离散型随机变量的概率及分布列复习课..

离散型随机变量的概率及分布列1．离散型随机变量我们将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个随机变量．随机变量的取值能够一一列举出来，这样的随机变量称为离散型随机变量．2．连续型随机变量离散型随机变量的取值是可以一一列举的，但在实际应用中，有的随机变量可以取某一区间中的一切值，这样的随机变量我们称为连续型随机变量．3．离散型随机变量的分布列(1)定义：我们设离散型随机变量X的取值为a1，a2，…，随机变量X取ai的概率为pi(i＝1,2，…)记作：P(X＝ai)＝pi(i＝1,2，…)，或把上式列成表：X＝aia1a2…P(X＝ai)p1p2…称为离散型随机变量X的分布列，记为X～a1a2…p1p2….(2)离散型随机变量分布列的性质①pi0(i＝1,2,3，…)；②p1＋p2＋…＝1.质疑探究：如何求离散型随机变量的分布列？提示：首先确定随机变量的取值，求出离散型随机变量的每一值对应的概率，最后列成表格．1．下列分布列中，是离散型随机变量分布列的是(C)(A)X012P0.30.40.5(B)Xx1x2x3P0.3－10.8(C)X123P210510310(D)Xx1x2x3P273737解析：A、B、D不符合分布列的性质，故选C.2．设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝a(13)i，i＝1,2,3，则a的值为(D)(A)1(B)913(C)1113(D)2713解析：∵P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1∴a(13)1＋a(13)2＋a(13)3＝1，解得a＝2713.故选D.3．已知袋中有大小相同的5个小球，分别标有1,2,3,4,5五个编号，任意抽取两个球，其号码之和为X，则X的所有可能取值的个数为(B)(A)6个(B)7个(C)10个(D)25个解析：因为两球号之和为3,4,5,6,7,8,9共7个，故选B.4．下列变量中属于离散型随机变量的是________．①某大桥一天经过的车辆数为X；②一天内某地的温度为X；③某地16岁孩子的身高为X；④某射手对目标进行射击，击中得1分，不击中得0分，在一次射击中的得分为X.解析：②、③中的变量均为某一范围内取值，无法一一列出，应为连续型随机变量．答案：①④1．超几何分布一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN(其中k为非负整数)．如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X服从参数为N，M，n的超几何分布．2．条件概率与独立事件(1)条件概率：已知B发生的条件下，A发生的概率，称为B发生时A发生的条件概率，记为P(A|B)．且P(B)0时，P(A|B)＝PABPB，P(B|A)叫作A发生时B发生的条件概率，且P(A)0时，P(B|A)＝PABPA.(2)独立事件：对两个事件A，B，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称A，B相互独立．同时A与B，A与B，A与B也相互独立．相互独立可以推广至有限个，即A1，A2，…，An相互独立，则有P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．3．二项分布进行n次试验，如果满足以下条件①每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”；②每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为1－p；③各次试验是相互独立的．用X表示这n次试验中成功的次数，则P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)．若一个随机变量X的分布列如上所述，称X服从参数为n，p的二项分布，简记为X～B(n，p)．4．正态分布(1)正态曲线函数f(x)＝1σ2πe－x－μ22σ2，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ2(σ＞0)为参数．我们称f(x)的图像(如图所示)为正态分布密度曲线，简称正态曲线．(2)正态分布一般地，如果对于任何实数a＜b，随机变量X满足函数f(x)＝1σ2πe－x－μ22σ2，则称X的分布为正态分布．正态分布完全由参数μ和σ2确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)．如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2)．(3)正态分布密度曲线的性质①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线关于直线x＝μ对称；③曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π；④曲线与x轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．⑦正态总体在三个特殊区间内取值的概率值P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝68.3%P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝95.4%P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝99.7%质疑探究：参数μ、σ2在正态分布中的实际意义是什么？提示：μ是正态分布的期望，σ2是正态分布的方差．1．在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ＞0)，若X在(0,1)内取值的概率为0.4，则X在(0,2)内取值的概率为(B)(A)0.4(B)0.8(C)0.6(D)0.9解析：在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ＞0)，正态分布图像的对称轴为x＝1，X在(0,1)内取值的概率为0.4，可知，随机变量X在(1,2)内取值的概率与X在(0,1)内取值的概率相同，也为0.4，这样随机变量X在(0,2)内取值的概率为0.8.故选B.2．已知P(AB)＝310，P(A)＝35，则P(B|A)等于(B)(A)950(B)12(C)910(D)14解析：P(B|A)＝PABPA＝12.故选B.3．已知随机变量X～B(5，13)，则P(X＝3)等于(A)(A)40243(B)41243(C)39243(D)38243解析：n＝5，p＝13，P(X＝3)＝C35·(13)3·(1－13)2＝40243.故选A.4．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，则随机变量X的分布列为X012P解析：P(X＝0)＝C22C25＝0.1，P(X＝1)＝C13C12C25＝0.6，P(X＝2)＝C23C25＝0.3.答案：0.10.60.3超几何分布【例1】某单位有8名员工，其中有5名员工曾经参加过一种或几种技能培训，另外3名员工没有参加过任何技能培训，现要从8名员工中任选3人参加一种新的技能培训．(1)求恰好选到1名曾经参加过技能培训的员工的概率．(2)这次培训结束后，仍然没有参加过任何技能培训的员工人数X是一个随机变量，求X的分布列．思路点拨：(1)服从超几何分布设出事件，求其概率(2)确定随机变量的取值，求其概率，写出分布列解：(1)记A为事件“选出的3人中1人曾参加过任何技能培训，2人未参加过任何技能培训”，则P(A)＝C15C23C38＝1556.(2)随机变量X可能取的值是0,1,2,3.P(X＝0)＝C33C38＝156，P(X＝1)＝C15C23C38＝1556，P(X＝2)＝C25C13C38＝1528，P(X＝3)＝C35C38＝528.X的分布列为X0123P15615561528528本类题目，关键是判断随机变量是否服从超几何分布，可以从两个方面判断：一是超几何分布描述的是不放回抽样问题；二是随机变量仅为两类元素中抽到某类个体的个数．变式探究；在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同．一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率．解：根据题意，摸到的红球个数X为随机变量，且X服从参数为N＝30，M＝10，n＝5的超几何分布，它的可能取值为0,1,2,3,4,5，则可得至少摸到3个红球的概率为P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝5)＝C310C5－330－10C530＋C410C5－430－10C530＋C510C5－530－10C530≈0.1912.故中奖的概率约为0.1912.条件概率【例2】某个班级有学生40人，其中有共青团员15人．全班分成4个小组，第一小组有学生10人，其中共青团员4人．(1)如果要在班内任选一人当学生代表，那么这个代表恰好在第一小组内的概率为多少？(2)现在要在班内任选一个共青团员当团员代表，这个代表恰好在第一小组内的概率是多少？思路点拨：本例可以看成古典概型题目，第(2)问也可以看成是在附加条件“团员”情况下的条件概率问题．解：设A为事件“在班内任选一个学生，该学生属于第一小组”，B为事件“在班内任选一个学生，该学生是共青团员”，(1)P(A)＝1040＝14.(2)法一：所求概率为P(A|B)＝PABPB＝4401540＝415.法二：看作古典概型，由于第一小组的共青团员一定是团员，所以把15名共青团员当成总的样本空间，每个被抽到的概率相等．于是P(A|B)＝C14C115＝415.求条件概率的关键是在条件已发生的前提下求某事件的概率．本例第(2)问的法一利用条件概率公式求条件概率，实质将条件概率转化为无条件概率，基本事件总数与条件A是否发生无关，在此基础上求P(AB)及P(B)，从而代公式求P(A|B)；法二在条件发生的前提下，实质上是缩小样本空间，在此基础上利用古典概率公式求所求事件的概率．相互独立事件的概率【例3】某工厂组织工人参加上岗测试，每位测试者最多有三次机会，一旦某次测试通过，便可上岗工作，不再参加以后的测试；否则就一直测试到第三次为止．设每位工人每次测试通过的概率依次为0.2,0.5,0.5.(1)若有4位工人参加这次测试，求恰有2人通过测试的概率；(2)求工人甲在这次上岗测试中参加考试次数X的分布列．解：(1)每位工人通过测试的概率为1－(1－15)(1－12)(1－12)＝45则每位工人不能通过测试的概率为1－45＝15.所以4位工人中恰有2人通过测试的概率为p＝C24(45)2(15)2＝96625.(2)X的取值为1,2,3.P(X＝1)＝15，P(X＝2)＝45×12＝25，P(X＝3)＝45×12＝25.X的分布列为X123P152525二项分布【例4】袋中有8个白球，2个黑球，从中随机地连续取3次球，每次取1个，取后仍放回，求取到黑球的个数X的分布列．思路点拨：取后放回，即每次抽取时总体没有改变，且每次取到黑球的概率相同，因此X的最大值为3，并且X～B(3，15)．解：X可能取值为0,1,2,3.每次取到黑球的概率为210＝15，取到白球的概率为810＝45.则P(X＝0)＝C03(15)0(45)3＝64125；P(X＝1)＝C13(15)1(45)2＝48125；P(X＝2)＝C23(15)2(45)1＝12125；P(X＝3)＝C33(15)3(45)0＝1125.X的分布列为X0123P6412548125121251125判断随机变量是否服从二项分布，主要看是否满足：(1)在每次试验中，试验的结果只有两种：发生与不发生；(2)在每次试验中，事件发生的概率都相同．若满足，则在n次独立重复试验中以事件发生的次数作为随机变量，则随机变量服从二项分布．