大学定积分

第六章定积分中山大学南方学院一、问题的提出二、定积分的定义三、存在定理四、几何意义五、定积分的性质五、小结abxyo?A曲边梯形由连续曲线实例1（求曲边梯形的面积）)(xfy)0)((xf、x轴与两条直线ax、bx所围成.一、问题的提出)(xfyabxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．播放观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．曲边梯形如图所示，b,xxxxx个分点，a内插入若干b][a,在区间n1n210abxyoiix1x1ix1nx;],[],[11iiiiixxxxxnba长度为，个小区间分成把区间，上任取一点在每个小区间iiixx],[1iiixfA)(为高的小矩形面积为为底，以)(],[1iiifxxiniixfA)(1曲边梯形面积的近似值为iniixfA)(lim10时，趋近于零即小区间的最大长度当分割无限加细)0(},,max{,21nxxx曲边梯形面积为设函数)(xf在],[ba上有界，记},,,max{21nxxx，如果不论对],[ba在],[ba中任意插入若干个分点bxxxxxann1210把区间],[ba分成n个小区间，各小区间的长度依次为1iiixxx，),2,1(i，在各小区间上任取一点i（iix），作乘积iixf)(),2,1(i并作和iinixfS)(1，二、定积分(definiteintegral)的定义定义怎样的分法，baIdxxf)(iinixf)(lim10被积函数被积表达式积分变量积分区间],[ba也不论在小区间],[1iixx上点i怎样的取法，只要当0时，和S总趋于确定的极限I，我们称这个极限I为函数)(xf在区间],[ba上的定积分，记为积分上限积分下限积分和注意：（1）积分值仅与被积函数及积分区间有关，badxxf)(badttf)(baduuf)(（2）定义中区间的分法和i的取法是任意的.（3）当函数)(xf在区间],[ba上的定积分存在时，而与积分变量的字母无关.称)(xf在区间],[ba上可积.当函数)(xf在区间],[ba上连续时，定理1定理2设函数)(xf在区间],[ba上有界，称)(xf在区间],[ba上可积.且只有有限个间断点，则)(xf在三、存在定理区间],[ba上可积.定理对定积分的补充规定:（1）当ba时，0)(badxxf；（2）当ba时，abbadxxfdxxf)()(.说明在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．,0)(xfbaAdxxf)(曲边梯形的面积,0)(xfbaAdxxf)(曲边梯形的面积的负值1A2A3A4A4321)(AAAAdxxfba四、定积分的几何意义几何意义：积取负号．轴下方的面在轴上方的面积取正号；在数和．之间的各部分面积的代直线的图形及两条轴、函数它是介于xxbxaxxfx,)(五、小结１．定积分的实质：特殊和式的极限．２．定积分的思想和方法：分割化整为零求和积零为整取极限精确值——定积分求近似以直（不变）代曲（变）取极限对定积分的补充规定:（1）当ba时，0)(badxxf；（2）当ba时，abbadxxfdxxf)()(.在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．说明定积分的性质一、基本内容(性质证明不作要求)badxxgxf)]()([badxxf)(badxxg)(.性质1性质2babadxxfkdxxkf)()((k为常数).性质1+性质2得：badxxgxf)]()([babadxxgdxxf)()(推广：baninibaiiiidxxfkdxxfk11)()]([即线性组合的定积分等于定积分的线性组合——说明定积分也具有线性运算性质假设bcabadxxf)(bccadxxfdxxf)()(.补充：不论的相对位置如何,上式总成立.cba,,例若,cbacadxxf)(cbbadxxfdxxf)()(badxxf)(则cbcadxxfdxxf)()(.)()(bccadxxfdxxf（定积分对于积分区间具有可加性）性质3dxba1dxbaab.性质5（非负性）如果在区间],[ba上0)(xf，则0)(dxxfba.)(ba性质4例1比较积分值dxex20和dxx20的大小.,)(xexfx令]0,2[x,0)(xf,0)(02dxxexdxex02,02dxx于是dxex20.20dxx解性质5的推论：（比较定理）则dxxfba)(dxxgba)(.)(ba（1）如果在区间],[ba上)()(xgxf，（2）dxxfba)(dxxfba)(.)(ba说明：可积性是显然的.|)(xf|在区间],[ba上的设M及m分别是函数)(xf在区间],[ba上的最大值及最小值，性质6（估值定理）则)()()(abMdxxfabmba.（此性质可用于估计积分值的大致范围）如果函数)(xf在闭区间],[ba上连续，则在积分区间],[ba上至少存在一个点，使dxxfba)())((abf.)(ba积分中值公式性质7（定积分中值定理）在区间],[ba上至少存在一个点，积分中值公式的几何解释：xyoab)(f使得以区间],[ba为以曲线)(xfy底边，为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为)(f的一个矩形的面积。１．定积分的性质（注意估值性质、积分中值定理的应用）２．典型问题（１）估计积分值；（２）不计算定积分比较积分大小．二、小结第二讲微积分基本公式•内容提要1.变上限的定积分；2.牛顿－莱布尼兹公式。•教学要求1.理解作为变上限的函数的定积分及求导方法；2.熟悉牛顿－莱布尼兹公式。记为.)()(xadttfxabxyo)(xfy,],[)(上连续在设函数baxf,],[上任一定值时取当baxxaxdttf,)(对应有唯一确定值与xadttf在因此)(称它为变上限定积分所确定的函数（积分上限函数或变上限积分）。.],[的函数上确定了一个xbax],[baxxx)(x一、积分上限函数abxyo定理１如果)(xf在],[ba上连续，则积分上限的函数dttfxxa)()(在],[ba上具有导数，且它的导数是)()()(xfdttfdxdxxa)(bxa积分上限函数的性质xx证dttfxxxxa)()()()(xxxdttfdttfxaxxa)()()(xx由积分中值定理得xf)(],,[xxxxx,0),(fx)(limlim00fxxx).()(xfxabxyoxx)(xxdttfdttfxaxxa)()(如果)(tf连续，)(xa、)(xb可导，则dttfxFxbxa)()()()(的导数)(xF为补充)()()()(xaxafxbxbf)()()()(xbxadttfdxdxF处的导数在计算例0sin)(.102xdttxx)(x解)0(的导数求dtttxx2ln)(.1解dxdxxln)()(xfdttfdxdxa练习)ln(2dtttdxdxxdttdxd02sin2sinx20sin0例2求.lim21cos02xdtextx解1cos2xtdtedxd,cos12xtdtedxd)(cos2cosxex,sin2cosxex21cos02limxdtextxxexxx2sinlim2cos0.21e00分析：这是型不定式，应用洛必达法则.21)(TTdttv)()(12TsTs).()()(1221TsTsdttvTT).()(tvts其中一般地，若baaFbFdxxf)()()()()(xfxF?设物体作直线运动，其速度，)(tvv则在时间间隔若已知路程函数,)(ts的路程也可表示为],[21TT内所经过的路程为],[21TT则在时间间隔内经过二、牛顿—莱布尼兹公式定理2上的在区间是连续函数如果],[)()(baxfxF)()()(aFbFdxxfba，任一原函数则微积分基本公式表明：一个连续函数在区间],[ba上的定积分等于它的任意一个原函数在区间],[ba上的增量.注意当ba时，)()()(aFbFdxxfba仍成立.求定积分问题转化为求原函数的问题.牛顿（英国1642.12.25—1727.3.20）莱布尼兹（德国1646.7.1—1716.11.14）)()()(aFbFdxxfba说明：)()(],[)(,aFbFbaxF上的改变量在使用时.)]([)(babaxFxF或通常记为babaxFdxxf)()(这样，牛顿莱布尼兹公式又可写成babaxFdxxf)]([)(或dxx1021计算：例解Cxdxx3321031023xdxx31dxx821解dxx8212计算：例82][lnx2ln8ln2ln2牛顿莱布尼兹公式.2cos302dxx计算例解dxx2cos02dxx02cos1dxx0)cos1(21)cos(2100dxxdx00sin21xx23.牛顿—莱布尼兹公式1.变上限定积分xadttfx)()(2.变上限定积分的导数)()(xfx)()()(aFbFdxxfba小结牛顿－莱布尼兹公式揭示了定积分与原函数之间的关系．作业:•学习指导书:•P172D3(1)(2);D4(7)(9)第三节定积分的换元法上一节我们建立了积分学两类基本问题之间的联系——微积分基本公式，利用这个公式计算定积分的关键是求出不定积分，而换元法和分部积分法是求不定积分的两种基本方法，如果能把这两种方法直接应用到定积分的计算，相信定能使得定积分的计算简化，下面我们就来建立定积分的换元积分公式和分部积分公式。先来看一个例子例140122dxxx换元求不定积分令12xt则)1(212txdttttdxxx