机械优化设计第二章

§2.1优化设计的数学模型§2.2优化设计的三大要素§2.3优化设计的分类§2.4优化设计的数学基础§2.5优化设计的最优解及获得最优解的条件§2.6优化设计问题的数值迭代法及其收敛条件主要内容教学目标1、掌握优化设计的数学模型和三大要素；2、熟悉优化设计的不同分类方法及解决实际问题的步骤；3、了解等值面、梯度、Hesse矩阵、函数的凸性等概念及其性质4、掌握优化设计的最优解及获得最优解的条件5、掌握数值迭代法及其收敛条件教学目标:§2.1优化设计的数学模型1.分析实际问题，建立优化设计的数学模型；分析：①设计的要求（目标、准则）；②设计的限制（约束）条件；③设计的参数，确定设计变量。建立：优化设计方法相应的数学模型。2.分析数学模型的类型，选择合适的求解方法（优化算法）。3.编程上机求数学模型的最优解，并对计算的结果进行评价分析最终确定是否选用此次计算的解。一.机械优化设计方法解决实际问题的步骤§2.1优化设计的数学模型已知：轴的一端作用载荷P=1000N，扭矩M=100N·m；轴长不得小于8cm；材料的许用弯曲应力[σw]=120MPa，许用扭剪应力[τ]=80MPa，许用挠度[f]=0.01cm；密度[ρ]=7.8t/m，弹性模量E=2×105MPa。分析：设计目标是轴的质量最轻Q=1/4πd2lρ→min.；要求：设计销轴，在满足上述条件的同时，轴的质量应为最轻。设计限制条件有5个：弯曲强度：σmax≤[σw]扭转强度：τ≤[τ]刚度：f≤[f]结构尺寸：l≥8d≥0设计参数中的未定变量：d、l二.举例：圆形等截面销轴的优化设计的数学模型具体化：目标函数Q=1/4πd2lρ→min.约束函数σmax=Pl/(0.1d3)≤[σw]τ=M/(0.2d3)≤[τ]f=Pl3/(3EJ)≤[f]l≥8d≥0代人数据整理得数学模型：设：X=[x1,x2]T=[d,l]TX∈R2min.f(x)=x12x2s.t.g1(x)=83.3x2-x13≤0g2(x)=6.25-x13≤0g3(x)=0.34x23-x14≤0g4(x)=8-x2≤0g5(x)=-x1≤0§2.1优化设计的数学模型二.举例：圆形等截面销轴的优化设计的数学模型三.优化设计的数学模型根据例子中的数学模型：X=[x1,x2]T=[d,l]TX∈R2min.f(x)=x12x2s.t.g1(x)=8.33x2-x13≤0g2(x)=6.25-x13≤0g3(x)=0.34x23-x14≤0g4(x)=8-x2≤0g5(x)=-x1≤0机械优化设计数学模型的一般形式：设X=[x1,x2,…,xn]Tmin.f(x)=f(x1,x2,…,xn)X∈Rns.t.gu(x)≤0u=1,2,…,mhv(x)=0v=1,2,…,p——设计变量——目标函数——约束函数（性能约束）——约束函数（性能约束）——约束函数（性能约束）——约束函数（几何约束）——约束函数（几何约束）（不等式约束）（等式约束）属于2维欧氏空间§2.1优化设计的数学模型§2.2优化设计的三大要素一.设计变量：设计变量：在优化设计过程中是变化的，需要优选的量。给定参数：在优化设计过程中保持不变或预先确定数值。可以是几何参数：例，尺寸、形状、位置运动学参数：例，位移、速度、加速度动力学参数：例，力、力矩、应力其它物理量：例，质量、转动惯量、频率、挠度非物理量：例，效率、寿命、成本设计变量：优化设计问题有N个设计变量x1,x2,…,xn，用xi(i=1,2,…,n)表示，是设计向量X的n个分量设计向量：用X=[x1,x2,…,xn]T表示，是定义在n维欧氏空间中的一个向量一.设计变量（续）设计点x(k)（x1(k),x2(k),…,xn(k)）：是设计向量X(k)的端点，代表设计空间中的一个点，也代表第k个设计方案。可能是可行方案、也可能不是可行方案。设计空间Rn：以x1,x2,…,xn为坐标轴，构成n维欧氏实空间Rn。它包含了所有可能的设计点，即所有设计方案。X1X3X20X(1)X(2)ΔX（1）例：右图三维空间中第1设计点：X(1)=[x1(1),x2(1),x3(1)]T第2设计点：X(2)=[x1(2),x2(2),x3(2)]T增量：ΔX(1)=[Δx1(1),Δx2(1),Δx3(1)]T其中：X(2)=X(1)+ΔX(1)即x1(2)=x1(1)+Δx1(1)x2(2)=x2(1)+Δx2(1)x3(2)=x3(1)+Δx3(1)§2.2优化设计的三大要素二.约束函数设计约束：设计变量的选择不仅要使目标函数达到最优值，同时还必须受一定的条件限制，这些制约条件称设计约束。约束函数：设计约束是设计变量的函数，称为约束函数。不等式约束函数：gu(x)≤0u=1,2,…,m等式约束函数：hv(x)=0v=1,2,…,p＜n问题：不等式约束能否表达成gu(x)≥0？p为什么必须小于n?例：有三个不等式约束g1(x)=-x1≤0g2(x)=-x2≤0g3(x)=x12+x22-1≤0再加一个等式约束h(x)=x1-x2=00X1X2g3(x)=0g2(x)=0g1(x)=0h(x)=0D§2.2优化设计的三大要素二.约束函数（续1）约束（曲）面：对于某一个不等式约束gu(x)≤0中，满足gu(x)=0的x点的集合构成一个曲面，称为约束（曲）面。它将设计空间分成两部分：满足约束条件gu(x)≤0的部分和不满足约束条件gu(x)＞0的部分。设计可行域（简称为可行域）D对于一个优化问题，所有不等式约束的约束面将组成一个复合的约束曲面，包围了设计空间中满足所有不等式约束的区域，称为设计可行域。记作D=gu(x)≤0u=1,2,…,mhv(x)=0v=1,2,…,px§2.2优化设计的三大要素二.约束函数（续2）可行设计点（内点）：在可行域内任意一点称为可行设计点，代表一个可行方案。极限设计点（边界点）：在约束面上的点称为极限设计点。若讨论的设计点x(k)点使得gu(x(k))=0，则gu(x(k))≤0称为适时约束或起作用约束。非可行设计点（外点）：在可行域外的点称为非可行设计点，代表不可采用的设计方案。§2.2优化设计的三大要素三.目标函数优化设计的过程是从可行设计解中，找出一组最优解的过程。需要一个准则来评价当前设计点（解）的最优性。这个准则包含各个设计变量，作为评价函数，一般称为目标函数，也称为评价函数、准则函数、价值函数。由于评价准则的非唯一性，目标函数可以是一个——单目标函数，也可以是多个——称为多目标函数。单目标函数的表达式为：f(x)=f(x1,x2,…,xn)多目标函数的表达式为：f(x)=ω1f1(x)+ω2f2(x)+…+ωqfq(x)=其中：f1(x)，f2(x)，…fq(x)代表q个分设计目标；ω1，ω2，…，ωq代表q个加权系数。)(1xfjqjj目标函数：多目标函数：§2.2优化设计的三大要素三.目标函数(续）说明：①f(x)必须是x的函数，应随设计点的变化f(x)的值上升、下降；②f(x)应该是实函数，是可计算的。但不一定通过数学公式，还可以用其它数值计算方法计算。③f(x)可以是有物理意义，有单位的，也可以没有物理意义。例如，销轴的质量：Q=1/4πd2lρ，∵1/4πρ是常数，∴目标函数可简化为f(x)=d2l=x12x2问题：①f(x)是否一定应包含所有的设计变量？②f(x)若是越大越好，则应如何处理？③分目标函数f1(x)，f2(x)，…fq(x)，有些是越小越好，有些是越大越好，则又应如何处理？§2.2优化设计的三大要素§2.3优化设计的分类一.按模型性质分：确定型优化问题：静态优化问题（与时间无关或忽略时间因素）动态优化问题（随时间变化，系统响应变化）不确定型优化问题（随机优化问题）二.按设计变量性质分连续变量离散变量随机变量三.按约束情况分1.按有无约束分：无约束优化问题约束优化问题2.按约束性质分：区域约束（几何约束、边界约束）性能约束（功能约束、性态约束）§2.3优化设计的分类（续）四.按目标函数和约束函数的特性分：线性规划问题非线性规划问题二次规划问题几何规划问题五.按目标函数的个数分：单目标优化问题双目标优化问题多目标优化问题小结优化设计的三大要素优化设计的数学模型优化设计的步骤数学模型的分类机械优化设计问题分类优化设计的数学模型优化设计数学模型的一般形式：设x=[x1,x2,…,xn]Tx∈Rnminf(x)=f(x1,x2,…,xn)s.t.gu(x)≤0u=1,2,…,mhv(x)=0v=1,2,…,pn（不等式约束）（等式约束）在满足一定的约束条件下，选取设计变量，使目标函数值达到最小（或最大）。优化设计的三大要素设计变量x（给定参数、设计空间、设计点、设计向量、离散型设计变量、连续型设计变量）目标函数f(x)(评价函数、单目标设计、多目标设计）约束函数gu(x)、hv(x)（区域约束、性能约束、约束面、可行域与非可行域、内点、外点、边界点、适时约束）优化设计过程框图机械优化设计设计问题：设计要求；设计参数；设计条件最优设计方案f(x*)x*按设计要求进行方案评价是否最优?建立数学模型：设计变量x目标函数f(x)约束函数gu(x)0(u=1,2,…,m)hv(x)=0(v=1,2,…,p)选用优化算法确定优选设计参数xi(i=1,2,…,n)设计方案得出的实际值f'(x)用满足设计条件的一组x1,x2,…,xn值确定设计方案否是优化设计解决实际问题的步骤1.分析实际问题，建立优化设计的数学模型；分析：①设计的要求（目标、准则）；②设计的限制（约束）条件；③设计的参数，确定设计变量。2.分析数学模型的类型，选择合适的优化方法；5.对计算的结果进行评价分析。3.确定必要的数据和设计初始点；4.编写计算机程序，通过计算机求解并输出计算结果；目标函数和约束函数都是设计变量的线性函数。分类原则数学模型的类型说明按数学模型中设计变量和参数的性质分确定型模型1．设计变量和参数的取值为确定时所建立的数学模型2．根据设计参数和系统行为（设计特性）与时间的依赖关系，可分为静态模型（常规模型）和动态模型（参数模型）。3．当设计变量可取任意实数时，属于连续变量优化设计模型；当某些或全部设计变量限于取整数或离散值时，属于离散变量优化设计模型。随机型模型某些设计变量或参数具有随机性或必须考虑它们的概率分布性质所建立的数学模型。按目标函数和约束函数的性质分线性规划问题目标函数、约束函数都是线性函数非线性规划问题目标函数、约束函数中有一个或多个是非线性函数。多数机械优化设计问题的数学模型属于非线性规划问题。又根据非线性目标函数和约束函数表达式的特性不同，可将其分为：一般非线性问题、二次规划问题、可分离规划问题、几何规划问题等。这些问题在数学规划中都有其特殊的解法。按模型中极小化的目标函数个数分单目标优化问题只有一个目标函数多目标优化问题多个函数（f1(x),f2(x),…,fq(x)）Rq按模型中约束条件数量分无约束优化设计问题模型中不包含约束条件，即m=p=0时。虽然在工程设计问题中，不受任何约束条件限制的问题并不多见，但在约束优化问题的解法中有一类是将约束优化问题转化为序列无约束优化问题来求解的。约束优化问题模型中包含约束条件。优化设计数学模型的分类机械优化设计的分类分类示例参数优化设计方案参数优化设计支承负荷的框架式底座结构方案设计系统参数优化设计凸轮从动系统的动力学优化设计工艺参数优化设计单工序加工时，单件生产率的优化机构和机械零部件参数优化设计平面连杆机构参数的优化设计机械结构优化设计结构尺寸优化设计销轴结构优化设计结构形状优化设计机床主轴结构的优化设计结构桁架拓扑优化设计实例练习1设有一个螺旋压缩弹簧，已知载荷为F，弹簧材料的剪切弹性模量为G，许用剪切应力为[τ],许用弹簧刚度为[K],弹簧的非工作圈数为n2,轴向变形量为λ。试设计这个弹簧使其体积最小。33211),,(),,(RxxxnDdTTx数学模型:dnnDxf