第十二章 随机过程及其统计描述概率论与数理统计

1第十章随机过程及其统计描述§1随机过程的概念2热噪声电压电子元件或器件由于内部微观粒子(如电子)的随机热骚动所引起的端电压称为热噪声电压,它在任一确定时刻t的值是一随机变量,记为V(t).不同时刻对应不同的随机变量,当时间在某区间,譬如[0,+)上推移时,热噪声电压表现为一族随机变量,记为(V(t),t0),在无线电通讯技术中,接收机在接收信号时,机内的热噪声电压要对信号产生持续的干扰.通过某种装置对元件两端的热噪声电压进行长期测量,并记录结果,作为试验结果,得到一电压-时间函数.3多次试验得到多个电压函数tv1(t)tv2(t)tvk(t)tj4设T是一无限实数集,把依赖于参数tT的一族(无限多个)随机变量称为随机过程,记为{X(t),tT},这里对每一个tT,X(t)是一随机变量.T叫做参数集.常把t看作为时间,称X(t)为时刻t时过程的状态,而X(t1)=x(实数)说成是t=t1时过程处于状态x,对于一切tT,X(t)所有可能取的一切值的全体称为随机过程的状态空间.对随机过程{X(t),tT}进行一次试验,其结果是t的函数,记为x(t),tT,称它为随机过程的一个样本函数或样本曲线.所有不同的试验结果构成一族样本函数.5随机过程可看作多维随机变量的延伸.随机过程与其样本函数的关系就象数理统计中总体与样本的关系一样.因此,热噪声电压的变化过程{V(t),t0}是一随机过程,它的状态空间是(-,+),一次观测到的电压-时间函数就是这个随机过程的一个样本函数.在以后的叙述中,为简便起见,常以X(t),tT表示随机过程.在上下文不致混淆的情况下,一般略去记号中的参数集T.6例1抛掷一枚硬币试验,样本空间是S={H,T},现藉此定义),,(,,,,cos)(-tTtHttX当出现当出现tt1t2Ox(t)x=cost7其中P(H)=P(T)=1/2.对任意固定的t,X(t)是一定义在S上的随机变量;对不同的t,X(t)是不同的随机变量,所以{X(t),t(-,+)}是一族随机变量,即它是随机过程.另一方面,作一次试验,若出现H,样本函数x1(t)=cost;若出现T,样本函数为x2(t)=t,所以该随机过程对应的一族样本函数仅包含两个函数:{cost,t}.显然这个随机过程的状态空间为(-,+).8例2考虑X(t)=acos(wt+Q),t(-,),(1.1)式中a和w是正常数,Q是在(0,2)上服从均匀分布的随机变量.tOx(t)x1(t),q1=0x2(t),q2=3/29显然,对于每一个固定的时刻t=t1,X(t1)=acos(wt1+Q)是一个随机变量,因而由(1.1)式确定的X(t)是一个随机过程,通常称它为随机相位正弦波.它的状态空间是[-a,a].在(0,2)内随机地取一数qi,相应地即得这个随机过程的一个样本函数xi(t)=acos(wt+qi),qi(0,2).10例3在测量运动目标的距离时存在随机误差,若以e(t)表示在时刻t的测量误差,则它是一个随机变量.当目标随时间t按一定规律运动时,测量误差e(t)也随时间t而变化,换句话说,e(t)是依赖于时间t的一族随机变量,亦即{e(t),t0}是一随机过程.且它们的状态空间是(-,+).11例4设某城市的120急救电话台迟早会接到用户的呼叫,以X(t)表示时间间隔(0,t]内接到的呼叫次数,它是一个随机变量,且对于不同的t0,X(t)是不同的随机变量.于是,{X(t),t0}是一随机过程.且它的状态空间是{0,1,2,...}.12例5考虑抛掷一颗骰子的试验.(i)设Xn是第n次(n1)抛掷的点数,对于n=1,2,...的不同值,Xn是不同的随机变量,因而{Xn,n1}构成一随机过程,称为伯努利过程或伯努利随机序列.(ii)设Xn是前n次抛掷中出现的最大点数,{Xn,n1}也是一随机过程.它们的状态空间都是{1,2,3,4,5,6}.13工程技术中有很多随机现象,例如,地震波幅,结构物承受的风荷载,时间间隔(0,t]内船舶甲板上浪的次数,通讯系统和自控系统中的各种噪声和干扰,以及生物群体的生长等等变化过程都可用随机过程这一数学模型来描绘.不过,这些随机过程都不能象随机相位正弦波那样,很方便,很具体地用时间和随机变量(一个或几个)的关系式表示出来,其主要原因是自然界和社会产生随机因素的机理极为复杂,甚至不可能观察到,因此只有通过分析样本函数才能掌握它们的规律性.14随机过程的不同描述方式在本质上是一致的.在理论分析时往往以随机变量族的描述方式作为出发点,而在实际测量和数据处理中往往采用样本函数族的描述方式.这两种描述方式在理论和实际两方面是互为补充的.随机过程可依其在任一时刻的状态是连续型或离散型随机变量而分成连续型随机过程和离散型随机过程.热噪声电压,例2和例3是连续型随机过程,例1,例4和例5是离散型随机过程.15随机过程还可依时间(参数)是连续或离散进行分类.当时间集T是有限或无限区间时,称{X(t),tT}为连续参数随机过程(以下如无特别指明,随机过程总是指连续参数而言的).如果T是离散集合,例如T={0,1,2,...},则称{X(t),tT}为离散参数随机过程或随机序列,此时常记成{Xn,n=0,1,2,...}等,如例5.16有时为了数字化的需要,实际中也常将连续参数随机过程转化为随机序列处理.例如,我们只在时间集T={Dt,2Dt,...,nDt,...}上观察电阻热噪声电压V(t),这时就得到一个随机序列{V1,V2,...,Vn,...},其中Vn=V(nDt),显然,当Dt充分小时,这个随机序列能够近似地描述连续时间情况下的热噪声电压.17参数t通常解释为时间,但它也可以表示其它的量,诸如序号,距离等.例如,在例5中,我们假定每隔一个单位时间抛掷骰子一次,那么第n次抛掷的骰子出现的点数Xn就相当于t=n时骰子出现的点数.18§2随机过程的统计描述19(一)随机过程的分布函数族给定随机过程{X(t),tT}.对于每一个固定的tT,随机变量X(t)的分布函数一般与t有关,记为FX(x,t)=P{X(t)x},xR,称它为随机过程{X(t),tT}的一维分布函数,而{FX(x,t),tT}称为一维分布函数族.一维分布函数族刻画了随机过程在各个个别时刻的统计特性.20为了描述随机过程在不同时刻状态之间的统计联系,一般可对任意n(n=2,3,...)个不同时刻t1,t2,...,tnT,引入n维随机变量(X(t1),X(t2),...,X(tn)),它的分布函数记为FX(x1,x2,...,xn;t1,t2,...,tn)=P{X(t1)x1,X(t2)x2,...,X(tn)xn},xiR,i=1,2,...,n.对于固定的n,称{FX(x1,x2,...,xn;t1,t2,...,tn),tiT}为随机过程{X(t),tT}的n维分布函数族.21当n充分大时,n维分布函数族能够近似地描述随机过程的统计特性.显然,n取得越大,则n维分布函数族描述随机过程的特性也越趋完善.一般,可以指出(科尔莫戈罗夫定律):有限维分布函数族,即{FX(x1,x2,...,xn,n=1,2,...,t1,t2,...,tn),tiT}完全地确定了随机过程的统计特性.22(二)随机过程的数字特征随机过程的分布函数族能完善地刻画随机过程的统计特性.但是人们在实际中,根据观察往往只能得到随机过程的部分资料(样本),用它来确定有限维分布函数族是困难的,甚至是不可能的,因而象引入随机变量的数字特征那样,有必要引入随机过程的基本的数字特征-均值函数和相关函数等.将会看到,这些数字特征在一定条件下是便于测量的.23给定随机过程{X(t),tT},固定tT,X(t)是一随机变量,它的一切均值一般与t有关,记为mX(t)=E[X(t)],(2.1)称mX(t)随机过程{X(t),tT}的均值函数.注意,mX(t)是随机过程的所有样本函数在时刻t的函数值的平均值,通常称这种平均为集平均或统计平均.均值函数mX(t)表示了随机过程X(t)在各个时刻的摆动中心.24把随机变量X(t)的二阶原点矩和二阶中心矩分别记作)3.2(},)]()({[)](Var[)()()2.2()]([)(2222ttXEtXtDttXEtXXXXm-和并分别称它们为随机过程{X(t),tT}的均方值函数和方差函数.方差函数的算术平方根X(t)称为随机过程的标准差函数,它表示随机过程X(t)在时刻t对于均值mX(t)的平均偏离程度.25tX(t)mX(t)mX(t)-X(t)mX(t)X(t)x1(t)x2(t)xi(t)26又设任意t1,t2T,把随机变量X(t1)和X(t2)的二阶矩原点混合矩记作RXX(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)],(2.4)并称它为随机过程{X(t),tT}的自相关函数,简称相关函数.RXX也简记为RX(t1,t2).X(t1)和X(t2)的二阶混合中心矩记作CXX(t1,t2)=Cov[X(t1),X(t2)]=E{[X(t1)-mX(t1)][X(t2)-mX(t2)]},(2.5)并称它为随机过程{X(t),tT}的自协方差函数,简称协方差函数.CXX(t1,t2)也常简记为CX(t1,t2).27由(2.2)和(2.4)式知)6.2().,()(2ttRtXX)8.2().(),(),()(22tttRttCtXXXXm-由(2.5)式展开,得CX(t1,t2)=RX(t1,t2)-mX(t1)mX(t2).(2.7)特别,当t1=t2=t时,由(2.7)式得由上面可知诸数字特征中最主要的是均值函数和自相关函数.28随机过程{X(t),tT},如果对每一个tT,二阶矩E[X2(t)]都存在,则称它为二阶矩过程.二阶矩过程的相关函数总存在.事实上,由于E[X2(t1)],E[X2(t2)]存在,根据柯西-许瓦兹不等式有{E[X(t1)X(t2)]}E[X2(t1)X2(t2)],t1,t2T.即知RX(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)]存在29在实际中,常遇到一种特殊的二阶矩过程-正态过程.随机过程{X(t),tT}称为正态过程,如果它的每一个有限维分布都是正态分布,亦即对任意整数n1及任意t1,t2,...,tnT,(X(t1),X(t2),...,X(tn))服从n维正态分布.由第四章的结论知,正态过程的全部统计特性完全由它的均值函数和自协方差函数(或自相关函数)所确定.30例1设随机变量A~N(0,1),B~U(0,2),A,B相互独立,求随机过程X(t)=At+B,tT=(-,)的均值函数mX(t)和自相关函数RX(t1,t2).解由题意E(A)=0,E(A2)=1,E(B)=1,E(B2)=4/3,mX(t)=E[X(t)]=E[At+B]=tE[A]+E[B]=1,RX(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)]=E[(At1+B)(At2+B)]=t1t2E[A2]+(t1+t2)E[AB]+E[B2]=t1t2+4/3,t1,t2T.31例2求随机相位正弦波(§1例2)的均值函数,方差函数和自相关函数.解由假设Q的概率密度为.,0,20,21)(其它qqf,0d21)cos()]cos([)]([)(20qqwQwmtataEtXEtX于是,由定义32而自相关函数,cos2d21)cos()cos()]cos()cos([)]()([),(2202122122121wqqwqwQwQwattattaEtXtXEttRX.2),()(),()(222attRtttRtXXXX-m式中=t2-t1.特别,令t1=t2=t,即得方差函数为33例3设X(t)=Acoswt+Bsinw