数字信号处理作业(附答案)1-郑佳春

习题一1.2在过滤限带的模拟数据时，常采用数字滤波器，如图中T表示采样周期（假设T足够小，足以防止混迭效应），把从)()(tytx到的整个系统等效为一个模拟滤波器。（a）如果kHzTradnh101,8)(截止于，求整个系统的截止频率。（b）对于kHzT201，重复（a）的计算。采样（T）nhnxtxnyD/A理想低通Tcty解（a）因为当0)(8jeHrad时，在数-模变换中)(1)(1)(TjXTjXTeYaaj所以)(nh得截止频率8c对应于模拟信号的角频率c为8Tc因此HzTfcc6251612由于最后一级的低通滤波器的截止频率为T，因此对T8没有影响，故整个系统的截止频率由)(jeH决定，是625Hz。（b）采用同样的方法求得kHzT201，整个系统的截止频率为HzTfc12501611.3一模拟信号x(t)具有如图所示的带通型频谱，若对其进行采样，试确定最佳采样频率，并绘制采样信号的频谱。解：由已知可得：35,25HLfkHzfkHz，10kHLBffHz＝，为使无失真的恢复原始信号，采样频率应满足：2f21ccsBfBfmm且220sfBkHz、0/12HmfB当m=1时，2501csfBfkHz，满足：3550skHzfkHz当m=2时，2252csfBfkHz，满足：23.325skHzfkHz故最佳采样频率为25kHz,采样信号的频谱图如下图所示：1.5判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期，并绘制一个周期的序列图（1）16()cos()58xnAn，A是常数解：2251685Nw，所以x(n)是周期的，且最小正周期为51285()cos()40nxnA绘图：方法一：计算法当n=0时，1()cos()8xnA=0.99A当n=1时，123()cos()40xnA=3cos()40A=0.998A当n=2时，251()cos()40xnA=11cos()40A=0.863A当n=3时，379()cos()40xnA=19cos()40A=0.996A当n=4时，507()cos()40xnA=27cos()40A=0.999A当n=5时，635()cos()40xnA=6405cos()40A=方法二：Matlab法xn=cos(16*n*pi/5-pi/8);plot(n,xn)n=0:4;xn=cos(16*n*pi/5-pi/8);plot(n,xn)plot(n,xn,'.');grid;00.511.522.533.54-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8100.511.522.533.54-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.811.6对如下差分方程所述系统，试分析其线性特性与时变特性（1）()()2(1)ynxnxn（3）2()4()ynxn解：（1）121212[()()]()()2{(1)(1)}Taxnbxnaxnbxnaxnbxn121122[()][()]()2(1)()2(1)TaxnTbxnaxnaxnbxnbxn故1212[()()][()][()]TaxnbxnTaxnTbxn所以y(n)为线性又0000[()]()2(1)()Txnnxnnxnnynn所以y(n)为时不变（3）2222121122[()()]4()8()()4()Taxnbxnaxnabxnxnbxn221212[()][()]4()4()TaxnTbxnaxnbxn故1212[()()][()][()]TaxnbxnTaxnTbxny(n)为非线性又2000[()]4()()Txnnxnnynn故y(n)为时不变1.7试判断如下算法是否是因果的？是否是稳定的？并说明理由。（2）00()()nninnynxi解：设x(n)=M,则limny(n)=2n0M,所以该系统是稳定系统。显而易见，若n≥n0。则该系统是因果系统；若nn0。则该系统是非因果系统。()()nkynxk因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n)，不取决于未来的输入，故该系统是因果系统；0()()nknynxk显而易见，若n≥n0。则该系统是因果系统；若nn0。则该系统是非因果系统。1.9设线性时不变系统的单位样值响应h(n)和输入x(n)分别有以下三种组合，用Matlab的线性卷积分别求出输出y(n)，并绘图。（2）4()2()(2),()4()xnnnhnRn方法一：公式法3300()()()()()42()(2)kkkynxnkhkxnkhknknkg(0)=8+0+0+0=8g(1)=0+8+0+0=8g(2)=-4+0+8+0=4g(3)=0-4+0+8=4g(4)=0+0-4+0=-4g(5)=0+0+0-4=-4故()8()8(1)4(2)4(3)4(4)4(5)gnnnnnnn方法二：Matlab法nx=0:2;x=[20-1];ny=0:3;y=[4444];g=conv(x,y);ng=0:5;subplot(221),stem(nx,x,'.');grid;axis([07-13]);subplot(222),stem(ny,y,'.');grid;axis([07-15]);subplot(212),stem(ng,g,'.');grid;axis([07-510]);0246-101230246-101234501234567-50510补充：1.已知线性移不变系统的输入为)n(x,系统的单位抽样响应为)n(h,试求系统的输出)n(y,并画图。)(5.0)(,)1(2)()4()(5.0)(,)2()()3()()(,)()()2()()(,)()()1(3435nunhnunxnRnhnnxnRnhnRnxnRnhnnxnnn2.已知10,)1()(anuanhn，通过直接计算卷积和的办法，试确定单位抽样响应为)(nh的线性移不变系统的阶跃响应。3.判断下列每个序列是否是周期性的,若是周期性的,试确定其周期：)6()()()n313sin()()()873cos()()(njenxcAnxbnAnxa。周期为是周期的解：14,31473/2/2)873cos()()(0nAnxa。是周期的，周期是6136313/2/2)313sin()()(0nAnxb)()(*)()()1(5nRnhnxny解：}1,2,3,3,2,1{)(*)()()2(nhnxny)2(5.0)(5.0*)2()()3(323nRnRnnynn)(5.0)()1(2)()4(nunhnunxnnnmmmnnyn23125.0)(01当nmnmmnnyn23425.0)(1当aaanynaaanynnhnxnyanuanhnunxmmnnmmn1)(11)(1)(*)()(10,)1()()()(:1时当时当解是非周期的。是无理数12/26sin6cos)6sin()6cos()()(0)6(Tnjnnjnenxcnj4.试判断:222(1)()(),(2)(),(3)()()sin97nmynxmynxnynxnn是否是线性系统?并判断(2),(3)是否是移不变系统?nmmxny)()()1(解：nmmxnxTny111)(mxnxTnynm222nmnbxmaxnbynay2121nmnbxnaxnbxnaxT2121nbynaynbxnaxT2121系统是线性系统(2)解：2()ynxn2111)(nxnxTny2222nxnxTny212121nbxnaxnbynay2221212121212122TaxnbxnaxnbxnaxnbxnabxnxnTaxnbxnaynbyn即∴系统不是线性系统。系统是移不变的即mnymnxTmnxmnymnxmnxT22(3)2()sin97ynxnn解：112()sin97ynxnn222()sin97ynxnn121222()sin()()sin()9797aynbynaxnnbxnn121212122()()sin()97TaxnbxnaxnbxnnTaxnbxnaynbyn即有系统是线性系统。2sin972sin()97TxnmxnmnynmxnmnmTxnmynm即系统不是移不变的5.以下序列是系统的单位抽样响应)(nh,试说明系统是否是(1)因果的,(2)稳定的？)4()7()1(3.0)6()(3.0)5()(3)4()(3)3()(!1)2()(1)1(2nnunununununnunnnnn不稳定。是因果的。时当解：,1101|)(|,0)(,0)1(22nnhnhn稳定。！！！是因果的。时，当3814121111*2*311*2111211101|)(|,0)(0)2(nnhnhn不稳定。是因果的。时，当210333|)(|,0)(0)3(nnhnhn稳定。是非因果的。时，当23333|)(|,0)(0)4(210nnhnhn系统是稳定的。系统是因果的。时，当7103.03.03.0|)(|,0)(0)5(210nnhnhn系统不稳定。系统是非因果的。时，当213.03.0|)(|0)(0)6(nnhnhn系统稳定。系统是非因果的。时，当1|)(|0)(0)7(nnhnhn6.设有一系统,其输入输出关系由以下差分方程确定)1(21)()1(21)(nxnxnyny设系统是因果性的。试求：。的响应利用卷积和求输入的结果由；该系统的单位抽样响应)(e)(,a)((b)a)(njnunx2)21()2(21)3()2(21)3(21)1(21)2()1(21)2(12121)0(21)1()0(21)1(1)1(21)0()1(21)0()0(0)()()()()()1(21)()1(21)(xxyhxxyhxxyhxxyhnnhnynnxanxnxnyny解：┇)()1(21)(21)1(21)()1(21)(11nnunhnxnxnynhnn