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NewWords&Expressions:differentiable可微的polynomial多项式exponential指数的rationalfunction有理函数integrate求积分trigonometricfunction三角函数logarithm对数inversetrigonometricfunction反三角函数2.9微分方程简介IntroductiontoDifferentialEquationsKeypoints:IntroductiontoDifferentialEquationsDifficultpoints:ApplicationsofmatricesRequirements:1.理解微分方程的分类。2.理解矩阵学习的重要性。Alargevarietyofscientificproblemsariseinwhichonetriestodeterminesomethingfromitsrateofchange.9-AIntroduction大量的科学问题需要人们根据事物的变化率来确定该事物。Forexample,wecouldtrytocomputethepositionofamovingparticlefromaknowledgeofitsvelocityoracceleration.例如，我们可以由已知速度或者加速度来计算移动质点的位置.Oraradioactivesubstancemaybedisintegratingataknownrateandwemayberequiredtodeterminetheamountofmaterialpresentafteragiventime.又如，某种放射性物质可能正在以已知的速度进行衰变，需要我们确定在给定的时间后遗留物质的总量。※Inexampleslikethese,wearetryingtodetermineanunknownfunctionfromprescribedinformationexpressedintheformofanequationinvolvingatleastoneofthederivativesoftheunknownfunction.在类似的例子中，我们力求由方程的形式表述的信息来确定未知函数，而这种方程至少包含了未知函数的一个导数。Theseequationsarecalleddifferentialequations,andtheirstudyformsoneofthemostchallengingbranchesofmathematics.这些方程称为微分方程，对其研究形成了数学中最具有挑战性的一个分支。Differentialequationsareclassifiedundertwomainheadings:ordinaryandpartial,dependingonwhethertheunknownisafunctionofjustonevariableoroftwomorevariables.微分方程根据未知量是单变量函数还是多变量函数分成两个主题：常微分方程和偏微分方程。Asimpleexampleofanordinarydifferentialequationistherelationf'(x)=f(x)(9.1)whichissatisfied,inparticularbytheexponentialfunction,f(x)=ex.常微分方程的一个简单例子是f'(x)=f(x)，特别地，指数函数f(x)=ex满足这个等式。Weshallseepresentlythateverysolutionof(9.1)mustbeoftheformf(x)=Cex,whereCmaybeanyconstant.我们马上就会发现(9.1)的每一个解都一定是f(x)=Cex这种形式，这里C可以是任何常数。Ontheotherhand,anequationlikeisanexampleofapartialdifferentialequation.另一方面，如下方程是偏微分方程的一个例子。Thisparticularone,iscalledLaplace’sequation,appearsinthetheoryofelectricityandmagnetism,fluidmechanics,andelsewhere.这个特殊的方程叫做拉普拉斯方程，出现于电磁学理论、流体力学理论以及其他理论中。2222(,)(,)0fxyfxyxyThestudyofdifferentialequationsisonepartofmathematicsthat,perhapsmorethananyother,hasbeendirectlyinspiredbymechanics,astronomy,andmathematicalphysics.微分方程的研究是数学的一部分，也许比其他分支更多的直接受到力学，天文学和数学物理的推动。Itshistorybeganinthe17thcenturywhenNewton,Leibniz,andtheBernoullissolvedsomesimpledifferentialequationsarisingfromproblemsingeometryandmechanics.微分方程起源于17世纪，当时牛顿，莱布尼茨，伯努利家族解决了一些来自几何和力学的简单的微分方程。Theseearlydiscoveries,beginningabout1690,graduallyledtothedevelopmentofalotof“specialtricks”forsolvingcertainspecialkindsofdifferentialequation.开始于1690年的早期发现，逐渐导致了解某些特殊类型的微分方程的大量特殊技巧的发展。Althoughthesespecialtricksareapplicableinrelativelyfewcases,theydoenableustosolvemanydifferentialequationsthatariseinmechanicsandgeometry,sotheirstudyisofpracticalimportance.尽管这些特殊的技巧只是适用于相对较少的几种情况，但他们能够解决许多出现于力学和几何中的微分方程，因此，他们的研究具有重要的实际应用。Someofthesespecialmethodsandsomeoftheproblemswhichtheyhelpussolvearediscussedneartheendofthischapter.这些特殊的技巧和利用这些技巧可以解决的一些问题将在本章最后讨论。本小节重点掌握如果一个微分方程的未知函数是多元函数，则称为偏微分方程。Adifferentialequationiscalledpartialdifferentialequationiftheunknownofitisafunctionoftwoormorevariables.NewWords&Expressions(P90生词与词组二):consistent相容的matrix矩阵column列reducible可简化的determinate行列式row行inverse逆simultaneouslinearequations联立线性方程组2.10线性空间中的相关与无关集DependentandIndependentSetsinaLinearSpaceInrecentyearstheapplicationsofmatricesinmathematicsandinmanydiversefieldshaveincreasedwithremarkablespeed.Matrixtheoryplaysacentralroleinmodernphysicsinthestudyofquantummechanics.近年来，在数学和许多各种不同的领域中，矩阵的应用一直以惊人的速度不断增加。在研究量子力学时，矩阵理论在现代物理学上起着主要的作用。10-CApplicationsofmatricesMatrixmethodsareusedtosolveproblemsinapplieddifferentialequations,specifically,intheareaofaerodynamics,stressandstructureanalysis.Oneofthemostpowerfulmathematicalmethodsforpsychologicalstudiesisfactoranalysis,asubjectthatmakeswideuseofmatrixmethods.解决应用微分方程，特别是在空气动力学，应力和结构分析中的问题，要用矩阵方法。心理学研究上一种最强有力的数学方法是因子分析，这也广泛的使用矩阵(方)法.Recentdevelopmentsinmathematicaleconomicsandinproblemsofbusinessadministrationhaveledtoextensiveuseofmatrixmethods.Thebiologicalsciences,andinparticulargenetics,usematrixtechniquestogoodadvantage.近年来，在数量经济学和企业管理问题方面的发展已经导致广泛的使用矩阵法。生物科学，特别在遗传学方面，用矩阵的技术很有成效。Nomatterwhatthestudents’fieldofmajorinterestis,knowledgeoftherudimentsofmatricesislikelytobroadentherangeofliteraturethathecanreadwithunderstanding.不管学生主要兴趣是什么，矩阵基本原理的知识都可能扩大他能读懂的文献的范围。Thesolutionofnsimultaneouslinearequationsinnunknownsisoneoftheimportantproblemsofappliedmathematics.解一有n个未知数的n个联立（线性）方程组是应用数学的一个重要问题。Descartes,theinventorofanalyticgeometryandoneofthefoundersofmodernalgebraicnotation,believedthatallproblemscouldultimatelybereducedtothesolutionofasetofsimultaneouslinearequations.解析几何的发明者和现代代数计数法的创始人之一笛卡儿相信，所有的问题最后都能简化为解一组联立方程。Althoughthisbeliefisnowknowntobeuntenable,weknowthatalargegroupofsignificantappliedproblemsfrommanydifferentdisciplinesarereducibletosuchequations.虽然这种信念现在认为是站不住脚的，但是，我们知道，从许多不同的学科里的一大群重要的应用问题都可以约简为这类的方程。Manyoftheapplications,requirethesolutionofalargenumberofsimultaneouslinearequations,sometimesinthehundreds.Theadventofcomputershasmadethematrixmethodseffectiveinthesolutionoftheseformidableproblems.许多应用要求解大量的，往往数以百计的