南大复变函数与积分变换课件(PPT版)53留数在定积分计算中的应用

1第五章留数及其应用§5.3留数在定积分计算中的应用§5.3留数在定积分计算中的应用一、形如的积分20d)sin,(cosR二、形如的积分xxRd)(三、形如的积分)0(d)(eaxxRiax2第五章留数及其应用§5.3留数在定积分计算中的应用一、形如的积分20d)sin,(cosR2coseeiiize方法(1)令ddeiiz则要求是u,v的有理函数，),(vuR即是以u,v为变量),(vuR的二元多项式函数或者分式函数。,sincosi,dzi,ddziz,212zz21zziii2sinee,212zizizz213第五章留数及其应用§5.3留数在定积分计算中的应用方法即是以u,v为变量要求是u,v的有理函数，一、形如的积分20d)sin,(cosR),(vuR),(vuR的二元多项式函数或者分式函数。zzfzd)(1||.],)([Res2kkzzfiπ其中，是在内的孤立奇点。kz)(zf1||z(2)20d)sin,(cosRzziRzd11||zizzz21,2122)(zf4第五章留数及其应用§5.3留数在定积分计算中的应用可知被积函数的分母不为零，因而积分是有意义的。解2cos21pp)cos1(2)1(2pp由及,10p,eiz(1)令22cos22eeii,222zz,ddziz,2cos1zz则P120例5.245第五章留数及其应用§5.3留数在定积分计算中的应用解(2)1||2122d22112zzizpzzpzzI1||24d)()1(21zzpzpzziz.d)(1||zzzf函数有两个孤立奇点：在内，)(zf1||z二阶极点一阶极点,01z.2pz(注意：一阶极点不在内)pz/131||z6第五章留数及其应用§5.3留数在定积分计算中的应用解,2122pip222243220)(2)21()1(4)(limzppzpzipzpzzzppzpzz(3)zzfzddlim]0,)(Res[0)()1(21242pzpzzizz事实上，可直接用洛朗展开的方法来求该点的留数。利用洛朗展开求该点的留数7第五章留数及其应用§5.3留数在定积分计算中的应用解,)1(21224ppip(3)pzpzflim],)(Res[)()1(21)(24pzpzzizpz)(],)(Res[],)(Res[2pzfpzfiπI)1(212122422ppippipiπ2.1222ppπ8第五章留数及其应用§5.3留数在定积分计算中的应用,eiz(1)令,ddziz,2cos1zz则解由于为偶函数，cos45cos.dcos45cos21πII记1||111d24512zzizzzzzI1||2d)2()2/1(41zzzzziz.d)(1||zzzf9第五章留数及其应用§5.3留数在定积分计算中的应用解有两个一阶极点：在内，(2))(zf1||z,01z.212z)(lim]0,)(Res[0zfzzfz02)2()2/1(41zzziz;41i)(lim21,)(Res21][zfzzfz212)2(41zzziz.125iii12541iπII221211.6π(实数)10第五章留数及其应用§5.3留数在定积分计算中的应用其中，P(x),Q(x)为多项式；(2)分母Q(x)的次数比分子P(x)的次数至少高二次；(3)分母Q(x)无实零点。推导(略)xxRd)(.],)([Res2kkzzRiπ其中，是在上半平面内的孤立奇点。kz)(zR要求,)()()(xQxPxR(1)方法二、形如的积分xxRd)((进入推导?)11第五章留数及其应用§5.3留数在定积分计算中的应用(1)令解9102)(242zzzzzR)9()1(2222zzzzizizzzzizR322)3()1(2]3,)([Res,161i.4873i.125πizzizzzizR)9()(2],)([Res22(2)48731612iiiπI(3)在上半平面内，i与3i为一阶极点。)(zRP122例5.2512第五章留数及其应用§5.3留数在定积分计算中的应用在上半平面内，ai与bi为一阶极点。(1)令解,)()()(22222bzazzzR(2))()(lim],)([ReszRiaziazRiaz.)(222abib)()(lim],)([ReszRibzibzRiaz)(2)(22212222abibbaiaiπ(3)xzRId)(21,)(222baia.)(2baπ13第五章留数及其应用§5.3留数在定积分计算中的应用(1)记解,d12421xxxII在上半平面内，为两个一阶极点。,41eiπziπz432e,1)(42zzzR令(2))1(],)([Res421zzzzR1zzz411zz,414eiπzzzR41],)([Res22zziπ43e41.414eiπ(3))ee(44141412iπiπiπI,22π.42πI14第五章留数及其应用§5.3留数在定积分计算中的应用三、形如的积分)0(d)(eaxxRiax(2)分母Q(x)的次数比分子P(x)的次数至少高一次；(3)分母Q(x)无实零点。其中，是在上半平面内的孤立奇点。kz)(zR其中，P(x),Q(x)为多项式；,)()()(xQxPxR要求(1).],)([Res2kkzzRiπ方法xxRiaxd)(ezaie15第五章留数及其应用§5.3留数在定积分计算中的应用三、形如的积分)0(d)(eaxxRiax其中，P(x),Q(x)为多项式；(2)分母Q(x)的次数比分子P(x)的次数至少高一次；(3)分母Q(x)无实零点。,)()()(xQxPxR.],)([Res2kkzzRiπ要求(1)方法xxRiaxd)(ezaie推导(略).BiA记为.dsin)(BxaxxR;dcos)(AxaxxR特别(进入推导?)16第五章留数及其应用§5.3留数在定积分计算中的应用在上半平面内，1+3i为一阶极点。(1)令解102)(2ezzzzfziizzizzizf3122]31,)([Rese,)31()31(eizizzzi.6313eiii(2)xxxxxid1022e.)1sin1(cos)31(33eiiπiiiiπ3e631217第五章留数及其应用§5.3留数在定积分计算中的应用xxxxxd102cos2(3);)1sin31(cos33eπxxxxxd102sin2.)1sin1cos3(33eπ(2)xxxxxid1022e.)1sin1(cos)31(33eiiπ18第五章留数及其应用§5.3留数在定积分计算中的应用在上半平面内，i为一阶极点，(1)令解,1)(2ezzfzaiizzaizizf2],)([Rese.2eia(2)xxxaid12eiiπa22e,eaπ02d1cosxxxa;2eaπ.2ebπ02d1cosxxxb同理.2)e(ebaπI(3)19第五章留数及其应用§5.3留数在定积分计算中的应用附：关于第二、三型积分中有实孤立奇点的情况)(zR若在上半平面有孤立奇点结论)(zR,,,21mzzzxxfd)(mkkzzfiπ1],)([Res2在实轴上有,,,21nxxx孤立奇点则.],)([Res1mkkxzfiπ)(xf其中，为第二、三型积分中的被积函数。P12620第五章留数及其应用§5.3留数在定积分计算中的应用(1)令解,)(ezzfzi0e]0,)([Reszzizf.1(2)xxxide]0,)([Reszfiπ在实轴上，为一阶极点，0z,iπ0dsinxxxIIm21xxxide.2πP127例5.27附：关于第二、三型积分中有实孤立奇点的情况)(zR21第五章留数及其应用§5.3留数在定积分计算中的应用休息一下……22第五章留数及其应用§5.3留数在定积分计算中的应用.21]0,)([Res22pipzf附：求函数在点的留数。)()1(21)(24pzpzzizzf0zpzzpzzpizf/1111121)()(22)1()1(12122222)(pzpzzpzpzzpizpppi1121)((返回)23第五章留数及其应用§5.3留数在定积分计算中的应用附：关于型积分的公式推导xxRd)(.],)([Res2kkzzRiπ(1)如图，取积分路径为,0CCC(思路)推导其中的半径为C.||maxkkz(2)根据留数定理有CzzRd)(C0CkzCzzRd)(0d)(CzzRxxRd)(CzzRd)(P12224第五章留数及其应用§5.3留数在定积分计算中的应用附：关于型积分的公式推导xxRd)((思路)推导(3)|)(|zR||||22112211mnnmnnnnbzbzbzazazaz不妨设|1||1|||111112mmnnzbzbzazaz||||||1||1||111112mmnnzbzbzazaz5.015.01||12z.||32z(当足够大)||z25第五章留数及其应用§5.3留数在定积分计算中的应用附：关于型积分的公式推导xxRd)((思路)推导(4)||d)(CzzRC0CkzCzzR|d||)(|Czz|d|||32π23π3,0.)(,],)([Res2kkzzRiπxxRd)(CzzRd)((5)由.],)([Res2kkzzRiπxxRd)((返回)26第五章留数及其应用§5.3留数在定积分计算中的应用附：关于型积分的公式推导)0(d)(eaxxRiax.],)([Res2ekkzaizzRiπ(1)如图，取积分路径为,0CCC(思路)推导其中的半径为C.||maxkkz(2)根据留数定理有CzaizzRd)(eC0CkzCzaizzRd)(e0d)(eCzaizzRxxRxaid)(eCzaizzRd)(eP12327第五章留数及其应用§5.3留数在定积分计算中的应用(3)|)(|zR||||22112211mnnmnnnnbzbzbzazazaz不妨设|1||1|||11111mmnnzbzbzazaz||||||1||1||11111mmnnzbzbzazaz5.015.01||1z