15)=15(Ⅲ)由38=2ξ+2，得ξ=18，所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟故所收租车费η的数学期望为34.8元．奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆③根据分布列，由期望的定义求出Eξ公式E（aξ+b）=aEξ+b，以及服从二项分布的随机变量的期望Eξ=np知识归纳(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；(2)求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；练习：P141~6。作业：习题1.2P161~6[练习]袋中有4个黑球、3个白球、2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球记0分，每取到一个白球记1分，每取到一个红球记2分，用ξ表示得分,(1)求ξ的概率分布列;(2)求ξ的数学期望.解：①依题意的ξ取值为0、1、2、3、461CC0ξ0时，取得两黑球，Pξ292431CCC1ξP1时，取得1黑1白，ξ2913143611CCCCC2ξ1红，P2时，取得2白或1黑ξ291214292361CCC3ξP3时，取得1白1红，ξ291213361CC4ξ4时，取得2红，Pξ2922分布列为61p43210ξ31361161361914361461336112311610Eξ2补充：二点分布(贝努里分布)一次试验中，某事件发生的概率为p，η是一次试验中此事件发生的次数问题：η=？答案：η=0or1令q=1-p，则P(η=0)＝p，P(η=1)＝q，∴Eη＝0×q+1×p=p由此可知，在一次试验中此事件平均发生p次我们把上述分布称贝努里分布又称二点分布