线性方程组解的结构

-1-第四章线性方程组解的结构§4.4线性方程组在几何中的应用§4.2齐次线性方程组解的结构§4.1线性方程组解的存在性定理§4.3非齐次线性方程组解的结构-2-其通解的结构如何?如何写出其向量形式的通解?齐次线性方程组0Ax解的结构本章以向量为工具讨论线性方程组解的结构主要内容:非齐次线性方程组Ax解的结构0Ax如果当齐次线性方程组有无穷多解时,问题:1.Ax2.如果当非齐次线性方程组有无穷多解时,其通解的结构如何?如何写出其向量形式的通解?-3-§4.1线性方程组解的存在性定理对于非齐次方程组)0(bbxAnm)~()()~()()1(ArArArAr无解有解nArAr)~()()2(有惟一解nArAr)~()()3(有无限多解非齐次方程组解的判别定理齐次方程组解的判别定理对于齐次方程组0xAnmnAr)(只有零解))((nAr有非零解即有无限多解-4-第四章线性方程组解的结构§4.4线性方程组在几何中的应用§4.2齐次线性方程组解的结构§4.1线性方程组解的存在性定理§4.3非齐次线性方程组解的结构-5-记Ax=0的解集为:}0|{)(xARxANnmn(1)1.解向量:,0A满足若0AX是方程组则称的一个解向量.2.解向量的性质:0,0,2121AA满足如果0)(2121AAA则(2),0A满足若0)(,kAkARk有则对于不妨设t,,,21是N(A)的最大无关组(称为基础解系)则:由(1),(2)可知ttkkkx2211(取任意实数)ik的通解。是方程组0AX§4.2齐次线性方程组解的结构-6-0252062420832032543215421543215421xxxxxxxxxxxxxxxxxx通过下面的例子,来解决以上问题例1问题:对于给定的方程组如何求其基础解系?BAr0000000000541003102125121620428312131021解:54354215432xxxxxxx-7-35243231232115432kxkxkkxkxkkkx54354215432xxxxxxx332211105-030140100012kkkx321,,是解吗?321,,线性无关吗?任一解都可由表示吗?321,,基础解系所含向量的个数=?321,,是基础解系吗?352412,,kxkxkx令自由变量为任意实数说明:1.基础解系不惟一2.但所含向量的个数唯一且等于n-R(A)-8-齐次方程组解的结构定理齐次方程组的基础解系所含向量个数为0XAnm)(2211Rkkkkxirnrn))((ARrrnrn,,,21设一个基础解系为:则通解为:例２．设ｎ阶矩阵Ａ的秩为ｎ－１，Ａ的每行元素之和为零，写出ＡＸ＝０的通解．解：0XAnn的基础解系所含向量个数为1)(ARnT)1,,1,1(而又00的解向量且是方程组AX则通解为：RkkkT,)1,,1,1(-9-例2设,是的1)(nArnm21,0Ax两个不同的解向量,k取任意实数,则Ax=0的通解是)((D))((C)(B)(A)212121kkkk例3设,证明OBAlnnmnBrAr)()(重要结论证],,,[21lB记则由),,1(0liAOABi说明),,1(lii都是0Ax的解)())((],,,[21ArnANrrl因此nBrAr)()(移项-10-例4.已知)(mnAmn矩阵的列向量组是齐次线性方程组0MX的基础解系,B是m阶可逆矩阵,试证:AB的列向量组也是齐次线性方程组0MX的基础解系.证明:00MABMA则AB的列向量组是齐次线性方程组0MX的解向量个向量的基础解系含又mMX0个向量且有的列向量组含而mABmARABR)()(由条件可知A的列向量组线性无关且含m个向量所以AB的列向量组线性无关,即是方程组0MX的基础解系.-11-第四章线性方程组解的结构§4.4线性方程组在几何中的应用§4.2齐次线性方程组解的结构§4.1线性方程组解的存在性定理§4.3非齐次线性方程组解的结构-12-)1(......XAnm)2(......0XAnm(1)设都是(1)的解,则21,21x是(2)的解.(2)设是(1)的解,是(2)的解,则仍是(1)的解.x设是(1)的一个解(固定),则对(1)的任一解xx是(2)的解,从而存在使得ikrnrnkkkx2211rnrnkkkx2211由此得:1.解向量:如果向量nmA满足的一个解向量为方程组则称XAnm2.性质:）的基础解系，为（其中2,,,21rn§4.3非齐次线性方程组解的结构-13-非齐次方程组解的结构定理的一特解解,是设)(2211RkkkkxirnrnXAnm非齐次方程组则当非齐次线性方程组有无穷多解时其通解为:例5.3)(,46ARaAij设AX是非齐次方程组，，已知321的三个解向量T5,4,3,21T4,3,2,132的通解。求方程组AX解:043)(AXAR的基础解系含一个向量03,25,2,232321TRkkXTT,6,5,4,35,4,3,2通解为：-14-.2132,13,0432143214321xxxxxxxxxxxx2132111311101111~A,000002121002110112122143421xxxxx例6故方程组有无穷多解可见,42)~()(ArAr解44432242121221xxxxxxxxx00120100112121214321kkxxxx).,(21Rkk-15-例7)(21)A(212211kk121211)()B(kk)(21)()C(2121211kk)()D(2112211kk21,设是非齐次Ax=b的两个不同的解21,其对应的齐次方程组的基础解系,则Ax=b的通解是(多选)-16-例8.已知方程组033321321321321xaxxaxxxxxx问:a为何值时,方程组有唯一解?无解?无穷多解?有无穷多解时求出通解.解:,03132111时，方程组有唯一解当aa30aa且即时，当0a000012100301030130321111r所以有无穷多解,RkkXTT,0,1,01,2,3其通解：-17-时，当3a300011101111033133321111r因为系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩,所以方程组无解.例9.bAX组是四元非齐次线性方程设321,,的三个解向量,TTAr3,2,1,0,4,3,2,1,3)(321且的通解：则线性方程组bAXRc,TTcA1,1,1,14,3,2,1)(TTcB3,2,1,04,3,2,1)(TTcC5,4,3,24,3,2,1)(TTcD6,5,4,34,3,2,1)(C-18-例10设线性方程组0302022321321321xxxxxxxxx的系数矩阵为A,存在,0033ABbBij且求解:,00ABB且则B的列向量组为AX=0的解向量,0有非零解AX10A即例11的导出是非齐次矩阵，是设bAXAXnmA0齐次线性方程组,则下列结论正确的是有唯一解仅有零解，则）（bAXAXA0有无穷多解有非零解，则）（bAXAXB0仅有零解则有无穷多解）（0,AXbAXC有非零解则有无穷多解）（0,AXbAXDD-19-例１2已知方程组033321321321321xaxxaxxxxxx问ａ为何值时，方程组有唯一解，无解，无穷多个解？在方程组有无穷多个解时求出通解．（考试题）解：时，当03132111aa方程组有唯一解即30aa且当ａ＝０时．．．．．．．当ａ＝３时．．．．．．．-20-思考题:1.求:204131210131431104122.设A为3阶方阵,且162,4AAA求3.如果非齐次方程组的增广矩阵经过初等行变换化为,3410011010求该方程组的通解?-21-是非齐次线性设矩阵，是设321,,,3)(54.4ArA方程组量。的三个线性无关的解向)0(,AX322211，设的基础解系；是，）证明（0121AX的通解。是）证明（AXkk)(3123212211Rkk21,-22-作业13,11),1(9,3P154