高中数学课堂教学的几个视角(浙江省教育厅教研室)

高中数学课堂教学的几个视角浙江省教育厅教研室张金良高观点下的初等数学•哥廷根学派创始人克莱因(C.F.Klein,1849-1925,不是写科普的M.克莱因(MorrisKlein,1908-1992))著《高观点下的初等数学》三卷，1908年出版，1924年第三版。中文译本上世纪90年代曾由湖北教育出版社出版，2008年复旦大学出版社又重新出版。一、课堂教学中的高观点视角算术•代数•分析•第一卷《算术•代数•分析》，舒湘芹等译。几何•第二卷《几何》，舒湘芹等译。精确数学与近似数学•第三卷《精确数学与近似数学》，吴大任等译。通过简要介绍并适当补充与中学数学的密切联系的现代数学内容，用较高的观点研究初等数学，分析研究初等数学的重要概念、思想和方法，研究现代数学与初等数学的联系，从而使中学数学教材教法得到居高临下、深入浅出地理解和处理。结合现代数学思想方法，对中学数学教材中那些讲得不透彻的、薄弱的内容,加以分析、充实、提高，帮助教师更好地把握教材。高观点下的数学课堂教学一家水果店出售5种水果，它们的单价和利润如表品种西瓜哈密瓜水蜜桃葡萄草莓单价（元/千克）36.54.558利润(元/千克)0.51.51.01.21.3每笔生意的购买如表品种西瓜哈密瓜水蜜桃葡萄草莓顾客11058.532顾客201552.55顾客315101087.5试计算每笔生意的营业额和利润案例1案例2定理：案例3我心目中的高观点课堂教学站在知识系统的高度，抓住知识间的联系，教授高中数学，居高临下，鱼翔浅底。高中数学与其他学科联系数学与物理，数学与地理，数学与计算机，数学与通用技术，数学与化学已知0,0mba，求证：bambma分析法、综合法、比较法、反证法——30分放缩法、构造函数法、增量法——50分定比分点法、斜率法、三角法、几何模型法——70分正弦定理法、相似三角形法、换元法、双换元法、定义法、值域法——90分椭圆离心率法、双曲线离心率法、定积分法——100分案例4案例52200y(,)ABxPxyP2已知圆C:+=r,设是圆C外一点,过引圆的两条切线与圆C分别切于A,B两点.求直线的方程案例7案例8例（2012理10）已知矩形ABCD中，AB=1，BC=，将沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，（A）存在某个位置，使得直线AC与BD垂直（B）存在某个位置，使得直线AB与CD垂直（C）存在某个位置，使得直线AD与BC垂直（D）对任意位置，直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直ABC2案例9案例14案例15原始问题设A，B，C是一条直线上三个不同点，证明：如果，对于空间任意一点O，有OCOAOB111BCAB案例高观点课堂教学视野的培养证因为且，所以.,OCBCOBOBABOABCAB.,OCBCOBOBABOA两式相减，得OCOAOB111二、课堂教学中的科学性视角知识传授的科学性课堂用语的科学性符号使用的科学性等差等比数列定义椭圆定义概率定义知识传授的科学性111()()()(2)log1xayfxxfyyfxyayxa3.函数（）的反函数是还是？与在上有无交点？32403sin2,2]yxxPyzkkkZ4.单调区间的表述写出的单调递增区间(-,-1)和(1,+),(-,-1)(1,+)教材必修4中，函数的单调递增区间是[-221041//0Plauau5.立体几何中（）线面三种位置关系：平行，相交，线在面内教材选修2-1中，：6.Y=Asin(ωx+φ)作图问题1(2)(ababb6、向量（）零向量：平行于任一向量，垂直无说明=1，-),则的取值范围？,,,,,,,nnSanaSSSSSSSnn2nn3n2nkn(k-1)n8.设是数列的前项的和若数列是等比数列则仍是等比数列.人教版《普通高中课程标准实验教科书数学必修3》浙教版《义务教育课程标准实验教科书数学七年级下》在数学中，我们把事件发生的可能性的大小也称为事件发生的概率.南开大学数学教学丛书《概率论》在相同条件下大量地重复某一随机试验时，各可能的结果出现的频率稳定在某个确定的数值附近，称这种性质为频率的稳定性。……这种表征在一定条件下事件A发生的可能性大小的频率稳定值就称作事件A的概率.日本教材所谓概率，是研究不确定事件发生的确定程度的一个概念。美国教材概率这一术语没有一个能被所有统计学家都接受的科学的解释。……某些人提出的解释就被另一些人所批评。实际上概率的真实含义仍然是一个非常有争议的对象……概率概念的演变古典定义频率定义公理化定义偶然性的理论对于将所有类型的事件转化为一定数目的等可能场合，这里等可能是指我们对它们的存在性是同等不清楚的，另外还要确定对我们要研究的事件有利场合的数目。这个数目和所有可能的场合的数目之比就是那个待求的度量——概率。法国数学家Laplace《概率的分析理论》1812年=所有有利场合的数目概率所有场合的数目1.概率的古典定义2.概率的频率定义在相同条件下大量地重复某一随机试验时，各可能的结果出现的频率稳定在某个确定的数值附近，称这种性质为频率的稳定性。这种表征在一定条件下事件A发生的可能性大小的频率稳定值就称作事件A的概率，记为P(A)。高中、大学的概率定义3.概率的公理化定义前苏联数学家Kolmogrov《概率论基础》1933年我们称(Ω,F,P)为概率空间，其中Ω为全集，F为其上的σ代数，P是满足如下条件的定义F在上的实值函数：（i）对于∈∀AF，有0≥)A(P；（ii）若∈nAF两两不交，则有∑∞∞1=1==nnnn)A(P)A(P；（iii）1=Ω)(P.则P为概率测度.1889年法国数学家Betrand提出一个几何概率问题：在单位圆上任作一弦，求弦长大于3的概率.ANMBOEMABAB三种不同的理解对应着不同的随机试验，312141Betrand悖论促使人们进一步认识到，必须建立概率论的公理化体系，使概率论的发展有一个严格的数学基础。课堂用语的科学性符号使用的科学性三、课堂教学中的高效率视角教学目标定位合理教学方法选择适切教学设计精致教学过程流畅作业布置科学复习安排有效•知识与技能：结合实例，理解归纳推理的思维过程，掌握归纳推理的方法，能利用归纳进行简单的推理。•过程与方法：通过让学生的积极参与，亲身经历归几种归纳推理的思维过程，培养学生观察比较、分析综合、抽象概括的能力，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用。•情感态度与价值观：提高数学思维能力，感受数学文化，增强学习兴趣。教学目标定位合理案例:归纳推理要求太高,难以实现不具体,难落实大而空,无效目标•知识目标：结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解归纳推理的含义，能利用归纳推理进行简单的推理。•过程与方法目标：体会并认识合情推理在数学发现中的作用。•情感态度与价值观目标：体会并认识合情推理在数学发现中的作用，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。案例:归纳推理主要问题:没有合理表达内容特点；表述不具体,不准确,空话、套话连篇;对课堂教学活动的缺乏定向,操作性不强“课程目标”混淆”课堂目标”•“三维目标”是同一学习过程中的三个心理维度，不是教学目标的维度。•教学目标取决于教学内容的特点，要在“三个维度”的指导下，综合考虑学段目标、内容特点和学情来确定；什么是三维目标学校一切学科的目标宏观目标，要付出大量时间和精力，经过长期努力才能实现的学习结果,“总体目标+学段目标”微观目标，专注于具体内容的学习，只处理细节.教育方针课程目标单元目标课堂教学目标中观目标，用于计划需要几周或几个月的时间学习的单元，是课程目标的具体化。例如，“理解函数的概念”作业布置科学作业的类型•引导预习的作业•促进理解的作业•提高熟练性的作业•帮助记忆的作业•促进知识体系形成的知识整理作业案例上海中学数学作业体系的功能：(1)横向统一年级内不同班级的教学要求；(2)纵向监控不同年级教学质量；(3)控制数学作业总量，平衡各学科教学任务的关系.上海中学数学作业体系编写原则：(1)落实当天教学目标；(2)适度滚动复习重要知识；(3)充分利用上海中学学生对于数学学习的热情，促进学生自主学生，共同探索提高•教育心理学家格里诺曾说过：“情境是一切认知活动的基础”.•课堂教学可以看成是许多情境构成的序列.•能暴露数学思想的发生和发展过程,对教学过程能起到承上启下的作用.•能加深对数学概念的认识和理解.(一)重视学习情境的创设四、课堂教学中的育人视角必要性设计原则：具有针对性具有启发性具有新颖性具有趣味性具有简洁性(二)课堂情境设计原则与策略可及性直观性开放性挑战性体验性1.问题情境的创设[图1]CA[图2]AAC[图3][图4]A若“开关A的闭合”为条件A，“灯泡B亮”为结论B，下面的电路图中，A是B的什么条件？加深概念理解，创设直观性“问题情境”案例■设函数f(x)＝lnx＋1ax．（2012浙江省样卷）问题1若a=1,求过点(2,f(2))的切线方程；问题3若在区间(0,1/e]上单调递增,求实数a的取值范围；问题4若在区间(0,1/e]上不单调,求实数a的取值范围；问题2若a=0,求过点(2,1)的切线方程；(0,1/e]上函数能是单调减的吗？注重思维性，创设阶梯式“问题情境”案例问题5若在(0,1/e)内有极值，求实数a的取值范围。问题7若在(0,1/e)内无极值，求实数a的取值范围。问题6若在(0,1/e)内有极值，证明：在[1/e,e]内没有极值点。2()(2)1gxxax若方程的两根为α，β。问题10若x1∈(0,1)，x2∈(1,＋∞)。问题8写出函数f(x)的单调区间。问题9求出函数f(x)的单调极值。求证：f(x2)－f(x1)＞e＋2－1/e1999年9月，马云先生带着一个18人的团队和50万人民币在杭州湖畔花苑开始了阿里巴巴神话。到2009年9月10日，此时的阿里巴巴总部员工已经达到了17000人，公司市值100亿美金。经过10年的快速发展期后，今后一段时期公司将进入稳定发展期，预计每年公司市值将比前一年增加百分之十。问：按这样的发展速度，到20周年庆典时，该公司市值将达到多少亿美金？引导探究、发现命题，创设实际“问题情境”案例高老庄集团高老庄激发学习兴趣，创设虚拟“问题情境”案例周转不灵……Noproblem！我每天给你投资100万元，连续一个月(30天)，但有一个条件：猴哥,能不能帮帮我……第一天返还1元，第二天返还2元，第三天返还4元……后一天返还数为前一天的2倍．第一天出１元入１００万；第二天出２元入１００万;第三天出4元入１００万元；……哇，发了……这猴子会不会又在耍我？……,,,,,322221292八戒吸纳的资金返还给悟空的钱数30S29322222130T301003000(万元)等比数列的前30项和每天投资100万元，连续一个月(30天)第一天返还1元，第二天返还2元，第三天返还4元……后一天返还数为前一天的2倍．=?,,,,,322221292八戒吸纳的资金返还给悟空的钱数30S29322222130T301003000(万元)等比数列的前30项和每天投资100万元，连续一个月(30天)第一天返还1元，第二天返还2元，第三天返还4元……后一天返还数为前一天的2倍．2.实验情境的创设通过动手操作试验﹑计算机模拟试验等多种方式让学生参与到数学课堂中来.3.生活情境的创设通过学生亲身经历﹑了解熟悉的情境等引起学生的认同感.随机事件的概率课:通过抛硬币试验，让学生获取数据，归纳总结试验结果，并从中体会随机事件发生的随机性和规律性.5.文化情境的创设通过数学史料或数学词歌的加工,创设情境,激发学生的求知欲.4.故事的情境通过历史上有名的﹑经典的故事创设情境引起学生的