421.6微积分基本定理

1.6微积分基本定理定积分的基本性质性质1.dxxgxfba)]()([babadxxgdxxf)()(性质2.badx)x(kfbadx)x(fk复习回顾：定积分关于积分区间具有可加性bccabadx)x(fdx)x(fdx)x(f性质3.2121ccbccabadx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(fOxyabyf(x)Ｃ复习回顾：性质3:不论a，b，c的相对位置如何都有:aby=f(x)baf(x)dxcaf(x)dxbcf(x)dx。baf(x)dxcaf(x)dxbcf(x)dx。baf(x)dxcaf(x)dxbcf(x)dx。cOxybaf(x)dxcaf(x)dxbcf(x)dx。由定积分的定义可以计算,但比较麻烦(四步曲),有没有更加简便有效的方法求定积分呢?12013xdx引入变速直线运动中位移函数与速度函数的联系变速直线运动中路程为21)(TTdttv设某物体作直线运动,已知速度)(tvv是时间间隔],[21TT上t的一个连续函数,且0)(tv,求物体在这段时间内所经过的路程.另一方面这段路程可表示为)()(12TSTS一.问题的提出).()()(1221TSTSdttvTT()=().vtst其中微积分基本定理探究:如图,一个作变速直线运动的物体的运动规律是s=s(t),由导数的概念可知,它在任意时刻t的速度v(t)=s’(t).设这个物体在时间段[a,b]内的位移为S,你能分别用s(t),v(t)表示S吗?物体的位移是函数在两个端点处的函数值之差，即)a(s)b(sS11tan'()(),iiiiShDPCtsttvtt111111()'().nnnniiiiiiiiSShvttstt()'()()()bbaaSvtdtstdtsbsa从几何意义上看，由导数的几何意义知求和得近似值取极限，由定积分的定义得进而得出微积分基本定理.定理:(微积分基本定理)二、牛顿—莱布尼茨公式()|()()()babafxdxFaFbFx或如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且F’(x)=f(x),则baf(x)dx=F(b)-F(a).)()(,)()(的导函数就是的原函数叫xFxfxfxF微积分基本定理表明：一个连续函数在区间],[ba上的定积分等于它的任意一个原函数在区间],[ba上的增量.注意:求定积分问题转化为求原函数的问题.牛顿－莱布尼茨公式沟通了导数与积分之间的关系．'2.()(),()().FxfxFxfx若则称为的一个原函数1.当ba时，)()()(aFbFdxxfba仍成立.例1.计算下列定积分.解:(1)()()|()()bbaafxdxFxFbFa2321111(1)(2)(2)dxxdxxx1(ln)'xx22111ln|ln2ln1ln2dxxx例1计算下列定积分解:(2)∵()()|()()bbaafxdxFxFbFa2321111(1)(2)(2)dxxdxxx2211()'2,()'xxxx233111||xx+1(91)(1)32233332211111(2)2xdxxdxdxxx练习：11010231(1)1(2)(3)dxxdxxdx12022121(4)(32)1(5)()(6)(1)xtdtxdxxedx1e2-e+121415629()()|()()bbaafxdxFxFbFa例2．计算下列定积分20(2)cosxdx0(1)sinxdx解（1）∵'(s)sincoxx00sin(s)|cos(cos0)112xdxcox思考:0()sindaxx的几何意义是什么??22()()bc00sinxdx=_______sinxdx=_______0120(2)cosxdx2200cossin|sinsin01012xdxx'(sin)cosxx解思考:20()cos?axdx的几何意义是什么2()()bc00cosxdx=_______cosxdx=_______00例3设,求.215102)(xxxxf20)(dxxf解:102120)()()(dxxfdxxfdxxf在]2,1[上规定当1x时，5)(xf,102152dxxdx原式.6xyo12例4求解.112dxx当0x时，x1的一个原函数是)0()ln(xx,dxx12112[ln()]|x.2ln2ln1ln找原函数时，应注意函数的定义域注：，避免出错.例5.计算下列定积分解:(1)∵()()|()()bbaafxdxFxFbFa1003(1)(2)232exdxdxx3[(ln(32)'],32xx003ln(32)|32eedxxxln(32)32lln(30n.22)ee例5.计算下列定积分解:(2)∵()()|()()bbaafxdxFxFbFa1003(1)(2)232exdxdxx2()'2,ln2xx110022()|ln2xxdx21ln2ln21.ln2练习:求.},max{222dxxx解:由图形可知},max{)(2xxxf,21100222xxxxxx21210022dxxxdxdxx原式.211yxo2xyxy122微积分基本公式)()()(aFbFdxxfba小结牛顿－莱布尼茨公式沟通了导数与定积分之间的关系．作业:P55A组第1题(2)(4)(6),B组第1题