第二章 扩频序列

扩频通信第二章扩频序列2.1概述随机序列伪随机序列(伪噪声序列，PN序列)伪随机序列的产生例2.1-1各级移位寄存器的状态是周期性变化的PN序列是周期性的PN序列的长度最大长度线性反馈移位寄存器序列(m序列)对伪随机序列的一般要求1.具有良好的伪随机性，即虽然有其内在规律性，也是按一定规律生成的，但从表面看来，却具有和随机序列类似的随机性。不知预定规律的无关接收者难以把信息检测出来。2.具有良好的自相关、互相关特性。自相关峰值尖锐，互相关值接近于0。以便于接收端能将所需的信息准确地检测出来。3.随机序列的数量足够多，保证有足够多的地址分配给用户。4.易于实现，设备简单，成本低。2.2PN序列的数学描述几个定义1.序列生成多项式G(x)2.特征多项式f(x)3.不可约多项式4.本原多项式2.3最大长度线性反馈移位寄存器序列(m序列)一.m序列的必要条件和和充要条件(1)必要条件如果一个n级线性反馈移位寄存器产生的序列是周期长度为N=2^n-1的m序列，则其特征多项式必是不可约的。注意：反过来，特征多项式为不可约多项式的移位寄存器序列不一定是m序列。(2).充要条件一个移位寄存器序列为m序列的充要条件是该序列的特征多项式为本原多项式。例2.3-1例2.3-2定义：互反多项式定理：本原多项式的互反多项式也是本原多项式。此定理提供了一种由已有的m序列构造新的m序列的方法。例2.3-3二.m序列的计算通常人们关心的不是生成m序列的移位寄存器，而是m序列本身。当移位寄存器确定以后，m序列就确定了，寄存器不同的初始状态只是导致输出的m序列循环移位而已。m序列的生成多项式的计算例2.3-4三.m序列的伪随机性(1)0、1的均衡性m序列在一个周期内1的个数只比0的个数多一个。所以一个周期内0和1的个数非常接近。1的个数0的个数0、1的均衡性说明m序列的随机性。(2)游程分布游程：序列中取值相同的一段称为一个游程，取1(0)的称为1(0)游程，各游程中的位数称为游程长度。m序列的一个周期中，游程总数为2^(n-1)个，其中0游程和1游程各占一半。当n＞2时长度为i(1≤i≤n-2)的游程占游程总数的1/(2^i)，原因长度为n-1的游程只有一个，为0游程，长度为n的游程也只有一个，为1游程。游程分布的均衡性也说明m序列的随机性。例2.3-5例2.1-1中m序列的游程分布。(3)循环移位特性任一m序列的循环移位仍是一m序列，不同的循环移位只是移位寄存器初始状态不同的结果。m序列与其自身循环移位得到的m序列相加仍是一个m序列，且是原m序列的另一个循环移位。原因例2.3-6以例2.1-1中的m序列为例四.m序列的自相关函数与互相关函数相关函数的本来定义两长度相等的序列的自相关函数和互相关函数的定义1.m序列的自相关函数先看例2.3-7例2.1-1中m序列{100110101111000}的自相关函数证明m序列自相关函数的图像1tNTc－NTc－TcTcN1关于m序列自相关函数R(t)的讨论(1)R(t)是以NTc为周期的周期函数，在t=kNTc(N=2^n-1,k为整数)处出现尖峰。尖峰底宽为2Tc，Tc越小，相关峰越尖锐。相关峰的高度远大于其他部分，说明m序列有良好的自相关性。当N很大和Tc很小时R(t)趋于冲激函数，即近似于白噪声的自相关特性。(2)R(t)是偶函数(3)R(t)的数学表达式(4)R(t)的功率谱密度函数：由相关函数理论知，R(t)与功率谱密度函数G(f)是一对傅里叶变换对。R(t)功率谱密度函数的图像m序列功率谱的特点(1)离散谱，谱线位置，谱线间隔。(2)包络形状，零点位置，说明m序列的频谱中不包含码片同步分量。(3)功率谱带宽，说明m序列的带宽由码片间隔决定，与码长无关。(4)直流分量极限情况：当m序列的长度N→∞时，直流分量→0，谱线间隔→0，说明2.m序列的互相关函数对于两个不同的m序列，希望它们之间的互相关函数尽可能地小，原因m序列的互相关函数分析起来非常复杂，且没有自相关函数那样简洁的公式，而且是多值函数。m序列的互相关函数示意图对于m序列的互相关函数只有一些统计及结果(1)两结构不同但长度都为N的m序列之间的互相关函数的均值(2)方差对于互相关函数较小的m序列对，只能用计算机搜索的方法来寻找。五.m序列的缺点(1)m序列很少。当移位寄存器级数为n时，能产生的m序列个数。级数n345678910N=2^n-171531631272555111023m序列个数M226618164860最大互相关峰/自相关峰0.710.60.350.360.320.370.220.32m序列的数目及其互相关函数(2)不同m序列之间的最大互相关峰值很大。在CDMA系统中会造成严重的多址干扰。2.4Gold序列为解决m序列数目太少以及互相关特性不佳的问题，1967年R.Gold提出采用一对m序列优选对来构建新的序列。他提出“给定移位寄存器级数为n时，总可以找到一对互相关函数值最小的m序列，采用移位相加的方法构成新码，其互相关旁瓣都很小，且自相关函数和互相关函数都是有界的。”这一对互相关函数最小的m序列称为m序列优选对，由这一对m序列优选对移位相加得到的新序列称为Gold序列。2.4.1m序列优选对定义部分m序列优选对级数基准本原多项式系数配对本原多项式系数7211217，235，277，325，203，357，301，323217211，235，277，325，213，271，357，323235211，217，277，325，313，221，361，357236227，203，313，345，221，361，271，375910211131，133311311021，1055，1225，172514611743，1541，18532.4.2m序列的产生方法一.并行法固定一对m序列优选对当中的一个，而使另一个作循环移位，然后将两个序列模2相加。所产生的Gold序列长度所产生的Gold序列个数二.串行法将一对m序列优选对的两个本原多项式相乘，并按照模2加法合并同类项，以产生的2^2n次多项式作为Gold序列的特征多项式。例2.4-1已知n=6的一对m序列优选对的特征多项式分别为103和147，画出它们所构成的Gold序列产生器。常见疑问1.例2.4-1中用串行法产生的Gold序列的长度是多少？2.用并行法和串行法产生的Gold序列相同吗？2.4.3Gold序列的互相关函数与自相关函数同一族Gold序列具有3值的互相关函数。当n为奇数时，有50%的序列间的互相关系数为-1/N，当n为偶数但不是4的倍数时，有75%的码序列间的互相关系数为-1/N，其余的互相关系数满足m序列优选对中的条件(见表)。由于Gold序列的数目较多，且同一族内Gold序列之间有较低的互相关性，所以适合作为CDMA系统的地址码。不同族Gold序列之间的互相关函数不是3值而是多值的，且互相关值大大超过同族内部序列之间的互相关值。因此不同族Gold序列不适宜用作CDMA系统的地址码。Gold序列的自相关函数也是三值函数。2.4.4平衡Gold序列一.什么是平衡Gold序列：1与0的个数相差1。非平衡Gold序列：1与0的个数之差多于1。二.为什么要平衡和谐，体现在两方面更好的频谱特性更好的载波抑制n为奇数和偶数时平衡与非平衡Gold码的数量见教材P121表4-5、4-6。Gold码的平衡性对于载波抑制的影响见教材表4-7。三.平衡Gold码的产生方法（一）几个概念1.特征相位：每个m序列都具有特征相位，当m序列处于特征相位时，对序列每隔一位抽样得到的新序列与原m序列完全一样。例如：m序列(1110100)处在特征相位，而(1010011)不处在特征相位。如何求出m序列的特征相位？2.生成函数例2.4-2（二）平衡Gold码的生成步骤给定一对m序列优选对{a}和{b}1.先求出其中任意一个m序列，如{a}的特征相位序列。2.循环移动{b}，使其首位与{a}的首位相异，得到{b’}，{a}与{b’}的模2和产生的就是平衡Gold序列。不断循环移位{b}，按照上述方法，就可求出所有的平衡Gold序列。例2.4-32.5M序列当移位寄存器的级数为n时，所生成的m序列的长度为减1的原因为了使序列达到2^n的最大长度，可以人为地加入一个全0状态，但这时移位寄存器序列就变成了非线性的。全0状态加入的位置实现方法例2.5-1M序列的性质(1)周期长度(2)0和1的数量(3)游程个数、0游程和1游程的数量、长度为n-1的游程不存在，长度为n的游程有两个，分别为0游程和1游程。(4)不再具有移位相加特性(5)自相关函数是多值函数，自相关特性不如m序列。(6)数量远多于Gold序列，更多于m序列。n级移位寄存器M序列的个数