3 截面的几何性质 武汉理工大学 材料力学课件

1第三章截面图形的几何性质2§3-1静矩和形心§3-2惯性矩、惯性积和惯性半径§3-3惯性矩、惯性积的平行移轴公式§3-4惯性矩、惯性积的转轴公式第三章截面图形的几何性质3,ppGITlIT已学：轴心受拉（压）构件：,NNEAlFlAF扭转构件：,zzEIMwIMy弯曲构件：将学：456钢轨嵌入式轨道结构的横截面——梯形箱型梁，结构刚度很大，可以减少不均匀沉降和振动。软土地区的新型无碴轨道系统：7yzO一、静矩对y轴的静矩：AydAzSAzdAyS对z轴的静矩：yzAd大小：正，负，0。量纲：[长度]3§3-1静矩和形心8二、截面图形的形心截面图形的形心=几何形状相同的均质薄板重心ASAAyyzAcdASAAzzyAcdczyAScyzASyzOczcyC则截面图形对其对称轴的静矩恒为0。结论：若Sy=0若Sz=0反之亦成立。y轴通过形心，zc=0yc=0z轴通过形心，反之亦成立。9三、组合截面图形的静矩和形心niiiyzAS1niiniiizcAyAASy11niiniiiycAzAASz11[例3-1]试确定左图的形心。cczyC,212211AAzAzAzcmm74.39110108010651101058010212211AAyAyAycmm74.19110108010511010408010niiizyAS1yz801201010C2C110一、惯性矩和惯性半径：yzOyzAd对y轴的惯性矩AyAzId2对z轴的惯性矩AzAyId2大小：正。量纲：[长度]42yyiAI2zziAIAIiyy对y轴的惯性半径AIizz对z轴的惯性半径§3-2惯性矩、惯性积和惯性半径11hbyzC123hbIzzzd12dd32h2h-22bhzbzAzIAy12123hbhbhAIiyy12123bbhhbAIizz同理：例：求图示矩形截面对其对称轴的惯性矩和惯性半径。12dOyz32d2d42022dAIdAp例：对实心圆截面，有：d二、极惯性矩：ApAId2zyAAAApIIAyAzAyzAIdddd22222yzOAdyz64214dIIIpzy446424dddiizy13空心圆截面：)(Dd组合图形的惯性矩：niyiyII1nizizII14416421DIIIpzydDOyz)1(3232)(d2d44442222DdDAIDdAp123bhIy)1(3244DIp44164DIIzy圆形截面：矩形截面：4diizy实心圆截面：hbyzC14AdAdyyzzyzOz轴为对称轴：0dAyzAyzI图形对任一包含对称轴在内的一对正交坐标轴的惯性矩为0。三、惯性积：AyzAyzId大小：正，负，0。量纲：[长度]4组合图形的惯性积niyziyzII1y惯性矩是对一根轴而言的，惯性积是对一对轴而言的，极惯性矩是对一点而言的。zypIII15四、主轴：使截面的惯性积为零的一对正交坐标轴称为主惯性轴，简称主轴；截面对主轴的惯性矩称为主惯性矩。如果主轴的交点与截面形心重合，则称其为形心主惯性轴，简称形心主轴；截面对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩。zyyzC形心轴y’、z’不是形心主轴形心轴y、z是形心主轴主轴不唯一形心主轴唯一16一、平行移轴公式AbbSIAbbyyAybAyIzczcAAAz221212122d)2(d)(dyzOCcyczab1zAdz1yyAycAzId21AzcAyId21AyczcAzyId11AbIzc2§3-3惯性矩、惯性积的平行移轴公式已知：Iyc，Izc，Iyczc；求：Iy，Iz，Iyz。0czccAySz为形心轴，17AbIIzcz2abAIIAaIIyzcyzycy2同理：在所有互相平行的轴中，截面图形对形心轴的惯性矩最小。yzOCcyczab1zAdz1yy18zy解：644DIIzy外外644dIIzcy内6452464242242dddddAIIzcz内内dD[例3-2]求图示带圆孔的圆形截面对y轴和z轴的惯性矩。646444dDIIIyyy内外6456444dDIIIzzz内外cz19BdA[例3-3]求图示圆对其切线AB的惯性矩。解：建立形心坐标如图,求图形对形心轴的惯性矩。645166424442dddAdIIyAByzOyzypIIIdI2324644dIIzy20[例3-4]求图示截面图形对水平形心轴y的惯性矩。mm3.331402010020014020801002011'niiniiiycAzAASz①②10014016020yC解：(1)选参考系，确定形心C的位置：zy'y′z0cy444232321cm7.1210mm107.1210)3.331402014020121(])3.3380(1002020100121[yyyIII(2)计算Iy215050·Cz500[例3-5]计算图示箱式截面对水平形心轴z的惯性矩Iz。·2C4252Cy4001Cy·1CCyyz’解：(1)选参考系确定形心位置：zy213180050012800500CCzyyI223255040012550400CCzyyI41021mm1054.1zzzIIImm44.369550400800500425550400400800500212211'AAyAyAASyCCzc(2)计算Iz22[例3-6]电线铁塔基座采用四个等边角钢组成L160×10mm，a=3m，试计算基座的形心主惯性矩。z0z1zyaa解：AzaIIzz2012442cm52.2677710)1.66864853.779(4502.3131.415053.7794组合截面可以大大提高截面惯性矩。8.85753.7791.668648单个形心惯性矩平衡项惯性矩23一、转轴公式yzOyzAdAyAzId2AzAyId2AyzAyzIdAyAzId211AzAyId211AzyAzyId11111y1z1y1zα逆时针转为正。cossinsincos11zyzzyysincossinsincoscoscos1zyy§3-4惯性矩、惯性积的转轴公式242sinsincosdsincosd222211yzzyAAyIIIAyzAzIcossinsincos11zyzzyyyzOyzAd1y1z1y1z2sincos2221yzzyzyzIIIIII2sincos2221yzzyzyyIIIIIIcos22sin211yzzyzyIIII转轴公式zyzyIIII1125二、形心主轴和形心主惯性矩1、主轴和主惯性矩：坐标旋转到=0时，02cos2sin20000yzzyzyIIII则与0对应的旋转轴y0z0称为主轴。zyyzIII22tan0220022yzzyzyzyIIIIIII：主惯性矩2sincos2221yzzyzyzIIIIII2sincos2221yzzyzyyIIIIIIcos22sin211yzzyzyIIII转轴公式26截面对通过同一点的所有轴中，最大或最小惯性矩即为对通过该点的主轴的主惯性矩。2sincos2221yzzyzyyIIIIII0dddd00110＝＝时，＝当zyII2sincos2221yzzyzyzIIIIII02cos2sin20000yzzyzyIIIIzyyzIII22tan02cos22sindd1yzzyyIIII2cos22sindd1yzzyzIIII272、形心主轴和形心主惯性矩zcycyczcIII22tan0220022yczczcyczcyczcycIIIIIII形心主惯性矩形心主轴形心主惯性矩小者为截面对所有轴的惯性矩中的最小值。283、求截面形心主惯性矩的方法、建立坐标系。、计算面积和静矩、求形心位置AAzASzAAyASyiiyiiz、求形心主惯性矩zcycyczcIII22tan0、求形心主轴方向0、建立形心坐标系，求yczczcycIII、、220022yczczcyczcyczcycIIIIIII29[例3-7]在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴。(b=1.5d)解：建立参考坐标系yOz：求形心位置：dddddAAzzAAAyyiiCiiC177.0434200222db2dyzOyCzCy1建立形心坐标系yCCzC，求yczczcycIII、、便是形心主惯性矩。轴便是形心主轴；zcycccyczcIIzyI、、0C30一、选择题1、在下列关于平面图形的结论中，是错误的。（A）图形的对称轴必定通过形心。（B）图形两个对称轴的交点必为形心。（C）图形对对称轴的静矩为零。（D）使静矩为零的轴必为对称轴。2、在平面图形的几何性质中，的值可正，可负，也可为零。（A）静矩和惯性矩。（B）极惯性矩和惯性矩。（C）惯性矩和惯性积。（D）静矩和惯性积。DD本章练习313、设矩形对其一对称轴z的惯性矩为I,则当其高宽比保持不变，而面积增加1倍时，该矩形对z轴的惯性矩将变为。（A）2I（B）4I（C）8I（D）16I4、若截面图形有对称轴，则该图形对其对称轴的说法正确的是。（A）静矩为零，惯性矩不为零。（B）静矩不为零，惯性矩为零。（C）静矩和惯性矩均为零。（D）静矩和惯性矩均不为零。BA325、直径为D的圆对其形心轴的惯性半径i=。（A）D/2（B）D/4（C）D/6（D）D/86、若截面有一个对称轴，则下列说法中，是错误的。（A）截面对对称轴的静矩为零。（B）对称轴两侧的两部分截面，对对称轴的惯性矩相等。（C）截面对包含对称轴的正交坐标系的惯性积一定为零。（D）截面对包含对称轴的正交坐标系的惯性积不一定为零（这要取决坐标原点是否位于截面形心）。BD337、任意图形，若对某一对正交坐标轴的惯性积为零，则这一对坐标轴一定是该图形的。（A）形心轴（B）主惯性轴（C）形心主惯性轴（D）对称轴8、在图形对通过某点的所有轴的惯性矩中，图形对主惯性轴的惯性矩一定。（A）最大（B）最小（C）最大或最小（D）为零BC9、有下述两个结论；①对称轴一定是形心主惯性轴；②形心主惯性轴一定是对称轴。其中。（A）①正确，②错误。（B）①错误，②正确。（C）①②正确。（D）①②错误。A3411、在yoz正交坐标系中，设图形对y,z轴的惯性矩分别为Iy和Iz，则图形对坐标原点的极惯性矩。（A）Ip=0（B）Ip=Iy+Iz（C）（D）22zypIII22zypIII10、正交坐标轴y，z轴为截面形心主惯性轴的条件是。