第一讲《 不等式和绝对值不等式》课件(新人教选修4-5)[1].

二、绝对值不等式1、绝对值三角不等式实数a的绝对值|a|的几何意义是表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离：OaAx|a|xABab|a-b|任意两个实数a,b在数轴上的对应点分别为A、B，那么|a-b|的几何意义是A、B两点间的距离。联系绝对值的几何意义，从“运算”的角度研究|a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之间的关系：分ab0和ab0两种情形讨论：（1）当ab0时，如下图可得|a+b|=|a|+|b|Oxaba+bOxaba+b（2）当ab0时，也分为两种情况：如果a0,b0，如下图可得：|a+b||a|+|b|Obaxa+b如果a0,b0，如下图可得：|a+b||a|+|b|a+babxO（3）如果ab=0，则a=0或b=0，易得：|a+b|=|a|+|b|定理1如果a,b是实数，则|a+b|≤|a|+|b|当且仅当ab≥0时，等号成立。探究如果把定理1中的实数a,b分别换成向量a,b,能得出什么结果？你能解释它的几何意义吗？ababOxy探究当向量a,b共线时，有怎样的结论？这个不等式称为绝对值三角不等式。定理1的代数证明：2222220||,||()2||2||||(||||)||||abababababaabbaabbabab证明：当时，222222220,||()2||2||||||2||||(||||)||||,||||||,0abababababaabbaabbaabbababababab当时，所以当且仅当时，等号成立。探究你能根据定理1的研究思路，探究一下|a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之间的其他关系吗？例如：|a|-|b|与|a+b|，|a|+|b|与|a-b|，|a|-|b|与|a-b|等之间的关系。|a|-|b|≤|a+b|,|a|+|b|≥|a-b|,|a|-|b|≤|a-b|.如果a,b是实数，那么|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|例1已知ε0，|x-a|ε,|y-b|ε，求证：|2x+3y-2a-3b|5ε.证明：|2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)|=|2(x-a)+3(y-b)|≤|2(x-a)|+|3(y-b)|=2|x-a|+3|y-b|2ε+3ε=5ε.所以|2x+3y-2a-3b|5ε.定理2如果a,b,c是实数，那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。证明：根据绝对值三角不等式有|a-c|=|(a-b)+(b-c)|≤|a-b|+|b-c|当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。yxDyxCyxBmymx.2.2.y-xA.)(,,:的是下列不等式中一定成立若例B例2两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路路碑的第10km和第20km处。现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次。要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何处？分析：假设生活区建在公路路碑的第xkm处，两个施工队每天往返的路程之和为S(x)km，则有S(x)=2(|x-10|+|x-20|)，要求问题化归为求该函数的最小值，可用绝对值三角不等式求解。练习：课本P19第1、2题1.求证：(1)|a+b|+|a-b|≥2|a|(2)|a+b|-|a-b|≤2|b|nD.mnC.mnB.mnA.m)(,,,,ba.1:大小关系是之间的则已知补充练习nmbabanbabamDxyDxyCyyxxyxyxyxcoscos.coscos.coscosxB.cosy-A.cosx)()cos(cos),,2(,coscoscoscos,.22可写成则且满足如果实数D________,08,.321221的取值范围则的两个不等实根是方程若rrpxxrr),24(_________12.4的取值范围是则的解集为的不等式若关于aaxxx3a1D.a1C.a7aB.17A.a)(,34.5的取值范围是则实数的解集为非空集合若不等式aaxxCmabxymymabyaxm求证设,,,2,2,0,.6小结：理解和掌握绝对值不等式的两个定理：|a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R,ab≥0时等号成立）|a-c|≤|a-b|+|b-c|(a,b,c∈R,(a-b)(b-c)≥0时等号成立）能应用定理解决一些证明和求最值问题。作业：课本P20第3、4、5题2、绝对值不等式的解法复习：如果a0，则|x|a的解集是(-a,a)；|x|a的解集是(-∞,-a)∪(a,+∞)Oa-axO-aax|x|a|x|a（1）|ax+b|≤c和|ax+b|≥c(c0)型不等式的解法：①换元法：令t=ax+b,转化为|t|≤c和|t|≥c型不等式，然后再求x，得原不等式的解集。②分段讨论法：00||(0)()axbaxbaxbccaxbcaxbc或00||(0)()axbaxbaxbccaxbcaxbc或例3解不等式|3x-1|≤2例4解不等式|2-3x|≥7补充例题：解不等式211(1)(3||1)||342(2)34||.xxxx|ax+b|c和|ax+b|c(c0)型不等式比较：类型化去绝对值后集合上解的意义区别|ax+b|c-cax+bc{x|ax+b-c}∩{x|ax+bc},交|ax+b|cax+b-c或ax+bc{x|ax+b-c}∪{x|ax+bc},并课堂练习：P20第6题型不等式的解法和）（cbxaxcbxax25215xx解不等式例，，。A，，BA；BA，BA，BBAB，BB，；BAAA，AA。，，A，，A，，B，：2355511231211111111111式的解集是故原不等的距离之和都大于的任何点到点的右边的左边或点点的距离之和都小于之间的任何点到点与从数轴上可以看到点这时也有右移动一个单位到点向将点同理这时有到点个单位向左移动将点数都不是原不等式的解上的因此区间两点的距离是那么对应的点分别是设数轴上与解法x12-2-3ABA1B15215xx解不等式例，，xxxx，xxxxxx，x：23,2,2,5)2()1(,1,53,5)2()1(,123,,3,5)2()1(,22的解集为综上所述可知原不等式此时不等式的解集为解得原不等式可以化为时当此时不等式的解集为矛盾即原不等式可以化为时当此时不等式的解集为解得原不等式可以化为时当解法5215xx解不等式例,23,1x,4-2x1x2-2,--2x,6252105213解集为由图象可知原不等式的作出函数图象即构造函数将原不等式转化为解法，xy，xxyxx：yxO-32-2型不等式的解法和）（cbxaxcbxax2①利用绝对值不等式的几何意义②零点分区间法③构造函数法作业：P20第7题、第8题(1)(3)练习：P20第8题(2)432)2.(8xx解不等式补充练习：解不等式：（1）1|2x+1|≤3.（2）||x-1|-4|2.（3）|3x-1|x+3.答案：（1）{x|0x≤1或-2≤x-1}（2）{x|-5x-1或3x7}（3）1{|2}2xxx或作业6431)1(720xP解不等式题第第.32,135,31032135310323103516436143143643143:故原不等式的解集为或解得或或即等式组原不等式等价于下列不解xxxxxxxxxx8.解不等式:.,).,2[4322,23,4)3()2(,2).2,3(43223,45,4)3()2(,23].3,(4323,25,4)3()2(,3:432)2(Rxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx原不等式的解集是综上所述的解集是不等式组即原不等式可化为时当的解集为所以不等式组显然成立即原不等式可化为时当的解集是即不等式组解得原不等式可化为时当解.25,21,.25,22212,25,221,2).2,1(22121,21,2)2()1(,21.1,212211,21,2)2()1(,1:221)3(原不等式的解集是综上所述的解集是所以不等式组即原不等式可化为时当解集是的所以不等式组显然成立即原不等式可化为时当的解集是即不等式组解得原不等式可化为时当解xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx