线性空间与线性映射

第十一章线性空间与线性映射第十一章线性空间与线性映射线性代数有两个“线性”，一是线性空间，二是线性映射。线性代数研究线性空间之间的线性映射的性质。本章包括四节。前两节是关于线性空间的，重点是线性空间、线性空间的基与维数三个概念；后两节是关于线性映射的。其中第三节给出线性映射的概念及其矩阵表示，这使得在第十章中“冒然闯入”的那个“矩形阵列”有了实在的目的。最后一节给出描述线性映射性质的两个重要概念：线性映射的零空间和值域空间。第十一章线性空间与线性映射通常，人们认为这章内容比较抽象，其实还是很直观的，因为在二维和三维的情况下，本章的内容都能具体“画出来”。建议读者在学习这章的时候，用二维和三维空间中的具体例子，想象概念的几何形象。11.1线性空间11.2线性空间的基与维数11.3线性映射的矩阵表示11.4线性映射的零空间与值域第十一章线性空间与线性映射§11.111.1线性空间11.1.1线性空间的概念在我们的观念中，我们生活于其中的空间，是由点组成的。在空间中取定一点O，见图11.1-1，则空间中的点与位置向量r，建立一一对应关系，这样我们的生活空间可以看作是向量空间(本章中用加粗的字母表示向量)。空间中的向量,可以相加,也可以乘一数。见图11.1-2、图11.1-3。图11.1-1rO图11.1-3aka图11.1-2bbaaO第十一章线性空间与线性映射§11.1因而在向量空间中，形如的式子是有意义的，这个式子称为向量a与b的线性组合。人们把加法与数乘叫线性运算。于是人们也把向量空间叫线性空间。ka+lb线性运算具有下述性质：VS1：a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)a+(-a)=0a+0=a第十一章线性空间与线性映射§11.1数乘满足下列运算律：VS2：(a+b)=a+b(+)a=a+a1a=a0a=0(左边为数0，右边为向量0)VS是VectorSpace的缩写，VS1可分别读作：向量空间的第一组性质。类似的可说VS2。在整个数学中，这种具有线性运算并且满足VS1、VS2八条运算规律的集合太多了。例如，闭区间[a,b]上的多项式集合，闭区间[a,b]上所有连续函数构成的集合。还有后面遇到的R2，R3，Rn，人们把这样的集合叫向量空间,或线性空间。第十一章线性空间与线性映射§11.1定义11.1.1：给定集合V,在其上定义了加法和数乘两种运算,满足VS1、VS2八条运算规律,称V为向量空间或线性空间,其中的元素叫向量。注意，术语“向量空间”和“线性空间”表示一个概念。例11.1.1．对二元有序数组的集合R2RxxxxR21212,按照如下定义的加法和数乘：两向量相加，就是对应分量相加22112121bababbaa第十一章线性空间与线性映射§11.1数乘向量，就是数乘向量的各个分量2121akakaak检验R2按照如上定义的加法和数乘，构成一个向量空间解：记a=，b=，c=，0=，则21aa21bb21cc00VS1：①．由a+b=，b+a=2211baba2211abab即见a+b=b+a②．由a+(b+c)=,(a+b)+c=222111cbacba222111cbacba即见a+(b+c)=(a+b)+c第十一章线性空间与线性映射§11.1即见a+0=a即见(a+b)=a+b③．由0+a==a2100aa④．由a+(-a)===02211aaaa00VS2：①．由(a+b)=，a+b=2211baba2211baba即见a+(-a)=0②．由(+)a=，a+a=2211aaaa2211aaaa即见(+)a=a+a第十一章线性空间与线性映射§11.1即见1a=a即见0a=0③．由1a==a212111aaaa④．由0a==0000021aa可见，二元有序组的集合R2是一向量空间。也许你认为上面的检验过程没有必要，因为这八条运算性质的成立几乎是显然的。我们之所以这样做，是想让你实实在在的体验这一检验的过程，因为检验一个空间是否为线性空间，都要遵循相同的检验过程。第十一章线性空间与线性映射§11.1类似地，我们可检验：所有三元有序数组的集合是一线性空间。一般地，所有n元有序数组的集合RxxxxxxR3213213,,RxxxxxxRnnn2121,按照“两向量相加，就是对应分量相加”、“数乘向量，就是数乘向量的各个分量”定义加法与数乘，构成一线性空间。第十一章线性空间与线性映射§11.1解：首先，集合C[a,b]上可定义加法和数乘，即Rn是我们今后使用的基本空间，有必要再提醒你，回顾一下这里的加法与数乘是怎么规定的。例11.1.2．检验闭区间[a,b]上，所有连续函数的集合C[a,b]是一线性空间。(其中，C是continuous的第一个字母，符号C[a,b]读作：闭区间[a,b]上所有连续函数的集合)两个连续函数的和，还是连续函数连续函数乘一数，还是连续函数设f,g,hC[a,b](即函数f,g,h是集合C[a,b]的元素)，则VS1：①．f+g=g+f②．(f+g)+h=f+(g+h)③．0+f=f④．f+(-f)=0第十一章线性空间与线性映射§11.1可见，闭区间[a,b]上全体函数的集合，也是一个线性空间。你可能会说，此处只是把那八条性质罗列了一遍，而没有给什么“证明”。这是因为这八条性质的成立太显然了，以至于我们不需要再给出什么证明。类似地，你可以检验所有n次多项式的集合是一个线性空间。VS2：①．(f+g)=f+g②．(+)f=f+f③．1f=f④．0f=0所有mn矩阵的集合,按矩阵的加法与数乘,成为一线性空间。应该指出,R2,R3,一般地Rn,这些空间是线性代数中的常用空间。向量空间是一个“具有两种运算、八条性质的集合”。在向量空间中，我们可以作这两种运算，并且只要遵循八条运算规律，运算就不会出错。第十一章线性空间与线性映射11.2线性空间的基与维数11.2.1线性组合§11.2给定向量组a1,…,an,b，若存在常数k1,…,kn,使得b=k1a1+…+knan称b可由a1,…,an线性表示，也说b是a1,…,an的线性组合。例如，在R2中，e1=，e2=，则任一向量a=，011021aa可由e1，e2线性表示，即20012121aaaa或a=a1e1+a2e2第十一章线性空间与线性映射§11.2在R3中，给出向量组e1=，e2=，001010则向量a=可由e1，e2线性表示；032b=不能由e1，e2线性表示。132因为e1，e2的线性组合，其第三分量总是0，不可能是1。第十一章线性空间与线性映射11.2.2线性相关§11.2给定一组向量a1,…,an，若其中有一个可由其余线性表示,则称向量组a1,…,an线性相关。你也许试图寻求这一概念的直观解释，建议你不要再找了，因为没有比这更直白的说法了。你就记住：“线性相关，就是有一个向量可由其余线性表示”。这个说法易懂，但不便于检验。我们再换个说法。第十一章线性空间与线性映射§11.2向量组a1,…,an线性相关的充要条件是：定理11.2.1：存在不全为0的数k1,…,kn，使得k1a1+…+knan=0证：：设a1,…,an线性相关，则有一个向量可由其余线性表示。不妨设这个向量就是a1,即存在k2,…,kn，使得a1=k2a2+…+knan于是-a1+k2a2+…+knan=0由于k1=-10，因而存在不全为0的数k1,…,kn，使得k1a1+…+knan=0第十一章线性空间与线性映射§11.2：设存在不全为0的数k1,…,kn，使得k1a1+…+knan=0不妨设k10(k1,…,kn都一样)，于是a1=a2a3-…an12kk13kk1kkn即，a1可由其余线性表示。由定理11.2.1，线性相关也可如下定义：第十一章线性空间与线性映射定义11.2.1：§11.2若存在不全为0的数k1,…,kn，使得k1a1+…+knan=0称向量组a1,…,an线性相关。向量组a1,…,an不线性相关，称向量组线性无关，即k1a1+…+knan=0只有当k1,…,kn全为0才成立。第十一章线性空间与线性映射§11.2解：设k1e1+k2e2=0(右边为向量0)即，所以，即，式k1e1+k2e2=0只有k1,k2全为0时才成立。故向量组e1，e2线性无关。例11.2.1．检验e1=，e2=的线性相关性。注意,在R2中,0110e1，e2总是表示这两个向量。00100121kk0021kk第十一章线性空间与线性映射§11.2因为式k1e1+k2e2+k3e3=0，只有在k1,k2,k3全为0时才成立。两个向量a1，a2线性相关，比如a1=ka2，这两个向量共线；三个向量a1，a2，a3线性相关，比如a1=k2a2+k3a3，即a1在a2，a3张成的平面上，即这三个向量共面。类似地，在三维空间中，e1=，e2=，e3=001010100是线性无关的。第十一章线性空间与线性映射11.2.3向量空间的基§11.2设V是一向量空间，a1,…,an为V中的一组向量，满足①．a1,…,an线性无关，称a1,…,an为V中的一组基，ai称为第i个基向量，并称V为n维向量空间。②．V中任一向量可由a1,…,an唯一线性表示，有一组基，沿着各个基向量，可画一条坐标轴，于是可建立一个坐标系，见图11.2-1、图11.2-2。图11.2-12aO1a图11.2-2O1e2e第十一章线性空间与线性映射§11.2有一个“坐标系”，每条轴上的单位向量就构成一组“基”。例如，在R2中，见图11.2-3：因此，基与坐标系是等价的，通常人们形象的称坐标系为“标架”，而把基向量称为“标架向量”。图11.2-3e12eO①．e1,e2线性无关，②．任一向量可由e1,e2唯一线性表示，则e1,e2为R2的一组基,且R2为二维向量空间。再例如，在R3中，①．e1,e2,e3线性无关，②．任一向量可由e1,e2,e3唯一线性表示，则e1,e2,e3为R3的一组基，且R3为三维向量空间。第十一章线性空间与线性映射§11.2显然，向量空间中的基不是唯一的。①．a1,a2线性无关，②．任一向量可由a1,a2唯一线性表示，即，a1,a2也是R2的一组基。一般地，在Rn中，使用起来最方便的是基称e1,e2,…en为Rn的标准基。例如，在R2中，取a1=，a2=，则1111e1=，e2=，…，en=001010100第十一章线性空间与线性映射11.2.4向量的坐标表示§11.2设V为n维向量空间，b1,…,bn为V的一组基。于是，xV，x可表示为b1,…,bn的线性组合，即x=x1b1+…+xnbn这样一种表示，使得向量x与n元有序数组之间建立了一一对应关系，称数组为x的坐标表示。nxx1应该注意，向量的坐标表示与向量本身是不同的两个概念。向量是一个几何的概念，