常点邻域上的级数解法

§9.2常点邻域上的级数解法一、线性二阶常微分方程特殊函数方程大多为二阶线性常微分方程，一般形式(实数域)为：①更一般的形式为(推广至复数域)②其中z为复变数，z0为选定的点，c0和c1为任给的1000)()(0)()(cxycxyyxqyxpy100022)()(0)()(czwczwwzqdzdwzpdzwd复常数，且w(z)为未知函数，p(z)和q(z)为已知复变函数，称为方程的系数。上述方程一般不能用通常方法解出，但可用级数解法。即在任选某点的邻域上将待求的解表示为级数形式，代入方程再确定系数。方程②的解的性质完全由系数p(z)和q(z)的解析性决定：若p(z)和q(z)都在z0及其某邻域内解析，则称z0为方程的常点；否则称z0为方程的奇点。二、常点邻域内的级数解1.微分方程解析理论的基本定理：若p(z)和q(z)在圆|z-z0|R内单值解析，则方程在圆内存在唯一的解w(z)，且满足初值条件，，且w(z)在圆域内单值解析。2.解的形式：由上述定理，在|z-z0|R内w(z)可写成泰勒级数③将③代入②可确定系数ak(用c0和c1表示)，这种方法称为级数解法。0)()(wzqwzpw1000)()(czwczw00)()(kkkzzazw三、勒让德方程自然边界条件例：x0=0的邻域上求解l阶勒让德方程④解：方程可写成则显然x0=0是方程的常点，可设解为0)1(2)1(222ylldxdyxdxydx01)1(1222yxllyxxy221)1()(12)(xllxqxxxp000)()(kkkkkkxaxxaxy......)(332210kkxaxaxaxaaxy...)1(...32)(112321kkkkxakxkaxaxaaxy...)1)(2(...34232)(224232kkxakkxaxaaxy代入方程④，由下表合并相同幂次项的系数：x0x1x2...xk...y2·1a23·2a34·3a4...(k+1)(k+2)ak+2...-x2y-2·1a2...-k(k-1)ak...-2xy'-2·1a1-2·2a2...-2kak...l(l+1)yl(l+1)a0l(l+1)a1l(l+1)a2...l(l+1)ak...每列系数之和必为零，得递推公式⑤0])1(2)1()2)(1[(02kkkkkkxallkaakkakk0)]1()1([)2)(1(2kkallkkakkkkkakklklkakkllkka)2)(1()1)(()2)(1()1()1(202!2)1)((12)1(allallak024!4)3)(1)()(2(34)3()2(allllalla046!6)5)(3)(1)()(2)(4(56)3)(4(allllllalla0222)!2()12)...(1)()...(22()12(2)12)(22(akkllllkakkkllkakkkkkakklklkakkllkka)2)(1()1)(()2)(1()1()1(2113!3)2)(1(23)2)(1(allalla135!5)4)(2)(1)(3(45)4)(3(allllalla157!7)6)(4)(2)(1)(3)(5(67)6)(5(allllllalla11212)!12()2)...(2)(1)...(12()12(2)2)(12(akkllllkakkkllkakk得到l阶勒让德方程解：⑥(两个级数之和)y0(x)只含偶次幂，为偶函数，y1(x)只含奇次幂，为奇函数，a0、a1为任意常数，可由初始条件确定⑦)()()(1100121222xyaxyaxaxaxykkkk...)!22()12)(12)...(22)(2()!2()12)...(3)(1)()...(42)(22(...!2)1)((1)(22220kkxkklkllklkxkklllllklkxllxy⑧判断级数解的收敛性:由递推公式⑤可得收敛半径：所以，y0(x)、y1(x)收敛于|x|1...)!32()22)(2)...(12)(12()!12()2)...(4)(2)(1)...(32)(12(...!3)2)(1()(321231kkxkklkllklkxkklllllklkxllxxy1)1)(()1)(2(limlnlnnnRn说明：(1)|x|=|cosθ|≤1，不存在x1的情况；(2)x=±1，对应θ=0，θ=π，对应极轴的正负方向，而y0(x)、y1(x)在x=±1均发散(见P397)。(3)可以证明l阶勒让德方程不存在形如且在x=±1均有限的无穷级数解(P193)；(4)自然边界条件构成的本征值问题实际问题中要求解在一切方向保持有限，即在x∈[-1，1]或θ∈[0，π]上有限物理问题要求解在x=±1保持有限，而y0(x)、y1(x)不满足该要求。)()()(1100xyDxyDxy由⑥及⑦⑧可见：a.l=2n(n是正整数)时，y0(x)退化为多项式，有限。可取a1=0保证解y(x)有限；b.l=2n+1(n是零或正整数)时，y1(x)退化为多项式，有限。可取a0=0保证解y(x)有限；因此，要满足上述边界条件，即x=±1保持有限，必须满足：本征值是l(l+1)(l为零或正整数)，相应的本征函数是l阶勒让德多项式。通常把“解在x=±1保持有限”说成是勒让德方程的自然边界条件。勒让德方程本征值问题解在x=±1保持有限(自然边界条件)本征值是l(l+1),(l为零或正整数)，相应的本征函数是l阶勒让德多项式。习题：(P194.2)在x0=0的邻域上求解y-xy=0解：p(x)=0，q(x)=-x，x0=0是常点。设0)(nnnxaxy0222)1)(2()1()(kkknnnxakkxannxy1101)(kkknnnxaxaxxy代入方程，比较系数得由上式(1)a2=a-1=0，(∵a-1=0)a5=0，...，a3k+2=0，(2)12)2)(1(1kkakka)0(321003待定aaa036!641651aaa03)!3()23...(741akkak(3)故由递推公式得：)0(431114待定aaa147!752761aaa113)!13()13...(852akkak...)!3()23(741...3211)(330kxkkxxy...)!13()13(852...431)(1341kxkkxxxy)2)(1(limkkRk例(P195.3):在x0=0的邻域上求解埃尔米特(厄密)方程y-2xy'+(λ-1)y=0，(量子力学谐振子问题中出现)λ取什么数值可使级数解退化为多项式？这些多项式乘以适当的常数使最高幂项成为(2x)n形式，叫做厄密多项式，记为Hn(x)，写出前几个Hn(x)。解：x0=0是方程的常点，设)(0)1(2xyyxy1)(2)(xqxxp0)(nnnxaxy则：代入方程，得推导得，其中0)1()1(kkkxay0112222kkkkkknnnxkaxkaxnayx0222)2)(1()1(kkknnnxakkxannykkakkka)2)(1(122)()()(1100xyaxyaxy...)!2()34)...(5)(1(...!4)5)(1(!211)(2420kxkkxxxy...)!12()14)...(7)(3(...!5)7)(3(!313)(12531kxkkxxxxy且当λ=4k-3(k=1，2...)时，y0(x)退化成多项式；当λ=4k-1(k=1，2...)时，y1(x)退化成多项式；取k=1有λ=4k-3=1，y0(x)=1，记为H0(x)=(2x)0=112)1)(2(limkkkRkλ=4k-1=3，y1(x)=x，记为H1(x)=2y1(x)=(2x)1=2x取k=2有λ=4k-3=5，y0(x)=1-2x，记为H2(x)=-2y0(x)=(2x)2-2λ=4k-1=7，y1(x)=x-2x3/3，记为H3(x)=-(22)3y1(x)=(2x)3-12x参阅教材P409。