函数y=Asin(wx+φ)的图像与性质

4.4函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质考情分析•“根据图像和性质求三角型函数解析式”是高考常考内容.•一般以小题和大题的第一问为主,考察时有时只求部分参数,且往往会再结合其他性质提出问题•难度一般不大.知识梳理关键:找出与x相对应的五个点知识梳理难点正本疑点清源知识梳理2.函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤如下：由y＝sinx的图象，利用图象变换作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)(x∈R)的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x轴的伸缩量的区别．先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位，而先周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是|φ|ω个单位．2．图象变换的两种方法的区别|φ||φ|ω知识梳理知识梳理要点探究探究点1画函数y＝Asin(ωx＋φ)图像及图像变换探究点1画函数y＝Asin(ωx＋φ)图像及图像变换探究点1画函数y＝Asin(ωx＋φ)图像及图像变换探究点1画函数y＝Asin(ωx＋φ)图像及图像变换探究点1画函数y＝Asin(ωx＋φ)图像及图像变换探究点1画函数y＝Asin(ωx＋φ)图像及图像变换例2.(2011·江苏)已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A0，ω0)的部分图象如图所示，则f(0)的值是______．探究点2求函数y＝Asin(ωx＋φ)解析式变式：已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，|φ|π2，ω0)的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为________________．f(x)＝2sin2x＋π6探究点2求函数y＝Asin(ωx＋φ)解析式观察图象可知：A＝2且点(0,1)在图象上，∴1＝2sin(ω·0＋φ)，即sinφ＝12.∵|φ|π2，∴φ＝π6.又∵1112π是函数的一个零点，且是图象递增穿过x轴形成的零点，∴11π12ω＋π6＝2π，∴ω＝2.∴f(x)＝2sin2x＋π6.例3知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A0，ω0,0φπ2)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M2π3，－2，求f(x)的解析式。思考:题中给出的性质与振幅A,周期T,初相的关系探究点2求函数y＝Asin(ωx＋φ)解析式变式训练(2012·陕西)函数f(x)＝Asinωx－π6＋1(A0，ω0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设α∈0，π2，fα2＝2，求α的值．探究点2求函数y＝Asin(ωx＋φ)解析式(14分)如图为y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一段．(1)求其解析式；(2)若将y＝Asin(ωx＋φ)的图象向左平移π6个单位后得y＝f(x)，求f(x)的对称轴方程．用方程思想求三角函数图象的解析式(1)图象是y＝Asin(ωx＋φ)的图象．(2)根据“五点法”作图的原则，M可以看作第一个零点；5π6，0可以看作第二个零点．审题视角探究点3函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像和性质的综合应用规范解答解(1)由图象知A＝3，以Mπ3，0为第一个零点，N5π6，0为第二个零点．[2分]列方程组ω·π3＋φ＝0，ω·5π6＋φ＝π，解之得ω＝2，φ＝－2π3.[5分]∴所求解析式为y＝3sin2x－2π3.[7分](2)f(x)＝3sin2x＋π6－2π3＝3sin2x－π3，[10分]答题模板令2x－π3＝π2＋kπ，则x＝512π＋kπ2(k∈Z)，[12分]∴f(x)的对称轴方程为x＝512π＋kπ2(k∈Z)．[14分]答题模板第一步：根据图象确定第一个平衡点、第二个平衡点或最高点、最低点．第二步：将“ωx＋φ”作为一个整体，找到对应的值．第三步：列方程组求解．第四步：写出所求的函数解析式．第五步：回顾反思，查看关键点，易错点及答题规范．答题模板[2013.四川卷]函数的部分图象如图所示，则的值分别是（）()2sin()(0,)22fxx,2,32,64,64,3（A）（B）（C）（D）高考链接A(2012·天津卷)将函数f(x)＝sinωx(其中ω0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点3π4，0，则ω的最小值是()A.13B．1C.53D．2D高考链接(2012·浙江卷)把函数y＝cos2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是()ABCD高考链接A高考链接(2009·辽宁理，8)已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)的图象如图所示，,则f(0)=（）A.B.C.D.32)2(f32213221c高考链接(2012·湖南卷)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)x∈R，ω0，0φπ2的部分图象如图所示.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝fx－π12－fx＋π12的单调递增区间．高考链接解析：(1)由题设图象知，周期T＝211π12－5π12＝π，所以ω＝2πT＝2.因为点5π12，0在函数图象上，所以Asin2×5π12＋φ＝0，即sin5π6＋φ＝0.高考链接又因为0φπ2，所以5π65π6＋φ4π3.从而5π6＋φ＝π，即φ＝π6.又点(0,1)在函数图象上，所以Asinπ6＝1，得A＝2.故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin2x＋π6.(2)g(x)＝2sin2x－π12＋π6－2sin2x＋π12＋π6＝2sin2x－2sin2x＋π3＝2sin2x－212sin2x＋32cos2x＝sin2x－3cos2x＝2sin2x－π3.高考链接由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，k∈Z.所以函数g(x)的单调递增区间是kπ－π12，kπ＋5π12，k∈Z.规律总结在由图象求解析式时，“第一个零点”的确定是重要的,应尽量使A取正值.已知函数图象求函数y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0）的解析式时，常用的解题方法是待定系数法，由图中的最大值或最小值确定A,由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ,但由图象求得的y=Asin（ωx+φ）（A0,ω0）的解析式一般不惟一，只有限定φ的取值范围，才能得出惟一解，否则φ的值不确定，解析式也就不惟一.小结