高中数学选修2-1_1.2充分条件与必要条件

知识回顾原命题若p则q逆命题若q则p否命题若﹁p则﹁q逆否命题若﹁q则﹁p互否命题真假无关互否命题真假无关选修2－1第一章常用逻辑用语1.2充分条件与必要条件学生活动判断下列命题的真假.（1）若x＝y，则x2=y2（2）若ab=0，则a=0（3）若x21，则x1（4）若x＝1或x＝2,则x2－3x＋2＝0问题1:条件和结论有什么关系?真假假真a=0ab=0问题1:说明条件和结论有什么关系？（1）x＝yx2＝y2•（2）ab=0a=0•（3）x21x1•（4）x＝1或x＝2x2－3x＋2＝0x1x21x2－3x＋2＝0x＝1或x＝2x2＝y2x＝y；；；；新课概念:定义一、充分条件与必要条件•一般地，“若p，则q”为真命题，•是指由p经过推理能推出q，•也就是说，如果p成立，那么q一定成立．•即：只要有p就能充分地保证q的成立，•这时我们说p可推出q，pq记作：我们就说p是q的充分条件；q是p必要条件．充分性：条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证结论成立的。理解概念必要性：必要就是必须，必不可少。你能举例说明吗？生活中有吗？你能举例说明吗？生活中有吗？若张三是高中生，则张三是中学生。pq，相当于pq，即pq或p、q从集合角度理解：3,0,PxxQxxPQxPxQ例如：集合＝，，若则二、充要条件一般地,如果既有pq，又有qp就记作pq.此时,我们说,那么p是q的充分必要条件,简称充要条件.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.即：如果pq,那么p与q互为充要条件.一般地，若pq,但qp，则称p是q的充分但不必要条件；若pq，但qp，则称p是q的必要但不充分条件；若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．例题1.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题p是q的充分条件？(1)若x=1,则x2-4x+3=0;(2)若f(x)=x,则f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数；(3)若x为无理数，则x2为无理数.数学运用点拨：事实上就是判断“pq”是否为真命题。如(1)中“x＝1”“x2-4x+3=0”，所以“x＝1”是“x2-4x+3=0”的充分条件，但不可反推，故“x＝1”是“x2-4x+3=0”的充分非必要条件.例题2.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题q是p的必要条件？(1)若x=y,则x2=y2;(2)若两三角形全等,则这两个三角形的面积相等;(3)若ab，则acbc.点拨：还是判断“pq”是否为真命题。（1）x＝y是x2＝y2的_____________条件（2）ab=0是a=0的________________条件（3）x21是x1的__________________条件（4）x＝1或x＝2是x2－3x＋2＝0的_____条件充分不必要必要不充分既不充分又不必要充要例题3.填空题，试用适当的词语填空例题4：指出下列各组命题中，p是q的什么条件：（1）p：x-1=0；q：(x-1)(x+2)=0.（2）p：两条直线平行；q：内错角相等.（3）p：ab；q：a2b2（4）p：四边形的四条边相等；q：四边形是正四边形.数学运用（1）充分不必要条件（2）充要条件（3）既不充分又不必要条件（4）必要不充分条件①“a和b都是偶数”是“a+b为偶数”的＿＿条件；②“x＞5”是“x＞3”的条件；③“x≠3”是“|x|≠3”的条件；④“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的条件；⑤“至少有一组对应边相等”是“两个三角形全等”的条件；课内活动运用本节课所讲的知识填空答案：（1）充分非必要（2）充分非必要（3）必要非充分（4）充分非必要（5）必要非充分练圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于P，且AB、CD不是直径.求证：弦AB、CD不被P平分.证明：假设弦AB、CD被P平分，∵P点一定不是圆心O，连接OP，根据垂径定理的推论，有OP⊥AB,OP⊥CD即过点P有两条直线与OP都垂直，这与垂线性质矛盾，∴弦AB、CD不被P平分。二、概念理解注意下列说法：1.若p是q的充分条件，那么q是p的必要条件;这时pq成立（是真命题）2.若p是q的必要条件，那么q是p的充分条件;这时qp成立（是真命题）qp也成立pq也成立比较下列说法：12.34.56.pqpqpqqppqqp是的充分条件；成立的一个充分条件是是的必要条件；成立的一个必要条件是是的充要条件；成立的充要条件是这时pq成立qpqpqp判断p是q的什么条件的步骤①认清条件和结论。②考察pq和qp的真假。①可先简化命题。③将命题转化为等价的逆否命题后再判断。②否定一个命题只要举出一个反例即可。判断的常用技巧三、问题再现1.x2是“x3”的（）条件？A.充分非必要条件；B.必要非充分条件；C.充要条件；D.既非充分也非必要条件.B2.下列哪个条件是x5成立的必要条件？()A.x1;B.x8;C.x5;D.x6.A点评：若“xa”是“xb”的充分条件，则a≥b.“大于一个较大的数则必大于一个较小的数”(1)下列哪个条件是x5成立的必要条件？()A.x1;B.x8;C.x5;D.x6.(2)下列哪个条件是x5成立的充分条件？()A.x1;B.x8;C.x5;D.x6.比较下列说法：(3)x5成立的必要条件是？()A.x1;B.x8;ABA三、问题再现2.判断下列说法哪些是正确的？(1)x=2是x2-3x+2=0的必要条件；(2)x=2的一个必要条件是x2-3x+2=0；(3)x2-3x+2=0的一个充分条件是x=2；(4)x2-3x+2≠0的一个充分条件是x≠2.三、问题再现3.p是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么q是p成立的（）A.充分条件；B.必要条件；C.充要条件；D.既非充分也非必要条件.提示1：pr提示2：rs提示3：sqpqB四、问题探讨例题1.下列各题中，哪些p是q的充要条件？(1)p:b=0,q:f(x)=ax2+bx+c是偶函数；(2)p:x0,y0,q:xy0;(3)p:ab,q:a+cb+c.例2：已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．分析：设p:d=r,q:l与⊙O相切.先证明充分性：pq再证明必要性：qp点拨：此类问题应注意充分性和必要性的条件五、充要条件的应用例3、已知：p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m2≤0（m0）.￢p是￢q的充分非必要条件，求实数m的取值范围.关键1.解出p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m；关键2.￢p￢q,即qp关键3.设p、q的解集分别为A、B，则A、B的关系是BA