中值定理与导数应用

1第三章微分中值定理与导数的应用2罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理统称微分学中值定理，它们在理论上和应用上都有着重大意义，尤其是拉格朗日中值定理，它刻划了函数在整个区间上的变化与导数概念的局部性之间的联系，是研究函数性质的理论依据。学习时，可借助于几何图形来帮助理解定理的条件，结论以及证明的思路；并由此初步掌握应用微分学中值定理进行论证的思想方法。3第一节中值定理一、费马引理第一节微分中值定理,)()(0xfxf.0)(0xf那么一、费马引理：设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义,并且在点x0可导。如果对任意的),(0xUx有),)()((0xfxf或定义导数为零的点称为函数的驻点（或稳定点、临界点）。4不妨设证明：证毕5）罗尔定理（二、Th-R满足若)(xf上连续在ba,1内可导在ba,2bfaf30,fba一点则至少二、罗尔定理6R-Th的几何意义：ABxy07证：∵f(x)在闭区间[a,b]上连续，∴f(x)在[a,b]上必有最大值M及最小值m,有两种情况:(1)M=m;(2)Mm.(1)若M=m，则m=f(x)=M,f(x)为常数，即有那么(a,b)内任一点都可取作ξ，∴M=m时，定理必成立。8(2)若Mm，∴M,m中至少有一个不等于f(a)或f(b),不妨设M≠f(a),(设m≠f(a)同样可证）又设有f(ξ)=M,因此，对任意∵f(a)=f(b),有从而由费马引理可知证毕。9),()(11:baxf在）换成若把（，注则结上连续或,],(),,[baba1010)(,xxxxf如论不一定成立]1,1[,2xxxf)2(,0不满足处不可导在x]1,0[)(,3xxxf321，但不满足满足的三个条件是充分的ThR,4但非必要的如：3121010)(3xxxxxxg轴的切线。处有平行于在但xxxg2)(10例xxfcos)(例：验证，、上满足在证：显然21]2,0[cosx02,0xf使正确对xxfThRcos)(的正确性上，在ThR]20[)3(,1)2()0(满足且ffxxxf0sin令11,001110xxaxaxannn有正根若方程例：0112110nnnaxanxna则的正根必有小于0x则由题设设证：,)(1110xaxaxaxfnnn上在则显然有],0[)()0(0)(00xxffxf使一点至少的条件，满足0,0xThR01)(12110nnnaannaf12例的导数，不用求出例：4321)(xxxxxf有几个实数根，说明方程0xf且的条件上满足，，，在易见解,]4,3[],32[]21[)(:ThRxf0)(,0)4()3()2()1(xfThRffff所以由.)4,3(),3,2(),2,1(,3内分别位于个根有出他们所在的区间并指13，恒不为内可导，且上连续，在在设例：0),(],[)(xfbabaxf内有且仅有一个实根在试证又),(,0)(.0)()(baxfbfaf由零点定理，且上连续在证：,0)()(,],[)(bfafbaxf:,0,00再证唯一性一点至少xfbax，有若还有用反证法0,,1101xfbaxxxbaxxThRxfxxxx,],[)(],[,101001满足上则在不妨设的零点唯一矛盾）（一点至少)(0)(,10xffxx14若f(x)在[0,1]上有二阶导数，且f(1)=0,设F(x)=x2f(x)，试证在（0,1）内至少存在一点ξ，使例证：∵F(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导(由题意),则由罗尔定理，又由罗尔定理，15三、拉格朗日定理)(ThL拉格朗日中值定理三、上连续，）在满足（若],[1)(baxf内可导，）在（),(2baba,一点则至少abfafbf有abafbff或L-Th的几何意义：16axabafbfafyAB:的方程为证：yxfx令axabafbfafxf0ba则0),(baThR由abafbfxfxabafbff17仍成立上式对注：ab,1:称为拉格朗日中值公式,2有限增量公式中值公式应用或在Lxxxxxx],[],[10xxxfxfxxf:或记为)(精确值bafbfafxxxfy18:,3的比较与dyy);(的精确值yxxxfy)()(的近似值yxxfdy而需要函数增量的取得有限增量在有些问题中当自变量,xx因此此定理示出它的价值拉格朗日中值定理就显精确表达式时,,.,或微分中值定理也称为有限增量定理190)(),()(1xfbaxf上恒有在若推论0)(),()(xfbaxf上恒为常数，则在若中值公式，由证：Lbaxxxx,,212100)(121212xxxxfxfxfCxfbaxx,,21这里其逆命题成立为常数上在则),()(baxf20)()()()(2xgxfIxgxf上有在区间和若推论上相差一个常数在与则Ixgxf)()(0)()()()(xFxgxfxF证：令CxgxfCxF)()()(1即由推论.21,),(,],[)(),(],[仍成立，推论内可导在上连续在时只要是闭区间注：当babaxgxfbaI21的正确性上在例：验证ThLxy]1,0[2条件上满足在易见证：ThLxy]1,0[201201:22xx所以有1,0211222例：设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，证明存在一点23由罗尔定理，存在证明：由条件知F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且24此类问题的关键是构造合理的辅助函数，可采用反向演绎的思维方式，多掌握一些函数的导数形式，如25例：设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，证明存在一点26试证例：若,20时，题设成立显然当证：条件显然满足设当ThLxxxf],[tan使，2cos)(tantanf]2,0[，这里单调在]2,0[cos12x22costantancos22costantancos试证27例证：28例证明：分析：出现函数arctanx在[a,b]上的增量,可用L－定理证明。由L—定理：令证：2930例证明恒等式证：则=0所以由前面的定理可知：在-1x1内，f(x)恒等于C因为所以31所以有所以32作业作业P167页：3-1(A)2,4,5,6,7,10P168页：3-1(B)3,6,7,933四、柯西定理柯西中值定理四、34由参数方程决定设曲线ABbtatfytFx)()(:处切线的斜率为上点则曲线cAB)()(tFtfdxdy的弦AB:斜率为aFbFafbf:,可表示为的切线平行于弦处则曲线在点对应于设ABctc)()(FfaFbFafbf35)(ThC柯西中值定理满足，若)()(xFxf;],[1上连续在ba;,2内可导在ba,0)(,,3xFbax对)()(:,FfaFbFafbfba，有一点至少36有的条件且由条件满足证：因为)3()(ThLxF),(0)()(baFabaFbF引进辅助函数aFxFaFbFafbfafxfx曲线的纵坐标的纵坐标对应同一横标的弦AB0ba且0,，使一点至少由baThR0FaFbFafbff37,)(:ThLxxFThC即为中令在注.的一个特例是或ThCThL,的推广是可见ThLThC381,23xxFxxf例：对函数内可导，，上连续，，在、证：显然21]2[1xFxf232337251812122FfFFff的正确性上验证，在ThC]2[102xxF且2,191439例设在[a,b]上可导，又ab0.试证分析：40所以如令对它们在[a,b]上应用柯西中值定理即可。请同学们自己完成证明过程。41第二节洛必达法则第二节洛必达法则0),(都时，或若xFxfxax或这时称之为未定式00:也可能不可能则xFxfxax)(lim现用C-Th来导出求这类极限的简便方法即:洛必达法则420lim,0lim1xFxfaxax若定理0,,2xFxFxfa都存在且在或xFxfaxlim3xFxfxFxfaxaxlimlim则.型也有上述结论时的或对注：对xaxx43处在证：由条件axxFxf,)1(axaxxfxfaU0,*内引进函数在在以、则对xFxfaUx**,,可去间断无定义连续，即只可能,.20)(.1afaxaxxFxF0*axxaxa,,,为端点区间、44开区间内可导闭区间内连续21条件满足即ThCxFxfxFxF***,0))((3之间与在xaFfFfaFxFafxf)()(******aaxax时注意到由等式两边取极限且令,xFxfFfaFxFafxfxFxfaxaaxaxlimlimlimlim****;.1端也为无穷大上式右端为无穷大时左注：的条件时则可继续用且仍满足仍为若ThxFxfax00lim.2xFxfxFxfxFxfaxaxaxlimlimlim45例3423lim:431xxxxx例注:1,可见用洛必达法则求极限当分子分母都是次数较高的多项式时可避免繁硕的因式分解;2,用洛必达法则求极限时每做一步都要查看一下是否还为不定型,若不是就不能用洛必达法则,否则会出错4433lim321xxx21126lim21xxx4630sinlim:xxxx例xxx1sinarctan2lim:例11lim22xxx203cos1limxxx616sinlim0xxx)1(1cos11lim22xxxx2211cos1limxxxx47例,;)0(;ln:xueuxx讨论例uxxxlnlim:解xuxexlim?,哪个增长最快时当x1