4 控制系统的稳定性分析

1第四章控制系统的稳定性分析2主要内容1.动态系统的外部稳定性2.动态系统的内部稳定性3.李雅普诺夫判稳第一方法4.李雅普诺夫判稳第二方法5.李雅普诺夫方法在线性系统中的应用3控制系统的稳定性，通常有两种定义方式：1、外部稳定性：是指系统在零初始条件下通过其外部状态，即由系统的输入和输出两者关系所定义的外部稳定性。有界输入有界输出稳定(BIBO)。2、内部稳定性：指系统在零输入条件下通过其内部状态变化所定义的内部稳定性。状态稳定。外部稳定性只适用于线性系统，内部稳定性不但适用于线性系统，而且也适用于非线性系统。对于同一个线性系统，只有在满足一定的条件下两种定义才具有等价性。不管哪一种稳定性，稳定性是系统本身的一种特性，只和系统本身的结构和参数有关，与输入－输出无关。稳定性是控制系统能否正常工作的前提条件。44.1动态系统的外部稳定性有界输入，有界输出稳定性定义：对于零初始条件的因果系统，如果存在一个固定的有限常数及一个标量，使得对于任意的，当系统的输入满足时，所产生的输出满足则称该因果系统是外部稳定的，也就是有界输入-有界输出稳定的，简记为BIBO稳定。k0tt，tutkuytytak5对于零初始条件的定常系统，设初始时刻，单位脉冲响应矩阵为，传递函数矩阵为，则系统为BIBO稳定的充分必要条件为，存在一个有限常k，使的每一个元满足0ijgtdtk00ttGsG1,2,,,1,2,,ijgtiqjptG或者为真有理分式函数矩阵，且其每一个元传递函数的所有极点处在左半复平面。ijgssG64.2动态系统的内部稳定性1.系统的平衡状态2.状态向量范数3.李雅普诺夫意义下稳定性定义（4种）稳定渐近稳定大范围渐近稳定不稳定7一、系统的平衡状态平衡状态：对所有时间t，如果满足，称xe为系统的平衡状态或平衡点。稳定性针对平衡状态而言。0)(eexfx3、对任意，总可经过一定的坐标变换，把它化到坐标原点（即零状态）。一般将平衡状态取为状态空间原点。说明：1、对于线性定常系统：A为非奇异阵时，x=0是其唯一的平衡状态。A为奇异阵时，系统有无穷多个平衡状态。0)(Axxfxee2、对于非线性系统，有一个或多个平衡状态。0ex4、孤立平衡状态：如果多个平衡状态彼此是孤立的，则称这样的状态为孤立平衡状态。单个平衡状态也是孤立平衡状态。8二、状态向量范数符号称为向量的范数，为状态向量端点至平衡状态向量端点的范数，其几何意义为“状态偏差向量”的空间距离的尺度，其定义式为：212n222211)()()(eneeexxxxxxxxexx9李氏稳定几何表示法：三、李雅普诺夫意义下稳定性意义1、稳定与一致稳定：（系统的自由响应是有界的）设为动力学系统的一个孤立平衡状态。如果对球域或任意正实数，都可以找到另一个正实数或球域，当初始状态满足时，对由此出发的X的运动轨迹有，则称平衡状态在李雅普诺夫意义下是稳定的。如果与初始时刻无关，则称平衡状态是一致稳定的。0)(S),(0t)(S0x),(00txxeetxxlim0texex10如果与初始时刻无关，则称平衡状态xe为一致渐近稳定。设xe为系统的孤立平衡状态，如果它是李氏稳定的，且当t趋向于无穷大时，有：0limetxx即收敛于平衡状态xe，则称平衡状态xe为渐近稳定的。0t渐近稳定几何表示法：2、渐近稳定和一致渐近稳定113、大范围渐近稳定如果对状态空间的任意点，不管初始偏差有多大，都有渐近稳定特性，即：对所有点都成立，称平衡状态xe为大范围渐近稳定的。其渐近稳定的最大范围是整个状态空间。0limetxx结论：如果线性定常系统是渐近稳定的，则它一定是大范围渐近稳定的。必要性：整个状态空间中，只有一个平衡状态。（假设有2个平衡状态，则每个都有自己的稳定范围，其稳定范围不可能是整个状态空间。）124、不稳定如果对于某一实数，不论取得多么小，由内出发的轨迹，只要有一个轨迹超出，则称平衡状态xe是不稳定的。0)(S)(S不稳定几何表示法：说明：虽然不稳定的轨迹超出了，但并不一定趋向于无穷远处，有可能趋向于外的某个极限环。)(S)(S134.3李雅普诺夫判稳第一方法李氏第一法判稳思路：（间接法）1、线性定常系统－特征值判断2、非线性系统－首先线性化，然后用线性化系统的特征值判断14内部稳定性判据：线性定常连续系统渐近稳定的充分必要条件为：A阵的所有特征值全为负实数或具有负实部的共轭复根。等同于特征方程的根全部位于s平面的左半部。线性定常连续系统的传递函数是，当且仅当其极点都在s的左半平面时，系统才是输入输出稳定的。否则系统是不稳定的（在此，虚轴上的临界稳定，对应等幅周期振荡，控制工程上认为是不稳定的）。外部稳定性判据：BAsICsG1)()(稳定区不稳定区临界稳定mIeRS平面图解表示：二、线性定常系统15[例4-6]设系统方程为：试确定其外部稳定性、内部稳定性。xyuxx10,121160[解]（1）系统的传递函数为：)3(1)3)(2()2(1211610)()(11ssssssBAsICsG极点位于s左半平面，s=2的极点被对消掉了。系统是有界输入有界输出稳定的。（2）求系统的特征方程：0)3)(2(116)det(AI3221，求得：系统不是渐近稳定的。164.4李雅普诺夫判稳第二方法1）如果系统的某个平衡状态是渐近稳定的，即。那么随着系统的运动，其贮存的能量将随时间增长而衰减，直至趋于平衡状态而能量趋于极小值。2）实际系统很难找到一个统一的能量函数。3）虚构一个广义能量函数，称为李雅普诺夫函数（李氏函数），根据它和它的一阶导数的正负来判断系统稳定性。4）第二法判稳的过程，只要找到一个正定的标量函数，而是负定的，这个系统就是稳定的。而就是李氏函数。etxxlim)(xV)(xV)(xV李氏第二法思路：直接法，用能量观点分析稳定性17李雅普诺夫函数说明：1）李氏函数是一个标量函数，且为正定，其一阶导数为(半)负定。2）对于给定系统，如果存在李氏函数，它不是唯一的。用第二法判稳时，找到一个李氏函数就可以。3）李氏函数最简单形式是二次型，P是正定实对称方阵。PxxxVT)(18一、标量函数V(x)的符号性质标量函数V(x)：1）正定性：当且仅当x=0时，才有；对任意非零X，恒有，则为正定。0)(xV0)(xV)(xV2）负定性：当仅当X=0时，才有；对任意非零x,恒有，则为负定。0)(xV0)(xV)(xV193）半正定和半负定如果对任意，恒有,则V(X)为半正定。如果对任意，恒有,则V(X)为半负定。5）不定性如果无论取多么小的零点的某个邻域，V(X)可为正值也可为负值，则V(x)为不定。0x0)(xV0)(xV4）(半)正定和(半)负定间的关系V(x)为正定，则－V(x)为负定；V(x)为半正定，则－V(x)为半负定；0x20二、二次型标量函数的符号性质如果，则称P为实对称矩阵。kiikppPxxxxxpppppppppxxxxVTnnnnnnnn21212222111211,,21],[)(1、二次型函数V(x)：21nnnnnnpppppppppP2122221112110,,0,0222112112111Ppppppn1）二次型为正定，或实对称矩阵P为正定的充要条件是P的所有主子行列式均为正，即：PxxxVT)(则P为正定，即V(x)正定。如果2）二次型为负定，或实对称阵P为负定的充要条件是P的主子行列式满足；（i为偶数）i=1，2，3，…,n。为奇数）ii(00iPxxxVT)(2、二次型函数V(x)正(负)定性判定：赛尔维斯特判据22判据1：设系统的状态方程为为其平衡状态，如果有连续一阶偏导数的标量函数存在，并且满足以下条件：1）是正定的。2）是负定的。则在原点处的平衡状态是渐近稳定的。如果随着，有，则原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。)(xfx0ex)(xV)(xV)(xVx)(xV说明：判据1是充分条件，判稳过程是寻找李氏函数V(x)，如果没找到，不能判断系统不稳定，只是可能还没有找到而已。三、稳定性判据23判据2：设系统的状态方程为为其唯一的平衡状态，如果有连续一阶偏导数的标量函数存在，并且满足以下条件：1）是正定的。2）是半负定的。3）对任意初始时刻时的任意状态，在时，除了在时有外，不恒等于零。则系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。)(xfx0ex)(xV)(xV0)(xV)(xV0t00x0tt0x)(xV说明：恒等于零意味着运动轨迹是某个特定的曲面。不恒等于零意味着仅在某个特定时刻，在某个点上和某个特定的曲面相切。CxV)(24判据3：设系统状态方程为：为其平衡状态。如果存在一个标量函数，它具有连续的一阶偏函数，且满足下列条件：在原点的某一邻域内是正定的，在同样的邻域内是正定的，则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。)(xfx0ex)(xV)(xV)(xV25令，得是系统唯一的平衡状态。2）选取李氏函数选，则正定的2221)(xxxV0)(2221xxxV负定的0)(2)(2)(222)(22221222121222211212211xxxxxxxxxxxxxxxxxV[解]：1）平衡状态0,021xx0,021xx3）当，即X212221xx，得2221)(xxxV则在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。由判据1可知，系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。[例]设系统方程如下，试确定其平衡状态的稳定性。)()(22212122221121xxxxxxxxxx26[例]设系统方程为：试确定其平衡状态的稳定性。21221xxxxx[解]：1）平衡状态令，得是系统唯一的平衡状态。0,021xx0,021xx同时有不可能恒为零。2）选李氏函数正定0)(2221xxxV222211222)(xxxxxxV0)(0,021xVxx时，0)(0,021xVxx时，半负定)(xV由判据2可知，系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。222)(xxV274.5李雅普诺夫方法在线性系统中的应用28讨论：选择二次型函数为李氏函数。目的：将李氏第二法定理来分析线性定常系统的稳定性PxxxVT)(QxxxPAPAxPAxxPxAxxPxPxxPxxxVTTTTTTTT)()()()(负定正定由上一节讨论的判据1知道系统渐近稳定，故有以下判据：且标量函数就是系统的一个李氏函数。判据4：线性连续定常系统：在平衡状态处渐近稳定的充要条件是：给定一个正定对称矩阵Q，存在一个正定实对称矩阵P，使满足：AxxQPAPAT0exPxxxVT)(Axx一、线性定常连续系统的稳定性分析291）因为正定对称矩阵Q的形式可任意给定，且最终判断结果和Q的不同形式选择无关，所以通常取。IQ2）该定理阐述的条件，是充分且必要的。说明：3）如果除了在时有外，不恒等于零,则由上一节判据2可知，Q可取做半正定。为计算简单，此时Q可取作如下矩阵：QxxxVT)(100000000Q0x0)(xV)(xV30[例4-12]用李氏第二法，求使下列系统稳定的K值。2xuy1x1sk3x21ss1