中值定理与导数的应用

第四章中值定理与导数的应用第一节中值定理一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理导数是研究函数性质的重要工具，仅从导数的概念出发并不能充分体现这种工具的作用，这需要建立在微分学的基本定理的基础之上，这些基本定理统称为“中值定理”,它们是导数应用的理论基础.中值定理是沟通函数及其导数之间的桥梁，是应用导数的局部性研究函数在区间上整体性的重要工具.学习要求：1.深刻理解中值定理，特别是拉格朗日中值定理的分析意义和几何意义；2.会证明中值定理，学会构造辅助函数证明问题的方法；3.初步具有应用中值定理论证问题的能力..0)(,)(),().()()3(),()()2(;],[)()1(:)()(fbababfafbaxfbaxfxfRolle使得内至少有一点则在内可导；在开区间上连续在闭区间满足以下条件如果函数定理罗尔几何解释12abxyo)(xfy.,水平的在该点处的切线是点上至少有一在曲线弧CABC一、罗尔(Rolle)定理证明.)1(mM若,],[)(连续在baxf.mM和最小值必有最大值,)(Mxf则.0)(xf由此得),,(ba.0)(f都有.)2(mM若),()(bfaf),(afM不妨设.)(),(Mfba使内至少存在一点则在),()(fxf,0)()(fxf.)(为常函数即xf因此，最大值和最小值不可能同时在区间端点取得，,0x若;0)()(xfxf则有,0x若;0)()(xfxf则有;0)()(lim)(0xfxffx;0)()(lim)(0xfxffx,)(存在f.)()(ff.0)(f只有注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.二、拉格朗日(Lagrange)中值定理).()(,bfaf条件少了与罗尔定理相比).()()(fabafbf结论亦可写成注意.))(()()()(),(),(],[)(成立使等式内至少有一点内可导，那么在上连续，在开区间在闭区间如果函数中值定理abfafbfbabababaxfLagrangeab12xxoy)(xfyABCDNM几何解释：.,ABCAB线平行于弦在该点处的切一点上至少有在曲线弧分析:).()(bfaf件相差条件与罗尔定理的的条弦AB方程为).()()()(axabafbfafy,)(处的纵坐标在点减去弦xABxf.,两点的函数值相等此函数在ba的函数，得到一个关于x作辅助函数)].()()()([)()(axabafbfafxfx,)(定理的条件满足Rollex.0)(,),(使得内至少存在一点在ba,0)()()(abafbff即).)(()()(abfafbf或注意:Lagrange中值定理精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.证法一容易验证因此证法二))(()()(abfafbf由于等价于0])()[(})]()({[xxxfabxafbf即等价于.0})]()[()]()({[xxfabxafbf因此构造辅助函数)].()[()]()([)(xfabxafbfx),(],[)(内可导，上连续，在在显然，babax).()()()(abfbafba满足Rolle定理的条件,由Rolle定理可证得结论.并且,),()(内可导在在设baxf).10()()()(000xxxfxfxxf则有),,(,00baxxx).10()(0xxxfy也可写成.的精确表达式增量y拉格朗日中值定理又称有限增量定理.拉格朗日中值公式又称有限增量公式.微分中值定理.)(,)(上是一个常数在区间那末上的导数恒为零在区间如果函数推论IxfIxf.)()(),(,)(,)(),()(0],[)(ffbaabfbafbababaxf使得一点内至少存在证明在可导，且内上连续，在在设分析，原式等价于0)()(ff即等价于.0])([xxxf因此构造辅助函数),()(xxfx],[)(bax在并对上使用Rolle定理.例1证明).()(xxfx令由题意知，],[)(bax在),(内可导，上连续，在ba又因为),()()()(bbbfabaafa由Rolle定理,,0)(,),(ba存在.)()(ff即,)(,)(abfbaf所以,],[)(定理的条件上满足在于是Rollebax).11(2arccosarcsinxxx证明证明],1,1[,arccosarcsin)(xxxxf设)(xf.0].1,1[,)(xCxf0arccos0arcsin)0(f又20,2.2C即.2arccosarcsinxx211x)11(2x例2.)1ln(1,0xxxxx时证明当证明),1ln()(xxf设,],0[)(中值定理的条件上满足在Lagrangexxf),0(),0)(()0()(xxffxf,11)(,0)0(xxff由上式得,1)1ln(xxx0又x111,11111x,11xxxx.)1ln(1xxxx即例3三、柯西(Cauchy)中值定理柯西（Cauchy）中值定理如果函数)(xf及)(xF在闭区间],[ba上连续,在开区间),(ba内可导,且)(xF在),(ba内每一点处均不为零，那末在),(ba内至少有一点)(ba,使等式)()()()()()(FfbFaFbfaf成立.柯西定理是拉格朗日中值定理在参数方程况下的特殊形式.几何解释:)(1FXoY)()(xfYxFX)(aFA)(bFBC)(2FD)(xFNM.)),(),((ABfFCAB弦该点处的切线平行于在一点上至少有在曲线弧证明作辅助函数)].()([)()()()()()()(aFxFaFbFafbfafxfx,)(满足罗尔定理的条件x.0)(,),(使得内至少存在一点则在ba,0)()()()()()(FaFbFafbff即.)()()()()()(FfaFbFafbf.0)(,),(使得内至少存在一点则在ba,)(xxF当,1)(,)()(xFabaFbF)()()()()()(FfaFbFafbf).()()(fabafbf所以拉格朗日中指定理是柯西中值定理的特殊情况.)].0()1([2)(),1,0(:,)1,0(,]1,0[)(fffxf使至少存在一点证明内可导在上连续在设函数证明结论可变形为01)0()1(ff.)()(2xxf,)(2xxg设,]1,0[)(),(条件上满足柯西中值定理的在则xgxf有内至少存在一点在,)1,0(，2)(01)0()1(fff)].0()1([2)(fff即2)(f也可以这样证明：)],0()1([)()(2ffxxfx令.]1,0[)(论上使用罗尔定理证得结在对x例4四、小结Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理xxF)()()(bfaf罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.拉格朗日［Lagrange,JosephLouis］（1736---1813）法国数学家、力学家及天文学家。拉格朗日于1736年1月25日在意大利西北部的都灵出生。少年时读了哈雷介绍牛顿有关微积分之短文，因而对分析学产生兴趣。他亦常与欧拉有书信往来，于探讨数学难题「等周问题」之过程中，当时只有18岁的他就以纯分析的方法发展了欧拉所开创的变分法，奠定变分法之理论基础。后入都灵大学。1755年，19岁的他就已当上都灵皇家炮兵学校的数学教授。不久便成为柏林科学院通讯院院士。两年后，他参与创立都灵科学协会之工作，并于协会出版的科技会刊上发表大量有关变分法、概率论、微分方程、弦振动及最小作用原理等论文。这些着作使他成为当时欧洲公认的第一流数学家。到了1764年，他凭万有引力解释月球天平动问题获得法国巴黎科学院奖金。1766年，又因成功地以微分方程理论和近似解法研究科学院所提出的一个复杂的六体问题［木星的四个卫星的运动问题］而再度获奖。同年，德国普鲁士王腓特烈邀请他到柏林科学院工作时说：「欧洲最大的王」之宫廷内应有「欧洲最大的数学家」，于是他应邀到柏林科学院工作，并在那里居住达20年。其间他写了继牛顿后又一重要经典力学著作《分析力学》［1788］。书内以变分原理及分析的方法，把完整和谐的力学体系建立起来，使力学分析化。他于序言中更宣称：力学已成分析的一个分支。1786年普鲁士王腓特烈逝世后，他应法王路易十六之邀，于1787年定居巴黎。其间出任法国米制委员会主任，并先后于巴黎高等师范学院及巴黎综合工科学校任数学教授。最后于1813年4月10日在当地逝世。拉格朗日不但于方程论方面贡献重大，且还推动了代数学之发展。他在生前提交给柏林科学院的两篇著名论文：《关于解数值方程》［1767］及《关于方程的代数解法的研究》［1771］中，考察了二、三及四次方程的一种普遍性解法，即把方程化作低一次之方程［辅助方程或预解式］以求解。但这并不适用于五次方程。在他有关方程求解条件的研究中早已蕴含了群论思想的萌芽，这使他成为伽罗瓦建立群论之先导。柯西AugustinLouisCauchy(1789-1857)法国数学家。（1789、8、21—1857、5、23）他出身于高级官员家庭，从小受过良好的教育。1816年取得教授职位，同年，被任命为法国科学院院士。此外，他还占有巴黎大学理学院和法兰西学院的教授席位。1830年，波旁王朝被推翻，柯西拒绝宣誓效忠新的国王，因此失去所有的职位。后被前国王召到布拉格，协助宫廷教育，1838年回到巴黎，继任巴黎综合工科学校教授，并恢复了在科学院的活动。1848年任巴黎大学教授。柯西主要的贡献在微积分、复变函数和微分方程三个领域。罗尔Rolle,Michel(1652-1791)罗尔在微积分初创阶段作出了贡献。1690年他在《任意次方程的一个解法》一文中，给出了著名的罗尔定理（但没有证明），这个定理在微积分理论中占有重要的地位。他还提出了寻求代数方程实根上界的法则，但是这个法则却被称为麦克劳林法则。此外，他对笛卡儿的分析与莱布尼兹的无穷小研究进行了评论。尽管他的批评不见得有理有据，但却促使莱布尼兹对分析的理论基础的关注。另外罗尔对含有两个变量的不定方程的整数解问题，也进行了研究。