7线性离散系统的稳定性

16.7线性离散系统的稳定性6.7.1从s平面到z平面的映射定义从复变量到复变量的映射szTszeT采样周期sjTjzeTTjeeTzezT2讨论1当时，01Tzes平面的虚轴映射为z平面的单位圆。Rez0Imz11-1-1z平面0s平面Tze32当时，01Tzes平面的左半平面映射为z平面的单位圆内部。RezImz11-1-1z平面0s平面0Tze43当时，01Tzes平面的右半平面映射为z平面的单位圆外部。s平面0RezImz11-1-1z平面0Tze5结论z平面的单位圆内部表示系统的稳定区域；z平面的单位圆外部表示系统的不稳定区域；z平面的单位圆表示系统的临界稳定区域。66.7.2线性离散系统稳定的充要条件设闭环线性离散系统的特征方程的根，或者说闭环脉冲传递函数的极点为，12,,,nzzz[定理1]线性离散系统稳定的充要条件为：所有特征值都分布在z平面的单位圆内部，(1,2,,)izin或者说所有特征值的模都小于1，即1iz(1,2,,)in7[例6-20]已知线性离散系统的闭环脉冲传递函数为2()0.3860.264()0.632YzzRzzz试判断系统的稳定性。86.7.3劳斯稳定判据为了用劳斯稳定判据判定线性离散系统的稳定性，首先必须引入新的复变量，w使z平面的单位圆内部区域映射到w平面的左半平面。令11wzw则11zwzw变换是一种可逆的双向变换9假设zjxywjuv则可导出2222221211xyywxyxjy于是222211xyuxy22211zxy11zwz10讨论1当时，1z2221Re1zwuxy0uz平面的单位圆映射为w平面的虚轴；2当时，1z0uz平面的单位圆外部映射为w平面的右半平面；3当时，1z0uz平面的单位圆内部映射为w平面的左半平面。11[例6-21]已知线性离散系统的闭环脉冲传递函数为2()0.3860.264()0.632YzzRzzz试用劳斯稳定判据判断该系统的稳定性。12[例6-22]已知线性离散系统的框图如下，分析当和时，增益的临界值。0.5Ts1Tsk1TsesT(1)kss()Rs-()Ys13说明一个稳定的二阶连续系统，当它加入采样开关变成离散系统以后就不一定稳定。采样周期是离散系统的一个重要参数，TT当变化时，开环、闭环脉冲传递函数以及特征方程都会变化，系统的稳定性也会变化。一般来说，T缩短能使稳定性得到改善；相反则对稳定性不利。146.8线性离散系统的时域分析6.8.1极点在z平面上的分布与瞬态响应离散系统的瞬态响应取决于闭环极点在z平面内的分布情况。系统的闭环脉冲传递函数为11()()()()()mjjniikzzMzzDzzpnm15当输入信号为单位阶跃信号时，()1()rtt其z变换为，()1zRzz系统输出的z变换为11()()()()1()mjjniikzzzYzzRzzzp在特征值无重根时，可得1()1niiiBzAzYzzzp161()1niiiBzAzYzzzp其中1()()zMzADz()()()(1)iiizpMzzpBDzzz反变换1()nkiiiykTABp瞬态响应分量极点在z平面内的位置决定了瞬态响应分量的类型。ip17[1]实数极点当极点位于z平面的实轴上时，ip其相应的一个瞬态分量为：()kiiiykTBpReIm0ip11-1-1情形101ipkT()iykT018情形21ipReIm0ip11-1-1kT()iykT0()kiiiykTBp19情形31ipReIm0ip11-1-1kT()iykT0()kiiiykTBp20情形410ipReIm0ip11-1-1kT()iykT0振荡角频率T()kiiiykTBp21情形51ipReIm0ip11-1-1kT()iykT0振荡角频率T()kiiiykTBp22情形61ipReIm0ip11-1-1kT()iykT0振荡角频率T()kiiiykTBp23[2]共轭虚数极点如果闭环脉冲传递函数有一对共轭虚数极点,1iijpab则可以证明这对极点所对应的瞬态响应分量为()coskiiiiiykTAk其中和为常数。iAi22iiabparctaniba24讨论1若，1iipReIm011-1-1i瞬态响应是收敛振荡的脉冲序列。振荡角频率iT252若，1iipReIm011-1-1i瞬态响应是等幅振荡的脉冲序列。振荡角频率iT263若，1iipReIm011-1-1i瞬态响应是发散振荡的脉冲序列。振荡角频率iT276.8.2线性离散系统的时间响应闭环脉冲传递函数典型输入信号的z变换输出信号的z变换()Yz求z反变换时域响应*()yt28[例6-23]线性离散系统的闭环脉冲传递函数为1212()0.23850.2089()()11.02590.4733YzzzzRzzz输入信号为，()1()rtt采样周期为s，1T试分析该系统的动态响应。29本次课内容总结从s平面到z平面的映射；线性离散系统稳定的充要条件；线性离散系统的劳斯稳定判据；采样周期对线性离散系统稳定性的影响；极点在z平面上的分布与瞬态响应；线性离散系统的时间响应。