第二章 插值法课件

已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下：深度（M）46674195014221634水温（oC）7.044.283.402.542.13根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如500米，600米，1000米…）处的水温§1引言问题的提出–函数解析式未知,通过实验观测得到的一组数据,即在某个区间[a,b]上给出一系列点的函数值yi=f(xi)–或者给出函数表y=f(x)y=p(x)xx0x1x2……xnyy0y1y2……yn第二章插值法定义2.1设函数y=f(x)在区间[a,b]上有定义,且已知在点上的值01naxxxb01,,,,nyyy()(0,1,,)iiPxyin若存在一简单函数P(x),使(2.1)则称P(x)为f(x)的一个插值函数,点称为插值节点，[a,b]称为插值区间,求插值函数P(x)的方法称为插值法.称(2.1)式为插值条件.01,,,nxxx注:(1)若01()nnPxaaxax多项式插值(2)若P(x)为分段的多项式插值多项式分段插值(3)若P(x)为三角多项式三角插值插值函数P(x)在n+1个互异插值节点xi(i=0,1,…,n)处与f(xi)相等,在其它点x就用P(x)的值作为f(x)的近似值.这一过程称为插值.换句话说,插值就是根据被插函数给出的函数表“插出”所要点的函数值.用P(x)的值作为f(x)的近似值,不仅希望P(x)能较好地逼近f(x),而且还希望它计算简单.由于代数多项式具有数值计算和理论分析方便的优点.所以本章主要介绍代数插值.即求一个次数不超过n次的多项式:(2.2)1110()nnnnPxaxaxaxa1110()nnnnPxaxaxaxa满足),,2,1,0()()(nixfxPii则称P(x)为f(x)的n次插值多项式.这种插值法通常称为多项式插值法.其几何意义如下图所示定理2.1：满足条件(2.1)的插值多项式(2.2)存在唯一.注：唯一性说明，不论用何种方法来构造，也不论用何种形式来表示插值多项式,只要满足插值条件(2.1)其结果都是相互恒等的.证明:设n次多项式0111)(axaxaxaxPnnnn是函数在区间[a,b]上的n+1个互异的节点(i=0,1,2,…,n)上的插值多项式,则求插值多项式P(x)的问题就归结为求它的系数(i=0,1,2,…,n).)(xfyixia由插值条件:(i=0,1,2,…,n),可得)()(iixfxp)()()(01111011111100011010nnnnnnnnnnnnnnnnxfaxaxaxaxfaxaxaxaxfaxaxaxa这是一个关于待定参数的n+1阶线性方程组,其系数矩阵行列式为naaa,,,10niijjinnnnnnxxxxxxxxxxxV110212110200)(111称为Vandermonde（范德蒙）行列式，因xi≠xj（当i≠j），故V≠0.根据解线性方程组的克莱姆（Gramer）法则，方程组的解存在唯一，从而P(x)被唯一确定.naaa,,,10唯一性说明，不论用何种方法来构造，也不论用何种形式来表示插值多项式,只要满足插值条件(2.1)其结果都是相互恒等的.§2拉格朗日(Lagrange)插值为了构造满足插值条件(i=0,1,2,…,n)的便于使用的插值多项式P(x),先考察几种简单情形,然后再推广到一般形式.()()iiPxfx111,(),()kkkkxxxLxfxyy已知求线性插值多项式使1111(),().kkkkLxyLxy（1）线性插值线性插值是代数插值的最简单形式.(线性插值与抛物插值)线性插值的几何意义:用通过点和的直线近似地代替曲线y=f(x)(,)kkAxy11(,)kkBxy111()()kkkkkkyyLxyxxxx11111()kkkkkkkkxxxxLxyyxxxx1111(),()kkkkkkkkxxxxlxlxxxxx为了便于推广，记y=f(x)L1(x)A(xk,yk)B(xk+1,yk+1)由解析几何中的知识知道,这条直线用点斜式表示为111()()()kkkkLxylxylx则1()1,()0kkkklxlx111()0,()1kkkklxlx1()()1kklxlx这是一次函数,且有性质1111(),()kkkkkkkkxxxxlxlxxxxx一次插值基函数线性插值基函数于是线性插值函数可以表示为基函数的线性组合111()()()kkkkLxylxylx（2）二次插值二次插值又称抛物插值，它也是常用的代数插值之一.11211,(),()kkkkkkxxxxLxfxyyy已知求二次插值多项式使2112211()(),().kkkkkkLxyLxyLxy，这就是二次插值问题.其几何意义是用经过3个点的抛物线近似代替曲线f(x),因此也称之为抛物插值.1111(,),(,),(,)kkkkkkxyxyxy22210()Lxaxaxayy=L2(x)yk-1ykyk+1y=f(x)Oxk-1xkxk+1xL2(x)的参数直接由插值条件决定，即满足下面的代数方程组：210,,aaa210,,aaa201121120122011211kkkkkkkkkaaxaxyaaxaxyaaxaxy2112211111kkkkkkxxxxxx该三元一次方程组的系数矩阵的行列式是范德蒙行列式，当时，方程组的解唯一.11kkkxxx仿线性插值,用基函数的方法求解.此时为二次函数，且满足11(),(),(),kkklxlxlx11111()1,()0,()0kkkkkklxlxlx11()0,()1,()0kkkkkklxlxlx11111()0,()0,()1kkkkkklxlxlx21111()()()()kkkkkkLxylxylxylx则可以验证为二次插值多项式，且满足插值条件2112211()(),().kkkkkkLxyLxyLxy，二次插值基函数抛物插值基函数其中11111()()()()()kkkkkkkxxxxlxxxxx1111()()()()()kkkkkkkxxxxlxxxxx11111()()()()()kkkkkkkxxxxlxxxxx从而1112111111()()()()()()()()()kkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxLxyyxxxxxxxx11111()()()()kkkkkkkxxxxyxxxx11()()()kkklxlxlx？（3）三次插值012330123,(),()xxxxxLxfxyyyy已知求三次插值多项式使300311322333()(),(),().LxyLxyLxyLxy，300112233()()()()()Lxylxylxylxylx构造0123(),(),(),()lxlxlxlx其中为三次多项式，并且满足00010203()1,()0()0()0lxlxlxlx，，，10111213()0,()1()0()0lxlxlxlx，，，20212223()0,()0()1()0lxlxlxlx，，，30313233()0,()0()0()1lxlxlxlx，，，三次插值基函数其中1230010203()()()()()()()xxxxxxlxxxxxxx0231101213()()()()()()()xxxxxxlxxxxxxx0132202123()()()()()()()xxxxxxlxxxxxxx0123303132()()()()()()()xxxxxxlxxxxxxx0123()()()()lxlxlxlx？3.Lagrange插值多项式两个插值点可求出一次插值多项式,三个插值点可求出二次插值多项式.插值点增加到n+1个时,也就是通过n+1个不同的已知点,可以求出n次插值多项式0101(),()nnnxxxxnLxfxyyy已知,求次插值多项式使()0,1,,nkkLxyjn，定义2.2若n次多项式在n+1个节点上满足条件则称为节点上的n次插值基函数.()(0,1,,)klxkn1()()0()kjkjjklxjk01(),(),,()nlxlxlx01,,,nxxx0011()()()()nnnLxylxylxylx则可以验证为n次插值多项式，且满足插值条件0011()(),,().nnnnnLxyLxyLxy，000()()njjnjkjnjkjjkkjjjkxxxxxxxx011011()()()()()()()()()kknkkkkkkknxxxxxxxxlxxxxxxxxx0,1,,.kn012()()()()nlxlxlxlx？(2.10))())(()(101nnxxxxxxx引入记号)())(()()(1101nkkkkkkknxxxxxxxxx则得000()()()nnnjnkkkkkjkjjkxxLxylxyxx于是101()()()nnkkknkxyxxx例2.1已知y=f(x)的函数表求线性插值多项式,并计算x=1.5的值x13y12011010110()31112(1)13312xxxxLxyyxxxxxxx解:由线性插值多项式公式得1(1.5)(1.5)1.25fL例2.2已知x=1,4,9的平方根值,用抛物插值公式求(x0–x1)(x0–x2)(x–x1)(x–x2)y0+(x1–x0)(x1–x2)(x–x0)(x–x2)y1+(x2–x0)(x2–x1)(x–x0)(x–x1)y2L2(7)=(1–4)(1–9)(7–4)(7–9)*1+(4–1)(4–9)(7–1)(7–9)*2+(9–1)(9–4)(7–1)(7–4)*3=2.7L2(x)=7解:由抛物插值多项式公式得x0=1,x1=4,x2=9y0=1,y1=2,y2=3练习1:求过三点(0,1),(1,2),(2,3)的插值多项式.(1)(2)(0)(2)(0)(1)123(01)(02)(10)(12)(20)(21)1xxxxxxx解:由Lagrange插值公式（给定的三个点在一条直线上）0201122012010210122021()()()()()()()()()()()()()xxxxxxxxxxxxLxyyyxxxxxxxxxxxx例2.3已知f(x)的观测数据x0124f(x)19233构造Lagrange插值多项式解四个点可构造三次Lagrange插值多项式:基函数为1478781)40)(20)(10()4)(2)(1()(230xxxxxxxlxxxxxxxl38231)41)(21)(01()4)(2)(0()(231xxxxxxxl2324541)42)(12)(02()4)(1)(0()(xxxxxxxl12181241)24)(14)(04()2)(1)(0()(233Lagrang