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MathematicalEnglishChapter2精读课文---入门必读Keypoints:theunderstandofthecoordinatesystemofCartesiangeometryDifficultpoints:theconceptoffunctionRequirements:1.理解笛卡儿几何学的基本概念。2.掌握函数的定义。NewWords&Expressions:polygonal多边形的circularregions圆域parabolic抛物线的coordinateaxis坐标轴theunitdistance单位长度theorigin坐标原点horizontal水平的coordinatesystem坐标系perpendicular互相垂直的，垂线vertical竖直的anorderedpair一个有序对abscissa横坐标quadrant象限ordinate纵坐标intersect相交thetheoremofPythagoras勾股定理2.5basicconceptsofCartesiangeometryAsmentionedearlier,oneoftheapplicationsoftheintegralisthecalculationofarea.Ordinarily,wedonottalkaboutareabyitself,instead,wetalkabouttheareaofsomething.Thismeansthatwehavecertainobjects(polygonalregions,circularregions,parabolicsegmentsetc.)whoseareaswewishtomeasure.Ifwehopetoarriveatatreatmentofareathatwillenableustodealwithmanydifferentkindsofobjects,wemustfirstfindaneffectivewaytodescribetheseobjects.就像前面提到的，积分的一个应用就是面积的计算，通常我们不讨论面积本身，相反，是讨论某事物的面积。这意味着我们有些想测量的面积的对象（多边形区域，圆域，抛物线弓形等），如果我们希望获得面积的计算方法以便能够用它来处理各种不同类型的图形，我们就必须首先找出表述这些对象的有效方法。5-AthecoordinatesystemofCartesiangeometryThemostprimitivewayofdoingthisisbydrawingfigures,aswasdonebytheancientGreeks.AmuchbetterwaywassuggestedbyReneDescartes,whointroducedthesubjectofanalyticgeometry(alsoknownasCartesiangeometry).Descartes’ideawastorepresentgeometricpointsbynumbers.Theprocedureforpointsinaplaneisthis：描述对象最基本的方法是画图，就像古希腊人做的那样。R笛卡儿提出了一种比较好的方法，并建立了解析几何（也称为笛卡儿几何）这门学科。笛卡儿的思想就是用数来表示几何点，在平面上找点的过程如下：5-AthecoordinatesystemofCartesiangeometryTwoperpendicularreferencelines(calledcoordinateaxes)arechosen,onehorizontal(calledthe“x-axis”),theothervertical(the“y-axis”).TheirpointofintersectiondenotedbyO,iscalledtheorigin.Onthex-axisaconvenientpointischosentotherightofOanditsdistancefromOiscalledtheunitdistance.VerticaldistancesalongtheY-axisareusuallymeasuredwiththesameunitdistance,althoughsometimesitisconvenienttouseadifferentscaleonthey-axis.Noweachpointintheplane(sometimescalledthexy-plane)isassignedapairofnumbers,calleditscoordinates.Thesenumberstellushowtolocatethepoints.选两条互相垂直的参考线（称为坐标轴），一条水平（称为x轴），另一条竖直（称为y轴）。他们的交点记为O,称为原点。在x轴上，原点的右侧选择一个合适的点，该点与原点之间的距离称为单位长度，沿着y轴的垂直距离通常用同样的单位长度来测量，虽然有时候采用不同的尺度比较方便。现在平面上的每一个点都分配了一对数，称为坐标。这些数告诉我们如何定义一个点。5-AthecoordinatesystemofCartesiangeometryAgeometricfigure,suchasacurveintheplane,isacollectionofpointssatisfyingoneormorespecialconditions.Bytranslatingtheseconditionsintoexpressions,,involvingthecoordinatesxandy,weobtainoneormoreequationswhichcharacterizethefigureinquestion,forexample,consideracircleofradiusrwithitscenterattheorigin,asshowinfigure2-5-2.letPbeanarbitrarypointonthiscircle,andsupposePhascoordinates(x,y).一个几何图形是满足一个或多个特殊条件的点集，比如平面上的曲线。通过把这些条件转化成含有坐标x和y的表达式，我们就得到了一个或多个能刻画该图形特征的方程。例如，如图2-5-2所示的中心在原点，半径为r的圆，令P是原上任意一点，假设P的坐标为(x,y).5-BGeometricfigures本小节重点掌握1计算图形的面积是积分的一个重要应用。2微积分与解析几何在他们的发展史上已经互相交融在一起了。NewWords&Expressions:prime素数displacement位移edge棱，边domain定义域，区域realvariable实变量schematicrepresentation图解表示tabulation作表，表mass质量，许多，群众absolute-valuefunction绝对值函数2.6functionconceptandfunctionideaSeldomhasasingleconceptplayedsoimportantaroleinmathematicsashastheconceptoffunction.Itisdesirabletoknowhowtheconcepthasdeveloped.在数学中，很少有个概念象函数的概念那样，起那么重要的作用的。因此，需要知道这个概念是如何发展起来的。6-CTheconceptoffunctionThisconcept,likemanyothers,originatesinphysics.Thephysicalquantitiesweretheforerunnersofmathematicalvariables.Andrelationamongthemwascalledafunctionrelationinthelater16thcentury.这个概念像许多其他概念一样，起源于物理学。物理的量是数学的变量的先驱，他们之间的关系在16世纪后期称为函数关系。6-CTheconceptoffunctionForexample,theformulas=16t2forthenumberoffeetsabodyfallsinanynumberofsecondstisafunctionrelationbetweensandt.itdescribesthewaysvarieswitht.thestudyofsuchrelationsledpeopleinthe18thcenturytothinkofafunctionrelationasnothingbutaformula.例如，代表一物体在若干秒t中下落若干英尺s的公式s=16t2就是s和t之间的函数关系。它描述了s随t变化的公式，对这种关系的研究导致了18世纪的人们认为函数关系只不过是一个公式罢了。6-CTheconceptoffunctionOnlyaftertheriseofmodernanalysisintheearly19thcenturycouldtheconceptoffunctionbeextended.Intheextendedsense,afunctionmaybedefinedasfollows:ifavariableydependsonanothervariablexinsuchawaythattoeachvalueofxcorrespondsadefinitevalueofy,thenyisafunctionofx.thisdefinitionservesmanyapracticalpurposeeventoday.只有在19世纪初期现代分析出现以后，函数的概念才得以扩大。在扩大的意义上讲，函数可定义如下：如果一变量y随着另一个变量x而变换，即x的每一个值都和y的一定值相对应，那么，y就是x的函数。这个定义甚至在今天还适用于许多实际的用途。6-CTheconceptoffunctionNotspecifiedbythisdefinitionisthemannerofsettingupthecorrespondence.Itmaybedonebyaformulaasthe18thcenturymathematicspresumedbutitcanequallywellbedonebyatabulationsuchasastatisticalchart,orbysomeotherformofdescription.至于如何建立这种对应关系，这个定义并未详细规定。可以如18世纪的数学所假定的那样，用公式来建立，但同样也可以用统计表那样的表格或用某种其他的描述方式来建立。6-CTheconceptoffunctionAtypicalexampleistheroomtemperature,whichobviouslyisafunctionoftime.Butthisfunctionadmitsofnoformularepresentation,althoughitcanberecordedinatabularformortracedbutgraphicallybyanautomaticdevice.典型的例子是室温，这显然是一个时间的函数。但是这个函数不能用公式来代表，但可以用表格的形式来记录或者用一种自动装置以图标形式来追踪。6-CTheconceptoffunctionThemoderndefinitionofafunctionyofxissimplyamappingfromaspaceXtoanotherspaceY.amappingisdefinedwheneverypointxofXhasadefinitionimagey,apointofY.themappingcon