第五章控制系统稳定性

2010年控制工程基础(第五章）5控制系统稳定性分析5.1系统稳定性的基本概念5.2系统稳定的充要条件5.3代数稳定性判据（Routh判据、Hurwitz判据）5.4乃奎斯特稳定性判据（Nyquist判据）5.5应用乃奎斯特判据分析延时系统的稳定性5.6由伯德图判断系统的稳定性5.7控制系统的相对稳定性5.1系统稳定性的基本概念1.单摆2.闭环控制系统的稳定性问题定义系统受扰动后能否恢复原来的状态5.2系统稳定的充要条件N(s)到Xo(s)的传递函数：120111120111mmommnnnnXsGsbsbsbsbNsGsGsHsasasasa+-1Gs++2GsHsIXsNsOXs10111011mmmmOnnnnbsbsbsbXsasasasa设n(t)为单位脉冲函数，1Ns222222jjiijijjjjjjdescsssss1s2212ss222ssste221sin11tet22211sin1arctan1tet2sin1ijjtoiitjjjjjxtfeget如果系统稳定，应有0otxt0,0ijj即10sss,的根:222222221,20224412ssssj的根:0,0ijj为系统闭环特征方程式的根的实部,控制系统稳定的充分必要条件是：闭环特征方程式的根全部具有负实部系统特征根即闭环极点，故也可以说充要条件为极点全部在[s]平面的左半面30xpxq2323331223223qqpqqpx五次以及更高次的代数方程没有一般的代数解法（即由方程的系数经有限次四则运算和开方运算求根的方法）——阿贝耳定理为系统的特征根12,,,nsss基于方程式的根与系数的关系5.3代数稳定性判据111000001200nnnnnaaaasssaaaassssss10110nnnnasasasa设系统特征方程为复数根与系数的关系：112021213103123124210123210;;;1nnnnnnnnnnnasssaassssssaasssssssssaassssssa（2）特征方程的各项系数的符号都相同。（1）特征方程的各项系数(i=0，1，2，…，n)。0ia要使全部特征根均具有负实部，必须满足：ia一般取正值，则上述两条件简化为0ia——必要条件！02461135721234312342121101nnnnsaaaasaaaasbbbbsccccsuusvsw充要条件：如果“劳斯阵列”中第一列所有项均为正，则系统稳定。劳斯阵列：120311140521160731aaaabaaaaabaaaaaba其中131211151321171431121211baabcbbaabcbbaabcbcbbcdc实部为正的特征根数＝劳斯阵列中第一列的系数符号改变的次数。例:设控制系统的特征方程式为试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。0516178234ssss431751618ss劳斯阵列第一列中系数符号全为正，所以控制系统稳定。解：首先由方程系数可知满足稳定的必要条件。0516178234ssss2515s05s1403s其次，排劳斯阵列例2设控制系统的特征方程式为试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。43210133241332sssss03432234ssss解：由方程系数可知已满足稳定的必要条件。排劳斯阵列第一列系数改变符号2次，闭环系统的根中有2个实部为正，控制系统不稳定。二阶系统特征式为，劳斯表为2012asasa2210120aasssaa故二阶系统稳定的充要条件是0120,0,0aaa对于特征方程阶次低（n≤3）的系统，劳斯判据可简化：三阶系统特征式为，劳斯表:320123asasasa32201120313031aaaaaaasasassa01231203,,,0,aaaaaaaa故三阶系统稳定的充要条件是例设某反馈控制系统如下图所示，试计算使系统稳定的K值范围。12oiXsKXssssK解：系统闭环传递函数为+-12KsssiXsoXs3212320sssKsssK0231KK特征方程为根据三阶系统稳定的充要条件，可知使系统稳定须满足故使系统稳定的K值范围为06K10221ss例:设控制系统的闭环特征方程式为用劳斯判据判断稳定性。4322210ssss劳斯阵列表4311122ss符号改变2次，2个正实根。20()1s32220sss3210112220ssss无正实根，有虚根。6543182016212160168000ssss例:设控制系统的闭环特征方程式为用劳斯判据判断稳定性。6543228122016160ssssss劳斯阵列表临界稳定21038841243sss4268Asss3412dAsssds101100,0nnnnasasasaa13502413502412000nnnaaaaaaaaaaaaaaan×n行列式：赫尔维茨稳定性判据系统稳定的充要条件：各阶主子行列式均0即：110a132020aaaa13530241300aaaaaaaa……例:设控制系统的特征方程式为试应用赫尔维茨稳定判据判断系统的稳定性。0516178234ssss00008816160117575011解：由方程系数可知满足稳定的必要条件。各系数排成行列式180816001175000816001175由于故该系统稳定。2816011738160117500816代数稳定性判据使用的多项式是系统闭环特征多项式。劳斯判据的不足：•定性——较难从量上判断系统的稳定程度•必须知道系统的闭环传递函数Nyquist稳定判据根据开环频率特性判断闭环稳定性•对含有延迟环节的系统无效Fssa[s]ReImO[F]ReImOFssaaC1.a为复数C为顺时针方向sFsC’5.4乃奎斯特稳定性判据如果C包围a，则C’顺时针包围原点1圈；如果C不包围a，则C’不包围原点。[s]ReImOaC[F]ImOFssaC’1Fssa[s]ReImOaC[F]ReImO1Fssa2.ReImOReImOC’[s]ReImOaCReImO1FssaReImO[F]ReImO1Fssa如果C包围a，则C’逆时针包围原点1圈；如果C不包围a，则C’不包围原点。12zFssasasa[s]ReImOC[F]ReImOC’?C包围z个零点，C’绕原点顺时针绕原点1圈，角度增量2顺时针z圈121pFssasasa[s]ReImOC[F]ReImOC’?C包围1个极点，C’逆时针绕原点1圈C包围p个极点，C’绕原点逆时针p圈1212mnsasasaFssasasaF(s)有m个零点，n个极点，在[s]平面上的C顺时针包围了其中z个零点和p个极点，——映射定理z–p圈。则在[F]平面上的C’顺时针包围原点反馈控制系统开环传递函数1212,BsBsGsHsAsAs1212BsBsGsHsAsAs+-GsHs闭环传递函数11121211212211BsGsAsBsAsBsBsGsHsAsAsAsAsBsBs闭环稳定闭环传递函数右极点个数为0111222AsABsAsBsBss1212AsAsBsBs右零点个数为012121212121AsAsBsBsBsBsAsAsAsAs逆时针包围原点的圈数=开环右极点个数1GsHs顺时针绕[s]右半平面的曲线，经过1FsGsHs的映射，[F]jjRReImO[s]ReImOD1FsGsHs'FsGsHsF(s)包围原点的圈数=F’(s)包围-1点的圈数[F’]-1Nyquist稳定判据在[s]平面作包围右半平面的D形曲线，如果开环传递函数的Nyquist图逆时针包围(－1,j0)点的圈数等于开环右极点的个数，则系统稳定。——充要条件,20126KGsHsKsss-1-0.500.511.52-1.5-1-0.500.511.5NyquistDiagramRealAxisImaginaryAxis,200126KGsHsKsss-505101520-15-10-5051015NyquistDiagramRealAxisImaginaryAxis-2-1.5-1-0.50-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81NyquistDiagramRealAxisImaginaryAxis8123GsHssssNyquistDiagramRealAxisImaginaryAxis-1.4-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.20-0.2-0.100.10.20.3例:下图所示反馈控制系统，K为何值时稳定?+-1KTs-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81NyquistDiagramRealAxisImaginaryAxisKO只要K0，稳定+-1KTs例:下图所示反馈控制系统，K为何值时稳定?-1.5-1-0.50-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81NyquistDiagramRealAxisImaginaryAxis-KOK1，不稳定；K1，稳定。例:某反馈控制系统开环传递函数为0.110.051KGssss判断当K=10和40时的稳定性[s]ReImODjjR如果开环传递函数在虚轴上有极点或零点，Oje00[s]ReImODjj100.110.051Gssss-1.5-1-0.50-20-15-10-505101520NyquistDiagramRealAxisImaginaryAxis00-1-0.8-0.6-0.4-0.20-1-0.500.51NyquistDiagramRealAxisImaginaryAxisjse10jjjGeee9009090090jGe-1.5-1-0.50-20-15-10-505101520NyquistDiagramRealAxisImaginaryAxis00开环没有右极点，乃氏图不包围(-1,j0)，稳定ReImO-10+0-[s]ReImODjjjse10jjjGeee901