期权及定价基础精讲

第四章期权及其定价基础期权概述•期权：期权是一项按约定价格（或条件）买入或卖出标的资产的权力，而不承担义务。•基本构成：标的资产买入的权力——看涨期权；标的资产卖出的权力——看跌期权。•期权买入者支付期权费；卖出者收入期权费。•结构分析：买入买入权力与买入卖出权力——多头卖出买入权力与卖出卖出权力——空头•主要类型：欧式期权美式期权BSM（布莱克-舒尔斯-默顿）期权定价模型的划时代影响案例：国有股退出银行信托者提供的建议可能的多赢效果银行信托者——信孚银行方案信孚银行如何规避风险看涨、看跌期权的损益状态•以股票看涨期权为例：[0,]00=00[0,]0ttttttttSXTctRRMaxSXcSXSXSXpRRMaxXSpXS设时刻的股票价格为，期权执行价格为，期权有效期为，看涨期权持有者在0时刻支付期权费为，则时刻看涨期权损益为：对看涨期权而言：，称实值期权；，称虚值期权；，则称平价期权。显然，对应的空头，其损益状态与之相反。设为看跌期权买着在时刻支付的期权费，则其损益为：对看跌期权而言：0tXS，称实值期权；，称虚值期权。期权基本交易模式期权合约的盈亏分布：看涨期权多头payoff0cstockprice(a)看涨期权多头X期权合约的盈亏分布：看跌期权多头payoffXx-c0stockprice(b)看跌期权多头X期权合约的盈亏分布：看涨期权空头payoffcstockprice0(c)看涨期权空头X期权合约的盈亏分布：看跌期权空头？•请尝试画出解析图期权的内在价值与时间价值内在价值：期权立即执行所带来的收益。对看涨期权而言，其内在价值为现行价格S与执行价格X的非负差额，即：内在价值=S-X时间价值：是指期权购买者支付的期权费中超过内在价值的部分。故有：期权价格=内在价值+时间价值看涨期权内在价值=Max(0,S-X)看跌期权内在价值=Max(0,X-S)内在价值、时间价值图解•看涨期权：对应资产的市场价格为100时，期权费、内在价值和时间价值的关系，如下图。影响期权价格的六大因素•标的资产现价•执行价格•期限•波动率•无风险利率•期权有效期内预计发放的红利相关性分析股票价格和执行价格•看涨期权:在将来某一时间执行，则其收益为股票价格与执行价格的差额；故：股票价格的上升，看涨期权的价值也就越大；执行价格的上升，看涨期权的价值就越小。•看跌期权：看跌期权行为刚好与看涨期权相反，故：股票价格上升，看跌期权的价值下降；执行价格上升时，看跌期权的价值上升。到期期限：美式期权•期权的有效期限增加，美式看涨、看跌期权的价值都会增加。•例：考虑其他条件相同，只有到期日不同的两个美式期权．则有效期长的期权其执行的机会不仅包含了有效期短的那个期权的所有执行机会，而且它的获利机会会更多。因此有效期长的期权的价值总是大于或等于有效期短的期权价值。到期期限：欧式期权•有效期增加，欧式看涨、看跌期权的价值并不一定必然增加。因为有效期长的期权的执行机会并不一定包含有效期短的期权的所有执行机会。•例：考虑同一股票的两个欧式看涨期权，一个到期期限为1个月，另一个到期期限为2个月。假定，预计在六周后将支付大量的红利。红利会使股票价格下降，这就有可能使有效期短的期仅的价值超过有效期长的期权的价值。波动率•波动率是用来衡量未来股票价格变动的不确定性。随着波动率的增加，股票上升很高或下降很低的机会也随着增加。•看涨期权的持有者从股价上升中获利，当股价下跌时，最大损失就是期权费有限损失。•看跌期权约持有者从股价下跌中获利，当股价上升时，仅有有限的期权费损失。•随着波动率的增加，看涨期权和看跌期权的价值都会增加。无风险利率•无风险利率对期权价格的影响并不直接，当整个经济中的利率增加时，股票价格的预期增长率也倾向于增加，但期权持有者收到的未来现金流的现值将减少。•可证明对看涨期权来说，前者的影响将起主导作用，即随着无风险利率的增加，看涨期权的价格总是随之增加。•随着无风险利率的增加，看跌期仅的价格将减少。而对于看涨期权来说，将增加看涨期权的价格，而倾向于减少看涨期权约定价格。所有这些结果都是建立在定价时刻且其他变量保持不变的基础上；•当利率上升(或下降)时，股票价格也将下降(或上升)。若考虑利率变化和随之而来的股价变化的净效应．则可能会得出与上而相反的结论。红利•在除息日后，红利将减少股票的价格，对于看涨期权的价值来说这是—个坏消息，而对于看跌期权的价值来说则是一个好消息。•看涨期权的价值与预期红利的大小成反向变动，而看跌期权的价值与预期红利的大小成正向变动期权价格的上下限几个假定：•没有交易费用•交易利税率相同•可以按无风险利率借入和贷出资金期权价格的上限：看涨期权价格的上限•对于美式和欧式期权来说，标的资产价格就是看涨期权价格的上限：•其中，c代表欧式看涨期权价格，C代表美式看涨期权价格，S代表标的资产价格。SCSc,期权价格的上限：看跌期权价格的上限•美式看跌期权价格（P）的上限为X：•欧式看跌期权的上限为：•其中，r代表T时刻到期的无风险利率，t代表现在时刻。XP)(tTrXep期权价格的下限：欧式看涨期权价格的下限无收益资产欧式看涨期权价格的下限•我们考虑如下两个组合：•组合A：一份欧式看涨期权加上金额为的现金•组合B：一单位标的资产•在T时刻，组合A的价值为：•组合B的价值为ST。•由于，因此，在t时刻组合A的价值也应大于等于组合B，即:•由于期权的价值一定为正，因此无收益资产欧式看涨期权价格下限为：)(tTrXe),max(XSTTTSXS),max()0,max()(tTrXeSc()(),rTtrTtcXeSCSXeS即，其中为定价时（t时刻）标的资产市场价格有收益资产欧式看涨期权价格的下限我们只要将上述组合A的现金改为，其中D为期权有效期内资产收益的现值，并经过类似的推导，就可得出有收益资产欧式看涨期权价格的下限为：()max(,0)rTtcSDXe()rTtDXe欧式看跌期权价格的下限:无收益资产欧式看跌期权价格的下限•考虑以下两种组合：组合C：一份欧式看跌期权加上一单位标的资产组合D：金额为的现金•在T时刻，组合C的价值为：max（ST，X），组合D的价值为X。•由于组合C的价值在T时刻大于等于组合D，因此组合C的价值在t时刻也应大于等于组合D，即：•由于期权价值一定为正，因此无收益资产欧式看跌期权价格下限为：()rTtXe()()rTtrTtpSXepXeS即()max(,0)rTtpXeS欧式看跌期权价格的下限:有收益资产欧式看跌期权价格的下限我们只要将上述组合D的现金改为就可得到有收益资产欧式看跌期权价格的下限为：()max(,0)rTtpDXeS()rTtDXe美式期权提前执行的合理性？•无收益资产美式期权提前执行的合理性？•看涨期权：考虑如下两个组合：•组合A：一份美式看涨期权加上金额为的现金•组合B：一单位标的资产•在T时刻，组合A的现金变为X，组合A的价值为max（ST，X）。而组合B的价值为ST，可见，组合A在T时刻的价值一定大于等于组合B。这意味着，如果不提前执行，组合A的价值一定大于等于组合B。•结论：提前执行无收益资产美式看涨期权是不明智的。因此，同一种无收益标的资产美式看涨期权和欧式看涨期权的价值是相同的，即：C=c•根据前面结论，无收益资产美式看涨期权价格的下限：]0,max[)(tTrXeSC()rTtXe无收益资产美式期权提前执行的合理性？看跌期权•考察如下两种组合：组合A：一份美式看跌期权加上一单位标的资产组合B：金额为的现金•若不提前执行，则到T时刻，组合A的价值为max（X，ST），组合B的价值为X，因此组合A的价值大于等于组合B。•若在时刻提前执行，则组合A的价值为X，组合B的价值为，因此组合A的价值也高于组合B。•结论：是否提前执行无收益资产的美式看跌期权，主要取决于期权的实值额（X-S）、无风险利率水平等因素。一般来说，只有当S相对于X来说较低，或者r较高时，提前执行无收益资产美式看跌期权才可能是有利的。故无收益美式看跌期权的下限为：（即期权内在价值为其最小值）)(tTrXeSXP()rtXe有收益资产美式期权提前执行的合理性？看涨期权•由于提前执行有收益资产的美式期权可较早获得标的资产，从而获得现金收益，而现金收益可以派生利息，因此在一定条件下，提前执行有收益资产的美式看涨期权有可能是合理的。由于存在提前执行更有利的可能性，有收益资产的美式看涨期权价值大于等于欧式看涨期权，其下限为：]0,max[)(tTrXeDScC有收益资产美式期权提前执行的合理性？看跌期权•由于提前执行有收益资产的美式期权意味着自己放弃收益权，因此收益使美式看跌期权提前执行的可能性变小，但还不能排除提前执行的可能性。•由于美式看跌期权有提前执行的可能性，因此其下限为：)0,max(SXDP看涨期权与看跌期权之间的平价关系欧式看涨期权与看跌期权之间的平价关系：无收益资产的欧式期权•考虑如下两个组合：组合A：一份欧式看涨期权加上金额为的现金组合B：一份有效期和协议价格与看涨期权相同的欧式看跌期权加上一单位标的资产。在期权到期时，两个组合的价值均为max(ST,X)。由于欧式期权不能提前执行，因此两组合在时刻t必须具有相等的价值，即：（1）•这就是无收益资产欧式看涨期权与看跌期权之间的平价关系如果式（1）不成立，则存在无风险套利机会。套利活动将最终促使式（1）成立。)(tTrXeSpXectTr)(欧式看涨期权与看跌期权之间的平价关系——有收益资产的欧式期权在标的资产有收益的情况下，我们只要把前面的组合A中的现金改为，我们就可推导有收益资产欧式看涨期权和看跌期权的平价关系：)(tTrXeDSpXeDctTr)(美式看涨期权和看跌期权之间的关系——无收益资产美式期权•由于,从式（1）中我们可得：•无收益美式看涨期权不会被提前执行，即c=C，因此：故：（3）SXecPtTr)(SXeCPtTr)()(tTrXeSPCPp美欧考虑以下两个组合：组合A：一份欧式看涨期权加上金额为X的现金组合B：一份美式看跌期权加上一单位标的资产•如果美式期权没有提前执行，则在T时刻组合B的价值为max(ST,X)，而此时组合A的价值为：•因此组合A的价值大于组合B。•如果美式期权在时刻提前执行，则在该时刻，组合B的价值为X，而此时组合A的价值大于等于。因此组合A的价值也大于组合B。（后续）)(trXe()()max(,0)max(,)rTtTrTtTSXXeSXXeX或表示为美式看涨期权和看跌期权之间的关系——有收益资产美式期权•因此，•又由于c=C，我们有：即。•结合式（3），我们可得：（4）上式为无收益美式看涨期权和看跌期权的价格关系。SPXcXSPC)(tTrXeSPCXS美式看涨期权和看跌期权之间的关系——有收益资产美式期权因在无收益情况下根据（4）式有：而在有收益情况下增加看跌期权价值，减少看涨期权价值，故有：因此可得：在确定其下限时，我们只要把组合A的现金改为D+X，就可得到有收益资产美式期权必须遵守的不等式：(5)上式即为有收益条件下美式看跌期权和看涨期权价格关系()rTtPSCXe无无,PPCC无无()()rTtrTtPSCXeCPSXe或()rTtSDXCPSXe