03 第三章 应变理论

第三章应变理论TheoryofStrains应变理论Chapter4位移和应变刚体转动应变协调方程位移场的单值条件由应变求位移正交曲线坐标系中的几何方程例题和作业Chapter4.1yzxoABCABCABCABC位移位移和应变Chapter4.1位移的描述①刚体位移：整个物体在空间做刚体运动引起的，包括平动和转动。②变形：物体形状变化引起的位移，位移发生时不仅改变物体的绝对位置，而且改变了物体内部各个点的相对位置。一般来说，刚体位移和变形是同时出现的。位移和应变Chapter4.1yzxoA:(x,y,z)..A':(x',y',z')位移u123(,,)xxxuu位移和应变Chapter4.1位移123(,,)xxxuu(,,)(,,)(,,)uuxyzvvxyzwwxyz分量形式：111232212333123(,,)(,,)(,,)uuxxxuuxxxuuxxx或位移和应变Chapter4.1单轴应变xdxxABA’B’u(x)u(x+dx)F位移和应变Chapter4.1单轴应变微元的长度变化：lABABxdxuxdxxuxdxuxdxuxTaylor级数展开：22212duduuxdxuxdxdxdxdx位移和应变Chapter4.1单轴应变略去高阶项：单轴应变（工程应变）定义为：duluxdxuxdxdx/xxldududxdxldxdx位移和应变应变分量平行六面体(称为微元体)Chapter4.1yzxo位移和应变应变分量Chapter4.1yzxodxdydz位移和应变Chapter4.1位移和应变ddddddxyzxxyyzzChapter4.1正应变(相对伸长度)位移和应变Chapter4.1切应变(剪应变)yzxo12yzzyxyyxyzzyzxxz位移和应变Chapter4.1工程剪应变yzxoyzzyxyyxyzzyzxxz位移和应变duuyyduyyPCBAPABCdxxuduxxdvvxxdvxxydyvdvvyy＋uyx位移和应变由于位移是坐标值的连续函数，所以P点在x及y轴上的位移分量为u，v，则A点及B点的位移分量为(d,,);(d,,)(,d,);(,d,)uxxyzvxxyzuxyyzvxyyzChapter4.1A:B:d,dd,duvuxvxxxuvuyvyyyA:B:位移和应变按照多元函数Taylor级数展开，并利用小变形假设而略去二阶以上的无穷小量，则得A点及B点的位移分量为d,dd,duvuxvxxxuvuyvyyyChapter4.1位移和应变ddddxuuxxuxxuxxPCBAPACdxxuduxxyxoChapter4.1＋u适用条件？位移和应变ddddyvvyyvyyvyyChapter4.1xyzotantanxyddd1d1uvyxyxuvxyxy11xyuvvuyxxy位移和应变小应变情况下，应变和位移的关系：1,21,21,2xxxyyyyzzzzxuvuxxyvwvyyzwuwzzxChapter4.1几何方程位移和应变小应变情况下，应变和位移的关系：1121112211212232223322323313313313131,21,21,2uuuxxxuuuxxxuuuxxxChapter4.1几何方程位移和应变指标形式为:12jiijjiuuxx小应变情况下，工程应变和位移的关系：,,,xxxyyyyzzzzxuvuxxyvwvyyzwuwzzxChapter4.1几何方程位移和应变Chapter4.2位移和应变ijij小应变张量的几何意义是：当指标i=j时，表示沿坐标轴i方向的线元工程正应变，以伸长为正，缩短为负；当指标(i≠j)时，的两倍表示坐标轴i与j方向两个正交线元间的工程剪应变。以锐化（直角减小）为正，钝化（直角增加）为负。Chapter4.2小应变张量的性质新老坐标中的应变张量分量与满足转轴公式由此可根据应变分量ij求出任意方向的正应变和剪应变。因而小应变张量完全表征了一点的应变状态。mnijmnminjij位移和应变应变张量在每点存在三个相互正交的主方向设v为主方向的单位矢量，则按张量主方向的定义有标量称为应变张量的主值，即沿主方向v的主应变。与主应力类似，主应变也具有实数性，正交性和极值性。Chapter4.2vεvv()0ijvijjv位移和应变Chapter4.2存在第一、第二和第三应变不变量()0ijvijjv系数行列式为零221230vvv11230212233131231233()iiiijjijijijkijke其中：分别称为第一、第二和第三应变不变量。位移和应变Chapter4.2应变主轴－沿每点应变主方向的坐标线由应变主轴组成的正交曲线坐标系称为主应变坐标系。最大工程剪应变发生在主平面内，其值为最大与最小主应变之差。等倾线元正应变（又称八面体正应变）等于平均正应变0。位移和应变Chapter4.2八面体剪应变是等倾面法线与等倾面上任意线元间之剪应变的最大值。位移和应变xo1x3x21231()3eee22281223312()()()3Chapter4.2应变张量可分解为应变球量和应变偏量之和1133ijijkkijijijkkijijeeIee即即0000001()()00300kkijij称为球形应变张量，0为平均正应变。位移和应变Chapter4.2将0ij代入上述两式可得因此应变球量表示等向体积膨胀或收缩，它不产生形状畸变。vijijvvvv222vtvtijijvtvεt0;0vvt位移和应变13ijkkijij1101213212202331323301()()3ijijkkijChapter4.2称为应变偏量。ij0ii即应变偏量不产生体积变化，仅表示形状畸变。位移和应变Chapter4.2几种特殊的应变场刚体位移0xuuvyx31const2vuxyxwzu21const2uwzx11const2wvyzzvyw0yv0zw0ij位移和应变Chapter4.2zyudzdyu23023)(zxvdzdxv13013)(yxwdydxw12012)(rueeeu0321wvu于是可得位移和应变Chapter4.2纯变形zvyw2101xwzu2102yuxv2103zvywzuxwyuxvuxuyvzw存在全微分位移和应变Chapter4.2常正应变状态是纯变形的一例,,321CCCzyx2/)(232221zCyCxC0zxyzxy位移和应变Chapter4.2均匀变形状态zayaxauu3210zbybxbvv3210zcycxcww3210121,baaxyx322,bcbyzy133,cacxyz位移和应变Chapter4.2①直线在变形后仍为直线；②相同方向的直线以同样比例伸缩；③互相平行的直线变形后仍平行；④平面在变形后仍为平面；⑤平行平面变形后仍平行；⑥球面变形后成为椭球面。均匀变形状态的性质：位移和应变应变理论Chapter4位移和应变刚体转动应变协调方程位移场的单值条件由应变求位移正交曲线坐标系中的几何方程例题和作业Chapter4.3刚体转动位移场u变形=刚体运动+刚体运动刚体平移=刚体转动+考虑线元PQ，变形前其端点位置是P(x)和Q(x+dx)。P点位移为u(x)，Q点位移为其中,u(x)是线元随P点的刚体平移，du是Q点相对于P点位移的增量，其值为Chapter4.3(d)()duxxuxudd,ddiijjuuxxuux由商判则可知，位移梯度u为一个二阶张量。刚体转动Chapter4.3将u分解成对称张量与反对称张量之和对称部分即为小应变张量，定义反对称部分为11()()22uuuuu1122jjiiijjijiuuuuuxxxxx1()2uu称为转动张量刚体转动Chapter4.311()()22uuuuuudduux代入ddduxxdddiijjijjuxx刚体转动Chapter4.3由反对称张量的性质可知：反对称张量只有三个独立分量12,23和312112312322312331312311)21)21)2uuxxuuxxuuxx＝＝（＝（＝（指标记号ijijkke刚体转动Chapter4.3转动矢量112233eeeijijkkeddd(d)ijjijkkjikjkjixexexxddxx称为张量的反偶矢量刚体转动Chapter4.3指标形式为：(a)(d)()duxxuxudddiijjikjkjuxexddduxx(b)刚体转动Chapter4.3(d)()dduxxuxxx刚体平移变形刚体转动刚体转动Chapter4.33刚体转动Chapter4.3对变形体来说，转动矢量和转动张量都是随点而异的。若考虑整个物体作刚体转动（＝0，=常数）的情况，则这就是理论力学中熟知的刚体转动公式：(a)ddduxx00uuxux110322310122133120133120233211130211230311322uuxxuxxuuxxuxxuuxxuxx刚体转动Chapter4.3iijijjux小应变假设：1ijuxu可见仅当1ij且1ij时才有1ijux。所以线性弹性理论仅适用于应变和转动都很小的情况。刚体转动应变理论Chapter4位移和应变刚体转动应变协调方程位移场的单值条件由应变求位移正交曲线坐标系中的几何方程例题和作业小应变情况下的几何方程：12jiijjiuuxxChap