第五章随机信号的功率谱估计介绍

第五章随机信号的功率谱估计功率谱估计的经典和现代方法AR模型法的功率谱估计AR模型法的主要性质Yule-Walker方程的Levinson–Durbin求解算法格型滤波器AR模型参数提取算法噪声对AR谱估计的影响ARMA和MA模型法简介白噪声中正弦波频率的估计1随机信号不能直接进行傅立叶变换，但平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度之间存在傅立叶变换关系；随机信号的功率谱与确定信号的频谱作用类似，是随机信号的频域特征分析；随机信号的功率谱估计在通信系统分析、噪声监测、信号检测、模式识别、机械故障诊断等领域应用广泛；依据有限的N个样本观测数据对平稳随机过程的功率谱密度进行估计。随机信号的谱估计分为：1.经典谱估计2.现代谱估计关于信号的频域分析2经典谱估计基本思想：以傅立叶变换为基础，附以平均、加窗、平滑等预处理或后处理；主要方法：周期图法（B－T法）、间接周期图法；优点：简单易行、计算效率高；缺点：存在分辨率低、旁瓣效应、估计精度不高，短数据时更为突出；适用范围：长数据序列；相互关系：二者均等效为进行矩形加窗处理，均可通过加窗函数改善性能；二者均适合采用FFT算法；二者存在频率分辨率低的致命缺点，且窗函数改善无效。32|()|()limTTFSTFTIFT(),()()()220,TTTTTfttftftF其他确定信号的功率谱密度：()ft平稳离散随机信号x(n)的功率谱密度：1()[()()]()2()()jmxxjmxxmRmExnmxnSedSRme21()(0)=[()]()2xxxnRExnSd的功率：x(n)的自相关函数与功率谱密度存在傅立叶变换关系()xS表示功率在频域分布的谱密度！4如果随机信号x(n)是各态遍历的，集平均自相关函数可以由一个取样时间序列的时间平均自相关函数替代：1()()()21limNxNnNRmxnmxnN1^01()()(),1NmxnRmxmnxnmNN(有偏、渐进无偏)1^01()()(),1NmxnRmxmnxnmNNm(无偏估计)实际中信号自相关函数需要有限样值估计：(0),(1),,(1)xxxN称为取样自相关函数。^()xRm5•自相关法(B-T法）—直接周期图法1958年，Blackman和Tukey提出。先估计信号的自相关函数，再求出信号的功率谱密度估计：^^{(0),(1),,(1)}()()xNxxxxxNRmS•间接周期图(Periodogram)法:取样自相关函数实际上是下x(n)与x(-n)的卷和,即^1()()()xRmxnxnN*211ˆ()()()|()|xSXXXNN间接周期图法有两种理解：(1)对信号进行加窗处理得xN(n)，再进行离散傅立叶变换得X(ω)，再求模的平方得功率谱密度；(2)对信号xN(n)进行周期延托，再计算功率谱密度。6()()(){(0),(1),,(1)}NxnxnxnxxxN2101ˆ()()NjnxnSxneN直接相关法和间接周期图法得到的谱估计相同。1(1)ˆˆ[()][()]NjmxxmNESERme2()()jmNxmgmRme1(1)()NjmxmNRme21,||-1()0,NmNgm其中其它21ˆ[()]()()()2xNESGSS(有偏，渐进无偏)对x(n)加窗处理：()X21|()|XNFFT()Nxn7主要缺点：相关图法主观认为未观测数据都等于0，造成频谱能量的泄漏；假设数据是以N为周期的周期性延拓，把不真实的信息加于时间序列之上，频率分辨率低。常用改进方法：①改进数据加窗方法，降低谱的旁瓣泄露：将矩形窗改为其他窗函数，如：汉宁(Hanning)窗、汉明(Harmming)窗、布拉克曼(Blackman)窗、三角窗(Bartlett)、凯塞窗(Kaiser)等。②对B-T法的相关函数加窗：ˆˆ()()()jmxxmSwmRme窗函数8将长度为N的序列分K段，每段长为M，分别对每段进行谱估计，再进行总平均，得平均周期图(如下图)。如各段数据相互独立，则所得估计的方差为原来不分段时的。缺点是点数减少，分辨率进一步恶化。③修正周期图法(分段平均)(Welch，1967)()11ˆ()()KkxxkSSK01N2kM1kMkKM(1)ˆ()xS(2)ˆ()xS()ˆ()KxS为改善点数减少恶化频率分辨率的缺陷，常对数据进行交叠分段，并进行功率谱平均，如下图：01N3kM1kMkKM2k21K9现代谱估计数学基础：以随机过程或信号的的参数模型为基础，又称为参数模型法或参数法。主要发展：从非工程领域(如实验数据和观测数据的处理、统计学)的时间序列分析到工程领域的现代谱估计；现代谱估计始于上世纪60年代，主要经历了以下阶段：①线性预测滤波②最大熵谱估计(Burg,1967)③自回归(AR)谱估计方法(1968，Parzen)④Pisarenko谐波分解⑤多重信号分类算法(MUSIC,1981，Schimit)⑥HOS方法10功率谱估计的参数法（现代谱估计）参数法谱估计有理谱模型线谱模型（谐波）AR模型ARMA模型MA模型AR模型(全极点模型)MA模型(全零点模型)ARMA模型00()()()qkkkpkkkbzBzHzAzaz011()()pkkkHzAzazqkkkzbzBzH0)()(11任何平稳随机信号x(n)都可以看成由白噪声序列激励一个因果和稳定的线性时不变系统H(z)产生的输出。{()}un()Hz()un()xn平稳随机信号模型•任何有限方差的广义平稳过程可以分为完全随机的部分和确定的部分，完全随机部分对应的功率谱为连续；•确定的随机过程完全可以通过过去无限个取样值加以预测；•任何ARMA过程或AR过程可以用无限阶的MA过程来表示；任何ARMA过程或MA过程可以用无限阶的AR过程来表示。谱分解定理及其推论是参数法谱估计的理论基础12功率谱估计的经典和现代方法AR模型法的功率谱估计AR模型法的主要性质Yule-Walker方程的Levinson–Durbin求解算法格型滤波器AR模型参数提取算法噪声对AR谱估计的影响ARMA和MA模型法简介白噪声中正弦波频率的估计第五章随机信号的功率谱估计13AR模型参数估计法的功率谱估计：21()(-())~(0,))(pkkunxnaxnkNun式中，222--2111()()()()1|1|uppkjkkkkkHzSHzSazae基本原理：根据随机采样样本x(0),x(1)…x(N－1)估计随机时间序列的功率谱密度：求解方法(分三步)：①模型阶数p不确定时数学上很难处理，因此先假定p，求模型参数。②阶数p已知时，对模型两边同求某种统计特征以将随机变量转化为确定性的量。14③对各种阶数下的模型进行比较，应用某种准则估计选择最好的模型(得阶数p、ak及)。2AR(p)模型的Yule-Walker方程组：2121(0)(1)(2)()(1)(0)(1)(-1)0(2)(1)(0)(-2)0()(-1)(-2)(0)0pRRRRpaRRRRpaRRRRpaRpRpRpR15功率谱估计步骤：N个样值x(0),x(1)…x(N-1)模型参数和误差功率212ˆˆˆˆ(,,,,)paaa估计自相关函数ˆˆˆ{(0),(1),,()}RRRp功率谱密度2-21ˆˆˆ()/|1|kpjkkSae16AR模型阶数的选择：阶数对估计性能的影响阶数选得太低，功率谱被平滑太厉害，无法分辨真实峰(P130图4.3)；阶数选得太高，谱分辨率提高，但产生虚假峰(P130图4.4)。也可用以下matlab源程序验证：N=512;Nfft=1024;Fs=2*pi;n=0:N-1;xn=cos(0.3*pi*n)+cos(0.32*pi*n)+randn(size(n));order=10;figure(1)pburg(xn,order,Nfft,Fs)title('BurgAlgorithm,p=10')order=100;figure(2)pburg(xn,order,Nfft,Fs)title('BurgAlgorithm,p=100')选择方法：1.实验方法：观察拟合误差法。2.分析方法：①最终预测误差（FPE）准则。②Akaike信息准则（AIC）。③判别自回归传输函数（CAT）准则。17221ˆˆ()(,)1kkNkFPRkfkNk定义：最终预测误差N为观测数据长度。使上式最小化的阶数k即为最优阶数最优阶数。FPE准则得到模型阶数一般偏低。(1)最终预测误差(FinalPredictionError,FPE)准则(2)Akaike信息准则(AkaikeInformationCriteria,AIC）2ˆ()ln2kAICkNk使上式最小化的阶数k即为最优阶数。AIC准则得到模型阶数一般偏高。(3)判别自回归传输函数准则(CriteriaAutoregressiveTransferFunction,CAT)18估计性能：精确分析很困难，只能给出大样本理论的近似关系。估值的均值（N，p）：估值的方差（N，p）：ˆ[()]()ESS224(),0,ˆ[()]2(),pSNVarSpSothersN22221111ˆCAT()(ˆˆkjjjjkNkNNj其中）最小化上式得最优阶数。19第五章随机信号的功率谱估计功率谱估计的经典和现代方法AR模型法的功率谱估计AR模型法的主要性质Yule-Walker方程的Levinson–Durbin求解算法格型滤波器AR模型参数提取算法噪声对AR谱估计的影响ARMA和MA模型法简介白噪声中正弦波频率的估计20性质1：隐含着自相关函数的外推估计功率谱与自相关函数的关系：令：利用谱分解定理，并考虑功率谱与自相关函数的关系：--0101ˆ()ˆ()ˆˆˆˆ()1,1ppkkkkkkHzAzAzazaza为因果系统21-ˆˆˆ()()ˆˆ()()mxxmSzRmzAzAz211-ˆˆˆ[][()()]ˆ(1/)mxmAzRmzAz()(0)lim()1,0(-)()zHzhHzmhmm因为滤波器是因果的，且故当时,212*2ˆˆˆ[]()(),0ˆ(1/)hmmformAz左边：211-0ˆˆˆˆˆˆ[()()]*()()pmmkmkAzRmzaRmaRmk右边：20ˆˆˆ()(),0pkkmaRmkform故有：201ˆˆˆˆˆ()()(),0(1)pkkRmmaRmkforma设2111ˆˆˆ-(-),0ˆˆ-(-),1,2,,ˆˆ-(-),ˆ()ˆ()kkkpkpkpkaRmkaRmkmaRmkmpRmRpmm自相关函数偶对称22结论：①AR谱估计是将有限个自相关函数值按照Yule-Walker方程进行外推后进行傅立叶变换得到的结果。②由于AR谱估计将自相关函数进行了外推，克服了经典谱估计方法加窗导致分辨率低和旁瓣“泄漏”的问题，因此，AR谱估计有高的分辨率。ˆker()()ˆ1()YuleWalRmRmmNRm此式