中考数学压轴题(内含答案)

中考数学压轴题(内含答案)1/26目录第一部分函数图象中点的存在性问题1.1因动点产生的相似三角形问题例12010年义乌市中考第24题1.2因动点产生的等腰三角形问题例22012年扬州市中考第27题1.3因动点产生的直角三角形问题例32012年杭州市中考第22题1.4因动点产生的平行四边形问题例42011年上海市中考第24题1.5因动点产生的梯形问题例52011年义乌市中考第24题例62010年杭州市中考第24题1.6因动点产生的面积问题例72012年河南省中考第23题1.7因动点产生的相切问题例82012年无锡市中考第28题1.8因动点产生的线段和差问题例92013年天津市中考第25题第二部分图形运动中的函数关系问题2.1由比例线段产生的函数关系问题例12013年宁波市中考第26题2.2由面积公式产生的函数关系问题例22012年广东省中考第22题第三部分图形运动中的计算说理问题3.1代数计算及通过代数计算进行说理问题例12013年南昌市中考第25题3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题例22013年江西省中考第24题中考数学压轴题(内含答案)2/26第一部分函数图象中点的存在性问题1.1因动点产生的相似三角形问题例12010年义乌市中考第24题如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标；（3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．图1图2动感体验请打开几何画板文件名“10义乌24”，拖动点I上下运动，观察图形和图象，可以体验到，x2－x1随S的增大而减小．双击按钮“第（3）题”，拖动点Q在DM上运动，可以体验到，如果∠GAF＝∠GQE，那么△GAF与△GQE相似．思路点拨1．第（2）题用含S的代数式表示x2－x1，我们反其道而行之，用x1，x2表示S．再注意平移过程中梯形的高保持不变，即y2－y1＝3．通过代数变形就可以了．2．第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证．3．第（3）题的示意图，不变的关系是：直线AB与x轴的夹角不变，直线AB与抛物线的对称轴的夹角不变．变化的直线PQ的斜率，因此假设直线PQ与AB的交点G在x轴的下方，或者假设交点G在x轴的上方．满分解答（1）抛物线的对称轴为直线1x，解析式为21184yxx，顶点为M（1，18）．（2）梯形O1A1B1C1的面积12122(11)3()62xxSxx，由此得到中考数学压轴题(内含答案)3/261223sxx．由于213yy，所以22212211111138484yyxxxx．整理，得212111()()384xxxx．因此得到2172xxS．当S=36时，212114,2.xxxx解得126,8.xx此时点A1的坐标为（6，3）．（3）设直线AB与PQ交于点G，直线AB与抛物线的对称轴交于点E，直线PQ与x轴交于点F，那么要探求相似的△GAF与△GQE，有一个公共角∠G．在△GEQ中，∠GEQ是直线AB与抛物线对称轴的夹角，为定值．在△GAF中，∠GAF是直线AB与x轴的夹角，也为定值，而且∠GEQ≠∠GAF．因此只存在∠GQE＝∠GAF的可能，△GQE∽△GAF．这时∠GAF＝∠GQE＝∠PQD．由于3tan4GAF，tan5DQtPQDQPt，所以345tt．解得207t．图3图4考点伸展第（3）题是否存在点G在x轴上方的情况？如图4，假如存在，说理过程相同，求得的t的值也是相同的．事实上，图3和图4都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3．中考数学压轴题(内含答案)4/261.2因动点产生的等腰三角形例22011年盐城市中考第28题如图1，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数43yx的图象交于点A，且与x轴交于点B．（1）求点A和点B的坐标；（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l//y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“11盐城28”，拖动点R由B向O运动，从图象中可以看到，△APR的面积有一个时刻等于8．观察△APQ，可以体验到，P在OC上时，只存在AP＝AQ的情况；P在CA上时，有三个时刻，△APQ是等腰三角形．思路点拨1．把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题．2．求△APR的面积等于8，按照点P的位置分两种情况讨论．事实上，P在CA上运动时，高是定值4，最大面积为6，因此不存在面积为8的可能．3．讨论等腰三角形APQ，按照点P的位置分两种情况讨论，点P的每一种位置又要讨论三种情况．满分解答（1）解方程组7,4,3yxyx得3,4.xy所以点A的坐标是(3，4)．令70yx，得7x．所以点B的坐标是(7，0)．（2）①如图2，当P在OC上运动时，0≤t＜4．由8APRACPPORCORASSSS△△△梯形，得1113+7)44(4)(7)8222tttt（．整理，得28120tt．解得t＝2或t＝6（舍去）．如图3，当P在CA上运动时，△APR的最大面积为6．因此，当t＝2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8．中考数学压轴题(内含答案)5/26图2图3图4②我们先讨论P在OC上运动时的情形，0≤t＜4．如图1，在△AOB中，∠B＝45°，∠AOB＞45°，OB＝7，42AB，所以OB＞AB．因此∠OAB＞∠AOB＞∠B．如图4，点P由O向C运动的过程中，OP＝BR＝RQ，所以PQ//x轴．因此∠AQP＝45°保持不变，∠PAQ越来越大，所以只存在∠APQ＝∠AQP的情况．此时点A在PQ的垂直平分线上，OR＝2CA＝6．所以BR＝1，t＝1．我们再来讨论P在CA上运动时的情形，4≤t＜7．在△APQ中，3cos5A为定值，7APt，5520333AQOAOQOAORt．如图5，当AP＝AQ时，解方程520733tt，得418t．如图6，当QP＝QA时，点Q在PA的垂直平分线上，AP＝2(OR－OP)．解方程72[(7)(4)]ttt，得5t．如7，当PA＝PQ时，那么12cosAQAAP．因此2cosAQAPA．解方程52032(7)335tt，得22643t．综上所述，t＝1或418或5或22643时，△APQ是等腰三角形．图5图6图7考点伸展当P在CA上，QP＝QA时，也可以用2cosAPAQA来求解．中考数学压轴题(内含答案)6/261.3因动点产生的直角三角形问题例32012年杭州市中考第22题在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k(x2＋x－1)的图象交于点A(1,k)和点B(－1,－k)．（1）当k＝－2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．动感体验请打开几何画板文件名“12杭州22”，拖动表示实数k的点在y轴上运动，可以体验到，当k＜0并且在抛物线的对称轴左侧，反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大．观察抛物线的顶点Q与⊙O的位置关系，可以体验到，点Q有两次可以落在圆上．请打开超级画板文件名“12杭州22”，拖动表示实数k的点在y轴上运动，可以体验到，当k＜0并且在抛物线的对称轴左侧，反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大．观察抛物线的顶点Q与⊙O的位置关系，可以体验到，点Q有两次可以落在圆上．思路点拨1．由点A(1,k)或点B(－1,－k)的坐标可以知道，反比例函数的解析式就是kyx．题目中的k都是一致的．2．由点A(1,k)或点B(－1,－k)的坐标还可以知道，A、B关于原点O对称，以AB为直径的圆的圆心就是O．3．根据直径所对的圆周角是直角，当Q落在⊙O上是，△ABQ是以AB为直径的直角三角形．满分解答（1）因为反比例函数的图象过点A(1,k)，所以反比例函数的解析式是kyx．当k＝－2时，反比例函数的解析式是2yx．（2）在反比例函数kyx中，如果y随x增大而增大，那么k＜0．当k＜0时，抛物线的开口向下，在对称轴左侧，y随x增大而增大．抛物线y＝k(x2＋x＋1)＝215()24kxk的对称轴是直线12x．图1所以当k＜0且12x时，反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大．（3）抛物线的顶点Q的坐标是15(,)24k，A、B关于原点O中心对称，当OQ＝OA＝OB时，△ABQ是以AB为直径的直角三角形．中考数学压轴题(内含答案)7/26由OQ2＝OA2，得222215()()124kk．解得1233k（如图2），2233k（如图3）．图2图3考点伸展如图4，已知经过原点O的两条直线AB与CD分别与双曲线kyx（k＞0）交于A、B和C、D，那么AB与CD互相平分，所以四边形ACBD是平行四边形．问平行四边形ABCD能否成为矩形？能否成为正方形？如图5，当A、C关于直线y＝x对称时，AB与CD互相平分且相等，四边形ABCD是矩形．因为A、C可以无限接近坐标系但是不能落在坐标轴上，所以OA与OC无法垂直，因此四边形ABCD不能成为正方形．图4图51.4因动点产生的平行四边形问题中考数学压轴题(内含答案)8/26例42011年上海市中考第24题已知平面直角坐标系xOy（如图1），一次函数334yx的图象与y轴交于点A，点M在正比例函数32yx的图象上，且MO＝MA．二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A、M．（1）求线段AM的长；（2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图象上，点D在一次函数334yx的图象上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“11上海24”，拖动点B在y轴上点A下方运动，四边形ABCD保持菱形的形状，可以体验到，菱形的顶点C有一次机会落在抛物线上．思路点拨1．本题最大的障碍是没有图形，准确画出两条直线是基本要求，抛物线可以不画出来，但是对抛物线的位置要心中有数．2．根据MO＝MA确定点M在OA的垂直平分线上，并且求得点M的坐标，是整个题目成败的一个决定性步骤．3．第（3）题求点C的坐标，先根据菱形的边长、直线的斜率，用待定字母m表示点C的坐标，再代入抛物线的解析式求待定的字母m．满分解答（1）当x＝0时，3334yx，所以点A的坐标为(0，3)，OA＝3．如图2，因为MO＝MA，所以点M在OA