2013高考总复习数学(理)专题03第8节 正弦、余弦定理的应用举例

创新课堂第三单元第三单元三角函数、解三角形创新课堂第三单元第八节正弦、余弦定理的应用举例创新课堂第三单元1.解三角形：一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的求其的过程叫做解三角形．2.解三角形的类型：(1)已知三边求三角，用定理；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角，用定理；(3)已知两角和任一边，求其他两边和一角，用定理；(4)已知两边和一边的对角，求第三边和其他两角，用定理或定理．3.实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线叫仰角，目标视线在水平视线叫俯角(如图1)．几个元素他元素余弦余弦正弦正弦余弦上方下方知识汇合创新课堂第三单元(2)方位角指从方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图2)，范围[0,2π]．(3)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．正北创新课堂第三单元考点一正弦、余弦定理在解三角形中的应用【例1】如图，在△ABC中，BC＝5，AC＝4，cos∠CAD＝3132且AD＝BD，求△ABC的面积．解设CD＝x，则AD＝BD＝5－x，在△CAD中，由余弦定理可知：cos∠CAD＝5－x2＋42－x22×4×5－x＝3132，解得x＝1.在△CAD中，由正弦定理可知：ADsinC＝CDsin∠CAD，∴sinC＝ADCD·1－cos2∠CAD典例分析创新课堂第三单元＝41－31322＝387，∴S△ABC＝12AC·BC·sinC＝12×4×5×387＝1547.∴三角形ABC的面积为1547.创新课堂第三单元考点二正弦、余弦定理在测量距离问题中的应用【例2】(2009·辽宁)如图所示，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B、D的距离(计算结果精确到0.01km，2≈1.414，6≈2.449)．创新课堂第三单元解在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1.又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA.在△ABC中，ABsin∠BCA＝ACsin∠ABC，即AB＝ACsin60°sin15°＝32＋620，因此，BD＝32＋620≈0.33km.故B、D的距离约为0.33km.创新课堂第三单元点拨要计算距离就必须把这个距离归结到一个三角形中，通过正弦定理或余弦定理进行计算，但无论是正弦定理还是余弦定理都得至少知道三角形的一个边长，即在解决问题时，必须把我们已经知道长度的那个边长和需要计算的那个边长纳入到同一个三角形中，或是通过间接的途径纳入到同一个三角形中，这是我们分析这类问题的一个基本出发点．创新课堂第三单元考点三正弦、余弦定理在测量高度与角度问题中的应用【例3】某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30°，求塔高．解如图，在△BCD中，CD＝40，∠BCD＝30°，∠DBC＝135°，由正弦定理得CDsin∠DBC＝BDsin∠BCD，∴BD＝40sin30°sin135°＝202.过B作BE⊥CD于E，显然当人在E处时，测得塔的仰角最大，有∠BEA＝30°.在Rt△BED中，∠BDE＝180°－135°－30°＝15°，∴BE＝DBsin15°＝202×6－24＝10(3－1)．在Rt△ABE中，∠AEB＝30°，AB＝BEtan30°＝103(3－3)，故所求的塔高为103(3－3)米．创新课堂第三单元点拨在测量高度与角度问题中，要正确理解仰角、俯角的概念，画出准确的示意图，将已知条件逐步转化到同一三角形中，恰当地选择正、余弦定理求解.创新课堂第三单元1.从近两年课改地区的高考试题来看，本部分既考查选择、填空题，又考查解答题，分值4～12分，属于中低档题．2.今后的高考命题中，关于距离、高度、角度的测量问题仍是热点．高考体验创新课堂第三单元【2012高考真题辽宁理17】(本小题满分12分)在ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c。角A，B，C成等差数列。(Ⅰ)求cosB的值；(Ⅱ)边a，b，c成等比数列，求sinsinAC的值。【答案】创新课堂第三单元创新课堂第三单元1.在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°，C点的俯角为70°，则∠BAC＝()A.10°B.50°C.120°D.130解析：如图，由已知∠BAD＝60°，∠CAD＝70°，∴∠BAC＝60°＋70°＝130°.答案：D练习巩固创新课堂第三单元2.有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为()A.1B.2sin10°C.2cos10°D.cos20解析：如图，∠ABC＝20°，AB＝1，∠ADC＝10°，∴∠ABD＝160°.在△ABD中，由正弦定理ADsin160°＝ABsin10°，∴AD＝AB·sin160°sin10°＝sin20°sin10°＝2cos10°.答案：C创新课堂第三单元3.(2010·上海)某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是113、111、15，则此人将()A.不能作出满足要求的三角形B.作出一个锐角三角形C.作出一个直角三角形D.作出一个钝角三角形解析：设三角形三边长为a，b，c.根据三角形面积相等得S＝12a·113＝12c·15＝12b·111，∴a＝26S，c＝10S，b＝22S.由大角对大边得26S对应的角最大，∴cosA＝10S2＋22S2－26S22·10S·22S＝－231100.又A∈(0，π)，∴∠A为钝角，∴D正确．答案：D创新课堂第三单元4.某人向正东方向走xkm后，向右转150°，然后朝新的方向走3km，结果他离出发点恰好是3km，那么x的值为________．解析：如图所示，设此人从A出发，则AB＝x，BC＝3，AC＝3，∠ABC＝30°，由正弦定理得：BCsin∠CAB＝ACsin30°，得∠CAB＝60°或120°，当∠CAB＝60°时，∠ACB＝90°，AB＝23；当∠CAB＝120°时，∠ACB＝30°，AB＝3.答案：3或23创新课堂第三单元5.如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于()A.3B.53C.63D.73解析：连接BD，在△BCD中，BC＝CD＝2，∠BCD＝120°，∴∠CBD＝30°，BD＝23，S△BCD＝12×2×2×sin120°＝3.在△ABD中，∠ABD＝120°－30°＝90°，AB＝4，BD＝23，∴S△ABD＝12AB·BD＝12×4×23＝43，∴四边形ABCD的面积是53.答案：B创新课堂第三单元6.一货轮在海上由西向东航行，在A处望见灯塔C在货轮的东北方向，半小时后在B处望见灯塔C在货轮的北偏东30°nmile/h，当货轮航行到D处望见灯塔C在货轮的东北方向时，求A、D两处的距离．解析：如图所示，在△ABC中，∠CAB＝45°，∠ABC＝90°＋30°＝120°，∴∠ACB＝180°－45°－120°＝15°，AB＝30×0.5＝15(nmile)．则由正弦定理，得ACsin∠ABC＝ABsin∠ACB，即ACsin120°＝15sin15°.又∵sin15°＝6－24，sin120°＝32，∴AC＝15sin120°sin15°＝32＋62×15(nmile)．在△ACD中，∵∠A＝∠D＝45°，∴△ACD是等腰直角三角形，∴AD＝2AC＝15(3＋3)(nmile)，∴A、D两处的距离为15(3＋3)nmile.创新课堂第三单元7.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D.现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.解析：在△BCD中，∠CBD＝π－α－β.由正弦定理，得BCsin∠BDC＝CDsin∠CBD.∴BC＝CD·sin∠BDCsin∠CBD＝s·sinβsinα＋β.在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝s·tanθsinβsinα＋β，即塔高AB为s·tanθsinβsinα＋β.创新课堂第三单元8.【2012高考江苏15】（14分）在ABC中，已知3ABACBABC．（1）求证：tan3tanBA；（2）若5cos5C，求A的值．【答案】解：（1）∵3ABACBABC，∴cos=3cosABACABABCB，即cos=3cosACABCB。由正弦定理，得=sinsinACBCBA，∴sincos=3sincosBAAB。创新课堂第三单元又∵0AB，∴cos0cos0AB，。∴sinsin=3coscosBABA即tan3tanBA。（2）∵5cos05CC，，∴2525sin1=55C。∴tan2C。∴tan2AB，即tan2AB。∴tantan21tantanABAB。由（1），得24tan213tanAA，解得1tan=1tan=3AA，。∵cos0A，∴tan=1A。∴=4A。创新课堂第三单元9.【2012高考真题四川理4】如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使1AE，连接EC、ED则sinCED（）A、31010B、1010C、510D、515【答案】B【解析】2EBEAAB，22415ECEBBC，3424EDCEDAADC，由正弦定理得sin15sin55CEDDCEDCCE，所以55310sinsinsin55410CEDEDCgg.创新课堂第三单元10.【2012高考真题上海理16】在ABC中，若CBA222sinsinsin，则ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【答案】C【解析】根据正弦定理可知由CBA222sinsinsin,可知222cba，在三角形中02cos222abcbaC，所以C为钝角，三角形为钝角三角形，选C.创新课堂第三单元11.【2012高考真题天津理6】在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是cba,,，已知8b=5c，C=2B，则cosC=（A）257（B）257（C）257（D）2524【答案】A【解析】因为BC2,所以BBBCcossin2)2sin(sin,根据正弦定理有BbCcsinsin，所以58sinsinBCbc，所以545821sin2sincosBCB。又1cos2)2cos(cos2BBC，所以2571251621cos2cos2BC，选A.