第四章向量组的线性相关性2

12,线性方程组的向量表示2，线性方程组的向量表示式22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxannmnnnmmbbbxaaaxaaaxaaa2121222212112111bxxxbxxxnnnn22112211或解问题可以示式可见，方程组的有由线性方程组的向量表间的关系来讨论。从向量组bn,,,,2123,线性组合与线性表示定义2Th1有解也就是线性方程组bxxxnn2211)2(线性表示可由nb21,3，线性组合与线性表示定义2mmkkkA,,,,:2121实数，对设有向量组的一个为向量组称Akkkmm2211线性组合。若存在一组数和向量给定向量组注：,,:)1(21bAm,,221121mmmb使得：，，，AbAb可由向量组的线性组合，或称是向量组则称线性表示。定理1是矩阵线性表示向量组能由向量mAb21,:的秩。的秩等于矩阵bBAmm,,,2121即得。注：由第三章的定理334,向量组的等价及矩阵的行(列)向量的线性表示定义3)4,6,3()1,4,2()3,2,1(21b，，例：设线性表示，可由，即解：易见有2121,bb，亦即：或表为：bxx2211114631423212121xxxx有解：4,向量组的等价及矩阵的行(列)向量的线性表示定义3smBA,,,:,,,:2121与设有两个同维向量组如A中每个向量均可由向量组B中向量线性表示，则称向量组A可由向量组B线性表示，若A和B能相互线性表示，则称向量组A与B等价，记为A～B。4例111,011,001:100,010,001:321321BA例：设.~BA证明向量组线性表示可由所以证：因为AB321332123211000线性表示可由也所以又因为BA3213321232110000BA向量组所以向量组~5定义3的矩阵表示用矩阵表示：维设为中的向量组将定义)(3n表示即为：可由则）（与）（ABBAsm,,,,,,,2121,,,,21212211mjjjmmmjjjjkkkkkk）（),,2,1,;,2,1(miRksjijmsssmmmskkkkkkkkk2122212121112121,,,,,,）（）（msmsK）（）（,,,,,,2121msnmnsKAB或记为：的列向量线性表示的列向量可由此矩阵等式表示AB:矩阵。为这一线性表示的系数msK65,经初等变换后矩阵的行(列)向量的等价性,一般情况下,的列向量线性表示的列向量可由若ACABC。为这一表示的系数矩阵B,)(的列向量线性表示的列向量可由TTTTTTBCABABC,;的行向量的列向量为的行向量的列向量为但因为BBCCTT所以,的行向量线性表示的行向量可由若BCABC。为这一表示的系数矩阵A5,经初等变换后矩阵的行(列)向量组的等价性BA经行初等变换设的行向量组的线性组合的每个行向量都是则AB因为初等变换均可逆BA经初等行逆变换则表示，即的行向量组能相互线性与所以矩阵BA的行向量组等价。与经初等行变换后矩阵BA的列向量组等价。与矩阵类似地经初等列变换后BA7例111011001;100010001BA例：设的行向量组等价与的行向量组证明BA1110110011000110011000100012312rrrr证：8例311,840,112:100,010,001:321321BA例：设能相互线性表示）与（即向量组证明向量组BABA~78334100118314120138114110213312cccc证：1810100011810100017831001)1(43414341)41(323212ccccccBABAcccc~,10001000132318即能相互线性表示与所以向量组96,线性方程组的等价性6,线性方程组的等价性)1(22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxammnmmnnbaaabaaabaaa21222221111211000000'00000'''100''''10'''''111,221,22111,1112rrrnrrnrrnrrbbaabaaabaaaa（不能做列变换）经行初等变换10)2('0''''''''''''111,2211,2221111,112121rrrnrnrrrrnnrrrrnnrrrrbbxaxaxbxaxaxaxbxaxaxaxax的行阶梯形；度是增广矩阵以上的运算从矩阵的角)(~)(bAbA的行阶梯形的行向量的行向量组与从向量的角度是)()(bAbA可以互相线性与的角度是方程组组等价，从线性方程组)2()1(同解。与等价与表示即)2()1()2()1(117,向量组的线性相关性定义47,向量组的线性相关性定义4.1线性相关：设有n维向量m21,，若存在不全为零的数mkkk21,使Okkkmm2211（１）则称向量组m21,线性相关。注意：当01mkk时，（１）式永远成立。例：设)1,0,1(1，)1,1,0(2，)0,1,1(3则有O321)1()1(1所以α１，α２，α３线性相关。定义4.2线性无关设有n维向量m21,，若Okkkmm2211时，只能01mkk则称向量组m21,线性无关。注：线性无关是线性相关的否定定义.即对一组向量m21,而言；要么m21,相关，要么m21,无关。12例例：问)1,2,1(1，)1,3,2(2是否线性相关？解：设Okk2211Okk)1,3,2()1,2,1(21则有：)0,0,0(),32,2(212121kkkkkk0003202:21212121kkkkkkkk有唯一解：即Okkkk221121,0使的数由此知不存在不全为是线性无关的。，所以21向量线性相关线性无关，单个向量例：单个非00OkkOkk时仅当解：由定义对0,0;0线性无关向量单个非向量线性相关。单个又对000Okk13命题:命题mmm,,,)2(,,,2121线性相关向量组个向量线性表示其余中至少有一个向量能由1m个中有一个向量可由其余若证明：充分性1,,,,21mmm，则存在不妨设其为向量线性表示,,,21Ommmm)()1(1221221线性相关。，不全为因为数mm,,,0,,,12121的数则存在不全为线性相关设必要性0,,,,,21m,,,221121Okkkkkkmmm使，mmkkkk221110则有：不妨设mmkkkk)()(12121线性表示。可由即m2114线性方程组的相关性Th2线性方程组的相关性线性相关的，方程组中的各个方程是这时称这个方程就是多余的性组合时个方程是其余方程的线当方程组中有某时关概念用于线性方程组无向量组的线性相,,,)(当方程组没有多余的方程时，则称该方程组中各个方程是线性无关(或线性独立)的.定理2),,,(,,,2121mmA矩阵线性相关向量组mARmARm)(,,,;)(21线性无关的秩则可构成矩阵向量组证),,,,(,,,::2121mmAA线性相关即为：向量组由线性相关的定义A,写成矩阵形式为：解有非,02211OxxxnnOAXOxxxmm2121),,,(即得。由第三章定理215例100,,010,00121neeen维向量组例：讨论它的线性相关性试维坐标向量称为,n阶单位矩阵，是矩阵为解：题设向量组构成的neeeEn),,,(21知其线性无关。由定理2100010001本身子式和行最简形皆为其其最高阶非0即等于向量组的个数，,)(01nERE16例742520111:321设例的线性相关性及试确定向量组21321,,,23131225321550220201751421201,,,2:rrrrrr由定理解000110201000220201212r线性相关所以可见321321,,,2,,R线性无关所以因为2121,,2),(R17例,,,,322211321线性无关，而例：已知也线性无关试证向量组321133,,,Okkkkkk332211321,,使：证：设有Okkk)()()(133322211Okkkkkk332221131)()()(000,,322131321kkkkkk线性无关，所以必有：因为的系数行列式为：由于此齐次线性方程组0:0110011101321kkk方程组只有零解也线性无关。所以向量组321,,188,向量组线性相关性的有关结论Th3.18,向量组线性相关性的有关结论定理3.1也线性相关线性相