平行线的判定及性质-例题及练习

平行线的判定及性质一、【基础知识精讲】1、平行线的判定（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.（2）平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线.（3）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线.（4）同位角相等，两直线平行.（5）内错角相等，两直线平行.（6）同旁内角互补，两直线平行.3、平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等.（2）两直线平行，内错角相等.（3）两直线平行，同旁内角互补.二、【例题精讲】专题一：余角、补角、对顶角与三线八角例题1：∠A的余角与∠A的补角互为补角，那么2∠A是（）A．直角B.锐角C.钝角D.以上三种都有可能【活学活用1】如图2-79中，下列判断正确的是（）A.4对同位角，2对内错角，4对同旁内角B.4对同位角，2对内错角，2对同旁内角C.6对同位角，4对内错角，4对同旁内角D.6对同位角，4对内错角，2对同旁内角【活学活用2】如图2-82，下列说法中错误的是()A.∠3和∠5是同位角B.∠4和∠5是同旁内角C.∠2和∠4是对顶角D.∠1和∠2是同位角【活学活用3】如图,直线AB与CD交于点O,OE⊥AB于O,图中∠1与∠2的关系是（）A.对顶角B.互余C.互补D相等例题2：如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角分别是_______.ABCDOEF【活学活用4】如图，∠AOC+∠DOE+∠BOF=.专题二：平行线的判定例题3：如图，已知∠EFB+∠ADC=180°，且∠1=∠2，试说明DG∥AB.12ABCDFEG【活学活用】1、长方体的每一对棱相互平行，那么这样的平行棱共有()A．9对B．16对C.18对D．以上答案都不对2、已知:如图2-96,DE⊥AO于E,BO⊥AO,FC⊥AB于C，∠1=∠2,求证：DO⊥AB.3、如图2-97,已知：∠1=∠2=，∠3=∠4，∠5=∠6.求证:AD∥BC.4、如图2—101，若要能使AB∥ED，∠B、∠C、∠D应满足什么条件?5、同一平面内有四条直线a、b、c、d，若a∥b，a⊥c，b⊥d，则c、d的位置关系为（）A.互相垂直B．互相平行C.相交D．没有确定关系专题三：平行线的性质1、如图，110,ABCACBBO、CO分别平分ABCABCEFOABCDE和,ACBEF过点O与BC平行，则BOC.2、如图，AB//CD，BC//DE，则∠B+∠D=.3、如图，直线AB与CD相交于点O，OB平分∠DOE.若60DOE，则∠AOC的度数是.4、如图，175,2120,375，则4.13425、如图，//ABCD，直线EF分别交AB、CD于E、F，ED平分BEF，若172，则2.【例题讲解】例1：如图，已知：AD∥BC,∠AEF=∠B,求证：AD∥EF。证明：∵AD∥BC（已知）∴∠A+∠B＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠AEF=∠B（已知）∴∠A＋∠AEF＝180°（等量代换）∴AD∥EF（同旁内角互补，两条直线平行）例2：如图，已知：AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，且AB∥CD。求证：∠1＋∠2=90°CABDOEABCDEF123E1ABCD2ABCDEF证明：∵AB∥CD（已知）∴∠BAC＋∠ACD=180°(两条直线平行，同旁内角互补)又∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACD（已知）∴∠1＝21∠BAC,∠2＝21∠ACD（角平分线的定义）∴∠1+∠2＝21(∠BAC＋∠ACD)（等式的性质）＝21×180o＝90o即∠1＋∠2=90o例3：如图，已知：∠1＝∠2，求证：∠3＋∠4=180o证明：例4：如图，已知：AB∥CD，MG平分∠AMN,NH平分∠DNM，求证：MG∥NH。例5：如图，已知：AB∥CD，∠A＝C，求证：AD∥BC。ABCDABCDMFG123451ABCDMFGEHN2例6：如图，EF⊥AB，CD⊥AB，∠EFB=∠GDC，求证：∠AGD=∠ACB。如图，已知：AB∥DE，∠ABC+∠DEF=180°,求证：BC∥EF。如图。已知：∠1=∠2，AC平分∠DAB，求证：AB∥CD。专题四：批注理由例题3：完成推理填空：如图，直线AB、CD被EF所截，若已知AB//CD，求证：∠1＝ABCDFGEABCDFEABCD2∠C.请你认真完成下面填空.证明：∵AB//CD（已知），∴∠1＝∠（两直线平行，）又∵∠2＝∠3，（）∴∠1＝∠C（）.【活学活用1】完成推理填空：如图：已知∠A＝∠F，∠C＝∠D，求证：BD∥CE.请你认真完成下面的填空.证明：∵∠A＝∠F（已知）∴AC∥DF（）∴∠D＝∠（）又∵∠C＝∠D（已知），∴∠1＝∠C（等量代换）∴BD∥CE（）.【活学活用2】如图：已知∠B＝∠BGD，∠DGF＝∠F，求证：∠B＋∠F＝180°.请你认真完成下面的填空.证明：∵∠B＝∠BGD（已知）∴AB∥CD（）∵∠DGF＝∠F；（已知）∴CD∥EF（）∵AB∥EF（）∴∠B＋∠F＝180°（）.专题五：作辅助线（过平行线之间的拐点作平行线）1、如图，AB//CD，若∠ABE=130，∠CDE=152，则∠BED=.2、如图④，AB∥CD，∠BAE=120º，∠DCE=30º，则∠AEC=度.3、如图2-83，如果AB∥CD，则α、β、γ之间的关系为()A．α+β+γ=360°B．α-β+γ=180°C．α+β-γ=180°D．α+β+γ=180°4、如图2-86，AB∥CD，那么∠1+∠2+∠3+∠4=()A.720°B．360°C．180°D.540°BDE13ACF2ACBDE5、如图，已知AB//CD，（1）你能找到∠B、∠D和∠BED的关系吗？（2）如果∠B=46，∠D=58，则∠E的度数是多少？6、如图，已知AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，∠E=140º，求∠BFD的度数？例题4（探究题）：如图1，MA1∥NA2，则∠A1＋∠A2＝度；如图2，MA1∥NA3，则∠A1＋∠A2＋∠A3＝度；如图3，MA1∥NA4，则∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＝度；如图4，MA1∥NA5，则∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＋∠A5＝度；从上述结论中你发现了什么规律？如图5，MA1∥NAn，则∠A1＋∠A2＋∠A3＋……＋∠An＝度.【课堂练习】1、如图，DH∥EG∥BC，且DC∥EF，那么图中和∠1相等的角的个数是（）A.2，B.4，C.5，D.6A1A2A2A2A1A3A2图1图2MMMNNA3A1A4图3NA3A1A2A4A5图4MNA1A2A3A4A5A2A2A6An图5MNABCDE4、如图2-80，DE∥AB，∠CAE=31∠CAB，∠CDE=75°，∠B=65°则∠AEB是（）A．70°B．65°C．60°D．55°5、如图2-85，AB∥CD，EF⊥CD，FG平分∠EFC，则（）A．∠1∠2B．∠1∠2C．∠1=∠2D．不能确定6、如图2-89，∠BAC=90°，EF∥BC，∠1=∠B，则∠DEC=.7、、把一张长方形纸条按图⑤中，那样折叠后，若得到∠AOB′=70º，则∠B′OG=.8、如图，将长方形ABCD纸片沿BD折叠，使点C落在C处，BC交AD于点E，若∠DBC=22.5°，则在不添加任何辅助线的情况下，图中45°的角有（）（虚线也视为角的边）A.6个B.5个C.4个D.3个9、如图，将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点A′处，已知∠1+∠2=100°，∠A=.10、如图2-90，AB∥CD，AF平分∠CAB，CF平分∠ACD．(1)∠B+∠E+∠D=(2)∠AFC=.11、如图2-95，已知CD⊥AB于D，EF⊥AB于F，∠DGC=105°，∠BCG=75°，则∠1+∠2=.CDECADBC12AE12、如图2-100，直线l与m相交于点C，∠C=∠β，AP、BP交于点P，且∠PAC=∠α，∠PBC=∠γ，求证：∠APB=α+∠β+∠γ．