旋转矢量法

同学们好！k上讲内容二.特征量角频率mk振幅22020vxA)(000xvarctg初相一.简谐振动的运动方程(平衡位置为坐标原点）)cos(0tAx0222xtxddkxF三.旋转矢量法写出质点m以角速率沿半径A的圆周匀速运动的参数方程思考：x、y方向分运动均为简谐振动)cos(0tAx)sin(0tAyxyomA0)cos(tAx旋转矢量的端点在轴上的投影点的运动为简谐运动.xA模振幅A角速度角频率旋转周期振动周期T=2/上的投影在oxAr上的投影端点速度在oxAr上的投影端点加速度在oxAr位移速度加速度x=Acos(t+0)v=-Asin(t+0)a=-2Acos(t+0)旋转矢量简谐振动符号或表达式Ar初相0t=0时，与ox夹角Ar相位t+0t时刻，与ox夹角Ar旋转矢量与简谐振动的对应关系（教材P.378表13.1.2/P.8表12.1.1）ω(ωt+0)xMOArA旋转矢量法优点：直观地表达谐振动的各特征量便于解题,特别是确定初相位便于振动合成由x、v的符号确定所在的象限：Ar)cm(x24o教材P.41013-6/P.4012-6解：作t=0时刻的旋转矢量0Ar求：质点运动到x=-12cm处所需最短时间。已知：A=24cm,T=3s,t=0时,00vcm,120x作x=-12cm处的旋转矢量Ar12-120ArArs5.061minTt练习练习两个小球a和b分别沿o-x轴作简谐振动，在t=0时，两球均在平衡位置，且球a向x轴的正方向运动，球b向x轴的负方向运动，比较t=4/3s时两球的振动相位差。（Ta=2Tb=2s）四.孤立谐振动系统的能量)(sin21)(sin212102202222ktkAtmAmvE恒量2kp21kAEEE孤立谐振动系统机械能守恒水平放置的弹簧振子{)sin()cos(00tAvtAx以平衡位置为坐标原点不计振动传播带来的能量损失——辐射阻尼不计摩擦产生的热损耗——摩擦阻尼)(cos21210222ptkAkxΕtxtv221kAE0tAxcostAsinvv,xtoT4T2T43T能量oTttkAE22pcos21tAmE222ksin21E-t曲线E-x曲线倍的变化频率为2,pkxEE彼此变化步调相反pk,EE竖直悬挂的弹簧振子以弹簧原长处为重力势能、弹性势能零点以平衡位置为坐标原点)()(21)020pxxmgxxkE)()(210020xxkxxxk2022121kxkx2022KP21)2121(kxmvkxEEE恒量2022121kxkAkmOxkx0EP=0mg-kx0=0xk恰当选择零势点，可去掉第二项。如何选？以平衡位置为坐标原点和势能零点2020p21)(21kxmgxxxkE2002021)(21kxxkxxxk221kx222pk212121kAkxmvEEEkmOxkx0EP=0mg=kx0xk弹簧的弹力kxF弹簧的伸长准弹性力：弹力与重力的合力kxF离系统平衡位置的位移22kx弹性势能22kx重力势能和弹性势能的总和准弹性势能，比较竖直悬挂的弹簧振子水平放置的弹簧振子回复力势能总能222212121kAkxmv统一描述：只要以平衡位置为坐标原点和零势点2p21kxE准弹性势能:（包括重力势能、弹性势能）221kAE振动系统总能量•能量法求谐振动的振幅机械能守恒：222212121kAkxmv自学教材P381[例6]、[例7]/P.12[例5]•能量法求谐振动的周期两边对时间求导：2dd222Txtxa例：能量法求谐振动的周期mx已知：求：Tm,J,R,k解：以平衡位置为坐标原点和零势点，向下为正，任意时刻t系统的机械能为：2222k21212121RvJmvJmvEckxEkxE2p2p2121滑轮恒量ckxRvJmvEEE222pk212121振动系统机械能守恒：两边对时间求导：02kxvRJvamvaxRJmkxtxa2222ddkRJmTRJmk2222;得：质量为的物体，以振幅作简谐振动，其最大加速度为,求：kg10.0m100.122sm0.4（1）振动的周期；（2）通过平衡位置的动能；（3）总能量；（4）物体在何处其动能和势能相等？解（1）2maxAaAamax1s20s314.0π2T练习（2）J100.23222maxmax,k2121AmmEv（3）max,kEEJ100.23（4）pkEE时，J100.13pE由222p2121xmkxE2p22mEx24m105.0cm707.0x摆动（单摆、复摆介绍）研究摆动的理想模型——单摆和复摆mlmaF22ddsintmlmg切向运动方程0sindd22lgt一、单摆：无伸长的轻线下悬挂质点作无阻尼摆动lm建立如图自然坐标受力分析如图nNmg0sindd22lgt0sindd222t!5!3sin53单摆运动的微分方程非线性微分方程无解析解令lg2得：很小时当sin0dd222t角谐振动glT22)cos(mt由初始条件决定运动方程：周期：二、复摆：绕不通过质心的光滑水平轴摆动的刚体由刚体定轴转动定律JM22ddsintJmgh0sindd22Jmght令Jmgh20sindd222t——复摆运动的微分方程也是非线性微分方程mgJCoh很小时当sin0dd222t角谐振动由小角度摆动都是谐振动，可推广到一切微振动均可用谐振动模型处理。例如晶体中原子或离子在晶格点平衡位置附近的振动。mghJT22)cos(mt由初始条件决定运动方程：周期：简谐运动的描述和特征xa24）加速度与位移成正比而方向相反xtx222dd2）简谐运动的动力学描述)sin(tAv)cos(tAx3）简谐运动的运动学描述Jmgl复摆mk弹簧振子lg单摆kxF1）物体受线性回复力作用平衡位置0x小结：二.特征量角频率mk振幅22020vxA)(000xvarctg初相一.简谐振动的运动方程(平衡位置为坐标原点）)cos(0tAx0222xtxddkxF三.旋转矢量法四.能量（以平衡位置为坐标原点和势能零点）222pk212121kAkxmvEEE（旋转矢量旋转一周所需的时间）π2T用旋转矢量图画简谐运动的图tx