8极坐标计算二重积分

CH21-重积分DDdxdyyxfdyxf),(),((1)直角坐标下累次积分的计算公式.),(),()()(21Dbaxxdyyxfdxdyxf.),(),()()(21Ddcyydxyxfdydyxf［Y－型］［X－型］知识点回顾确定累次积分限关键直角坐标系下的面积元素CH21-重积分(2)交换二次积分的积分次序知识点回顾画出积分区域形状，确定新的二次积分限(3)利用对称性和奇偶性化简二重积分DDxDfxDfdxdyyxfdxdyyxf为奇函数上关于在为偶函数关于上关于0,),(2),(1关键重要结论1002xydyedxI计算2,1:22)](1[xyyDdxdyyxxfyDDyxfyxfdxdyyxfdxdyyxf为奇函数且关于关于为偶函数且关于关于0,),(4),(1CH21-重积分知识点回顾(4)应用问题--由曲面所围成的立体体积的计算.),(下上zzyxf方法yzxCH21-重积分计算二重积分DdxdyyxyxI2222)sin(,其中积分区域为}41|),{(22yxyxD.解由对称性，可只考虑第一象限部分，注意：被积函数也要有对称性.DdxdyyxyxI2222)sin(412222)sin(Ddxdyyxyx14DD1D利用极坐标系计算思考题考研—填空题CH21-重积分第二十一章$4利用极坐标计算二重积分数学分析CH21-重积分利用极坐标计算二重积分---249页极坐标系下的面积元素的确定主要内容DDdxdyyxfdyxf),(),(二重积分转化为极坐标形式表达式极坐标系下的二重积分化为累次积分极坐标系下二重积分的----计算方法本节重点极坐标形式累次积分如何将二重积分化为确定积分限是关键本节关键CH21-重积分r),(rsincosryrx),(yxM在极坐标系下Ddyxf),(?极坐标系下的面积元素如何表示？极坐标系下的区域如何表示？一、极坐标系下二重积分的表达式0xy极坐标系下被积函数如何表示？CH21-重积分AoDiirriirrriiiiiiiiirrr2221)(21iiiirrr)2(21iiiiirrrr2)(,iiirr利用扇形的面积公式i计算小扇形的面积221rsrdrddddrr（用极坐标曲线划分D）面积元素1.极坐标系下的面积元素的确定极坐标系下区域的面积.DrdrdCH21-重积分sincosryrx.),(Ddxdyyxf.)sin,cos(),(DDrdrdrrfdxdyyxfrD)sin,cos(rrf化被积函数rdrd应用范围：积分区域为圆域(或一部分)，被积函数含的用此简便.)(22yx2.二重积分转化为极坐标形式的表达式222ryx关键CH21-重积分确定极坐标系下先r后积分的方法DoA==,).()(21r-型：)()(21)sin,cos()sin,cos(),(rdrrrfddrrdrrfdyxfDD).(1r).(2r极坐标系下的累次积分极坐标系下区域如图所示：二、极坐标系下二重积分化累次积分方法：三线法CH21-重积分ADo)(1r)(2rDrdrdrrf)sin,cos(区域特征（一）如图：,).()(21rAoD)(2r)(1r极点在积分区域外二重积分化为二次积分的公式（１）.)sin,cos()()(21rdrrrfd251页CH21-重积分AoD)(r.)sin,cos()(0rdrrrfd二重积分化为二次积分的公式（２）区域特征（二）如图,).(0rDrdrdrrf)sin,cos(极点在区域D的边界上CH21-重积分Drdrdrrf)sin,cos(.)sin,cos()(020rdrrrfd二重积分化为二次积分的公式（３）区域特征（三）如图).(0rDoA)(r,20极点在区域D内部CH21-重积分思考:下列各图中区域D分别与x,y轴相切于原点,试问的变化范围是什么?答:;0)1()(rDoyx)(rDoyx(1)(2)22)2(CH21-重积分例1计算二重积分Ddxdyyxyx2222)sin(,其中积分区域为}41|),{(22yxyxD.解由对称性，可只考虑第一象限部分，Ddxdyyxyx2222)sin(412222)sin(Ddxdyyxyx210sin42rdrrrd.414DD1D例题分析印象考研—填空题2021rCH21-重积分例2写出积分Ddxdyyxf),(的极坐标二次积分形式，其中积分区域,11|),{(2xyxyxD}10x.1yx122yx解在极坐标系下sincosryrx所以圆方程为1r,直线方程为cossin1r,Ddxdyyxf),(.)sin,cos(201cossin1rdrrrfd例题分析CH21-重积分为极坐标下的二次积分.练习化二重积分2222:)1(byxaDrdrrrfdba20sin,cosxyxD2:)2(221cos2rrdrrrfd22cos20sin,cos解解.),(Ddyxf.),(Ddyxf.),(Ddyxf被积函数奇偶不确定CH21-重积分如果积分区域D为圆、半圆、圆环、扇形域等，或被积函数f(x2+y2)形式，利用极坐标常能简化计算.通常出现下面两类问题：1.将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分，2.将极坐标系下的二重积分转化为直角坐标系下的二重积分小结CH21-重积分解题步骤：1.将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分，需依下列步骤进行：(1)将代入被积函数.sin,cosryrx(2)将区域D的边界曲线换为极坐标系下的表达式，确定相应的积分限-------做题关键(3)将面积元dxdy换为.rdrdθ2.将极坐标系下的二重积分转化为直角坐标系下的二重积分步骤与1相似，只需依反方向进行.CH21-重积分休息一会儿作业：P254-1,2，CH21-重积分如果积分区域D为圆、半圆、圆环、扇形域等，或被积函数f(x2+y2)形式，利用极坐标常能简化计算.通常出现下面两类问题：1.将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分，2.将极坐标系下的二重积分转化为直角坐标系下的二重积分CH21-重积分解题步骤：1.将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分，需依下列步骤进行：(1)将代入被积函数.sin,cosryrx(2)将区域D的边界曲线换为极坐标系下的表达式，确定相应的积分限-------做题关键(3)将面积元dxdy换为.rdrdθ2.将极坐标系下的二重积分转化为直角坐标系下的二重积分步骤与1相似，只需依反方向进行.CH21-重积分例3计算dxdyyxD)(22，其D为由圆yyx222，yyx422及直线yx30，03xy所围成的平面闭区域.解3261sin4rsin2rdxdyyxD)(2236sin4sin22rdrrd).32(15yyx422yyx22203yx03xyCH21-重积分例4求曲线)(2)(222222yxayx和222ayx所围成的图形的面积.解根据对称性有14DD在极坐标系下)(2)(222222yxayx,2cos2ar,222arayx1D伯努利双曲线CH21-重积分由arar2cos2,得交点)6,(aA,所求面积Ddxdy14Ddxdy2cos2064aardrd).33(2aCH21-重积分例5求球面x2+y2+z2=a2含在圆柱面x2+y2=ax(a0)内部的那部分面积.yzx解：A=4A1S:222yxazDxy:x2+y2≤ax,y≥0.zyxDxySCH21-重积分.)(内的部分）立体的体积所截得的（含在圆柱面被圆柱面求球体024222222aaxyxazyx解由对称性DdxdyyxaV22244所围成的闭区域轴及为半圆周其中xxaxyD22yzx体积微元例5252-4CH21-重积分解由对称性DdxdyyxaV22244，闭区域，在极坐标系中轴所围成的及为半圆周其中xxaxyD2220,cos20arDrdrdraV2244cos20222044ardrrad)322(332)sin1(33232033adaoxyza2可用不等式表示闭区域DCH21-重积分二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用对称性）Drdrdrrf)sin,cos(.)sin,cos()()(21rdrrrfd.)sin,cos()(0rdrrrfd.)sin,cos()(020rdrrrfd小结CH21-重积分.)sin,cos()()(21rdrrrfd1)sin,cos(Drdrdrrf,:1D).()(21r极坐标系下几种形式CH21-重积分.)sin,cos()(0rdrrrfd,:2D).(0r2)sin,cos(Drdrdrrf3)sin,cos(Drdrdrrf.)sin,cos()(020rdrrrfd,20:3D).(0rCH21-重积分解法一dy)x2(V22D2211;11:Dxyxxx2110;10:Dxyx23)2214332221(4d)cos32cos(4)2(d4)2(4V2204210x-102222D1tttdyyxxdyx例5.2,1,}1|){(D222222为顶的曲顶柱体的体积抛物面为侧面圆柱面为底面上的园域求以y-xzyxyxx,yxoyCH21-重积分例5.2,1,}1|){(D222222为顶的曲顶柱体的体积抛物面为侧面圆柱面为底面上的园域求以y-xzyxyxx,yxoy解法二DdyxV)2(2220;10:rDCH21-重积分例6计算dxdyeDyx22，其中D是由中心在原点，半径为a的圆周所围成的闭区域.解在极坐标系下，D：ar0，20.dxdyeDyx22arrdred0202).1(2ae2xe的原函数不是初等函数,故本题无法用直角由于坐标计算.ardred0220221CH21-重积分注:利用上例可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式①2d02xex例计算dxdyeDyx22，其中D是由中心在原点，半径为a的圆周所围成的闭区域.CH21-重积分,cos022:arDoxy