2018中科大数学分析试题

中国科学技术大学2018年硕士学位研究生入学考试试题数学分析所有试题答案写在答题纸上，答案写在试卷上无效□需使用计算器p不使用计算器1.(1)求极限limx!1xarctanx+2;(2)已知ak为正数数列,且1∑k=1sin(akx)k2tanx:x2(1;1)证明:ak=o(k2);k!+1.2.设(x)为周期为1的黎曼函数.(1)求(x)的连续点和间断点的类型;(2)计算积分∫10(x)dx:3.已知Ω为R3中的有界域,!n为单位向量,求证:存在以!n为法向量的平面平分Ω的体积.4.已知f(x)为周期等于2的奇函数,当x2(0;)时,f(x)=1.试利用f的Fourier级数计算1∑n=11(2n1)25.设φ(x)为有势场F(x;y;z)=(x2y;y2x;z2)下的势函数,求三重积分∫∫Ω∫φ(x;y;z)dxdydz;其中Ω为x2+y2+z216.已知f2C2[0;1];f(0)=f(1)=0;且f(x)在x0处取得最小值1,(1)求f(x)在x=x0处的Lagrange余项的Taylor展开式;(2)证明:存在2(0;1)使得f′′()=87.已知Dt={(x;y)2R2(xt)2+(yt)21;yt};f(t)=∫∫Dt√x2+y2dxdy;计算f′(0)8.已知u(x)2C[0;1];u(x)2C2(0;1);u′′(x)0,令v(x)=u(x)+x2;0:(1)证明:v(x)为(0;1)上的严格凸函数;(2)证明:u(x)的最大值于端点处取得.9.已知Br={(x;y)2R2x2+y2r2};B=B1;u(x;y)2C(B)\C2(B);△u=@2u@x2+@u2@y2(1)当△u0:8(x;y)2B;证明:u(x;y)在B上的最大值于边界@B上达到;考试科目：数学分析第1页共??页(2)当△u=0;8(x;y)2B;证明:ddr(12r∫@Bru(x;y)dS)=0;8r2(0;1)(3)证明:u(0)=12r∫@Bru(x;y)dS:10.已知u(x;t)具有二阶连读偏导,且满足utt(x;t)=uxx(x;t),记F(t)=∫2tt(u2t(x;t)+u2x(x;t))dx;证明:dF(t)dt0:考试科目：数学分析第2页共??页