线性方程组2-5

§2.5线性方程组的一般理论一、线性方程组有解的判定定理考察线性方程组11112211211222221122,,.nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb（1）111212122212,nnmmmnaaaaaaAaaa11121121222212.nnmmmnmaaabaaabAaaab其系数矩阵和增广矩阵分别记为和.即AA定理线性方程组(1)有解的充分必要条件是:其系数矩阵与增广矩阵的秩相等.即()().rArA11121121222212nnmmmnmaaabaaabAaaab111211,1112222,122,1100000000000000000000rrnrrnrrrrrnrraaaaadaaaadaaadd推论()().rArA1.线性方程组(1)无解的充要条件()().rArArn2.线性方程组(1)有无穷多解的充要条件为()().rArArn3.线性方程组(1)有唯一解的充要条件为11121121222212nnmmmnmaaabaaabAaaab111211,1112222,122,1100000000000000000000rrnrrnrrrrrnrraaaaadaaaadaaadd证明:必要性.如果线性方程组(1)有解,则向量可由向量组线性表示。12,,,n于是有1212{,,,}{,,,,}nn所以1212{,,,}{,,,,},nnrr()().rArA即若记1112112122221212,,,,,nnnmmmnmaaabaaabaaab则线性方程组(1)的向量形式为1122.nnxxx充分性.1212{,,,}{,,,,}.nnrr即12,,,rjjj若为的一个极大无关组，12,,,n1212{,,,}{,,,}.rnjjj则()()rArAr，设()()rArA又因，12,,,rjjj所以也为的一个极大无关组，因此，12,,,,n1212{,,,,}{,,,}rnjjj由等价关系的传递性知，1212{,,,,}{,,,}nn因此，向量可由向量组线性表示，12,,,n即线性方程组(1)有解。考察线性方程组1111221211222211220,0,0.nnnnmmmnnaxaxaxaxaxaxaxaxax（2）总有()(),rArA所以方程组(2)总有解。111212122212000nnmmmnaaaaaaAaaa111211,112222,12,1000000000000000000000000rrnrrnrrrrrnaaaaaaaaaaaa推论().rArn1.线性方程组(2)有非零解的充要条件为().rArn2.线性方程组(2)有唯一零解的充要条件为111212122212000nnmmmnaaaaaaAaaa111211,112222,12,1000000000000000000000000rrnrrnrrrrrnaaaaaaaaaaaa证明：线性方程组1212325343ii1454515a0xxaxxaxxaxxaxxa有解123451100001100001100001110001aaaAaa证明：123451100001100001100001110001aaaAaa1234512341100001100001100001100000aaaaaaaaa()()rArA方程组有解当且仅当5ii1a0.例试证:如果线性方程组11112211211222221,111,221,1,,.nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb有解,则行列式11121121222211,11,21,10.nnnnnnnnaaabaaabDaaab(*)证明:设方程组(*)的系数矩阵和增广矩阵分别为和根据已知条件,方程组有解,故A,A()().rArA又因为()min{,1},rAnnn所以()1.rAnn而矩阵是阶矩阵,A(1)(1)nn是方阵的行列式,所以A1nD10.nD11112211211222221,111,221,1,,.nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb(*)二、齐次线性方程组解的结构考察线性方程组1111221211222211220,0,0.nnnnmmmnnaxaxaxaxaxaxaxaxax（2）（2）的向量形式为1122.nnxxxo（2）的解的性质：性质1：设为齐次方程组(2)的解向量，则也为方程组(2)的解向量。12,12112212,nncdcdcd证明：设则有1122,nnccco且1122,nndddo于是111222()()(),nnncdcdcdo即112212nncdcdcd也是(2)的解。1122.nnxxxo为齐次方程组（2）的两个解向量。（2）性质2：设为齐次方程组(2)的解向量，则也为方程组(2)的解向量，其中c为任意常数。c12,nddd证明：设则有1122,nndddo于是即12ncdcdccd也是(2)的解。1122,nncdcdcdo1122.nnxxxo（2）问题：若方程组(2)有无穷多个解向量，能否找到有限个线性无关的解向量，使得其余的解向量都可以由这有限个解向量来线性表示？(即能否找到解向量集合的一个极大无关组。)性质3：设为齐次方程组(2)的解向量，则也为方程组(2)的解向量。其中为任意常数。12,,,m1122mmccc12,,,mccc1122.nnxxxo（2）定义：(基础解系)设为齐次线性方程组(2)的t个解向量，若满足：12,,,t12(1),,,t线性无关；则称为方程组(2)的一个基础解系。(2)方程组(2)中任意一个解向量都可由线性表示；12,,,t12,,,t注1：基础解系本质就是齐次方程组(2)的解向量集合的极大无关组。注2：基础解系不唯一，但不同基础解系所含解向量个数相同。注3：齐次方程组有唯一零解即r(A)=n时不存在基础解系。1122.nnxxxo（2）定理（基础解系存在定理）()rArn对于齐次线性方程组(2)，当时，线性方程组(2)的基础解系存在，且基础解系所含的解向量的个数为n-r。证明:因为(),rArn所以对齐次方程组的增广矩1,11,2,12,,1,100001000010000000000000rnrnrrrnaaaaAaa阵施行初等行变换化为行简化矩阵得:A行简化矩阵对应的齐次线性方程组为11,11122,112,11,,.rrnnrrnnrrrrrnnxaxaxxaxaxxaxax分别取1210;0rrnxxx(*)带入（*）得到齐次方程组的个解:nr12,,,rrnxxx为自由未知量.（共个维线性无关向量）nrnr01;;000.11,11,212,12,22,1,212,,,.100010001rrnrrnrrrrrnnraaaaaaaaa11,11122,112,11,,.rrnnrrnnrrrrrnnxaxaxxaxaxxaxax12100010;;;.001rrnxxxn-r个分量下面证明就是齐次方程组的一个基础解系.12,,,nr显然，这个解向量是线性无关的。nr12nkkk线性表示即可。设(*),一定有是齐次方程组的任意一个解,则也是方程组(*)的解.因此,把代入1122,,,nnxkxkxk只需再证齐次方程组的任意一个解都可以由12,,,nr11,111,22122,112,222,11,221122,,,,,.rrrrnnrrrrnnrrrrrrrrnnrrrrnnkakakakkakakakkakakakkkkkkk用列向量形式表示上述结果,有11,11,2122,12,22,1,21212100010001rrnrrnrrrrrrnrrnrrnkaaakaaakaaakkkkkk,即1122.rrnnrkkk线性表示.12,,,nr这说明齐次方程组的任意一个解都可以由1.定理的证明过程给了大家求齐次方程组的基础解系的方法：首先，将齐次方程组的增广矩阵经过行的初等变换化为行简化矩阵；其次，将行简化矩阵所对应的方程组表示出来，直观判断方程组的自由未知变元；最后，对自由未知变元分别取值基本单位向量组，从而得到方程组的基础解系。2.基础解系求出后，可以用基础解系表示方程组的一般解或全部解，表示方法为：设是齐次方程组的基础解系，则一般解为其中，12,,,nr1122,nrnrccc12,,,nrccc为任意常数.例求齐次线性方程组123412341234123450,230,380,3970.xxxxxxxxxxxxxxxx的一个基础解系.并用基础解系表示方程组的一般解.解:11510112303181013970A115100274002740041480115100274002740041480