第十章应力状态和强度理论.

第十章应力状态和强度理论§10–1应力状态的概念§10–2平面应力状态分析——解析法§10–3平面应力状态分析——图解法§10-4梁的主应力及其主应力迹线§10-5三向应力状态研究——应力圆法§10-6平面内的应变分析§10-7复杂应力状态下的应力--应变关系——（广义虎克定律）§10-8复杂应力状态下的变形比能§10–9强度理论的概念§10–10四个强度理论及其相当应力§10–11莫尔强度理论及其相当应力§10-12强度理论的应用P铸铁压缩1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？2、组合变形杆将怎样破坏？§10－１应力状态的概念ＭPＭP低碳钢一、引子：四、普遍状态下的应力表示三、单元体：单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究点的无限小的几何体，常用的是正六面体。单元体的性质——a、平行面上，应力均布；b、平行面上，应力相等。二、一点的应力状态：过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态（StateofStressataGivenPoint）。xyxy三、剪应力互等定理（TheoremofConjugateShearingStress):过一点的两个正交面上,如果有与相交边垂直的剪应力分量,则,两个面上的这两个剪应力分量一定等值、方向相对或相离。0:zM单元体平衡证明0)()(dydzdxdxdydzyxxyyxxyx五、原始单元体（已知单元体）：例10-1-1画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。ＭxyzBCAxxBxzzxCxyyxAPP六、主单元体、主面、主应力：、主单元体(Principalbidy)：各侧面上剪应力均为零的单元体。、主面(PrincipalPlane)：剪应力为零的截面。、主应力(PrincipalStress）：主面上的正应力。、主应力排列规定：安代数值大小，321、三向应力状态（Three—DimensionalStateofStress）：三个主应力都不为零的应力状态。、二向应力状态（PlaneStateofStress）：一个主应力为零的应力状态。、单向应力状态（UnidirectionalStateofStress）：一个主应力不为零的应力状态。xBxzzxAxx§10－2平面应力状态分析——解析法等价规定：、截面外法线同向为正；、绕研究对象顺时针转为正；、逆时针为正。图1n设：斜截面面积为S，由分离体平衡得：Fn00cossinsinsincoscos22SSSSSyxyxyx一、任意斜截面上的应力图1n2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx考虑剪应力互等和三角变换，得：同理：0222:000cossinddxyyx令二、极值应力yxxytg220和两各极值：）、（由此的两个驻点：20101！极值正应力就是主应力00）2222xyyxyxminmax±（´´′1′2主单元体在剪应力相对的项限内，且偏向于x及y大的一侧。minmax;21´´0:1dd令xyyxtg221222xyyxminmax±）（01045,4成即极值剪应力面与主面例：10—2—1分析受扭构件的破坏规律。解：确定危险点并画其原始单元体CxyyxＭCCxyyxxyo求极值应力0yxPnxyWM222122xyyxyx）（2xy破坏分析222xyyxminmax）（3210;;452200yxxytg002211xyyxtgMPa;MPass:200240低碳钢MPa~;MPa~MPa~bybLb:30019896064028098灰口铸铁低碳钢§10－3平面应力状态分析——图解法2222222cossinsincosxyyxxyyxyx222222xyyxyx对上述方程消参（2），得：此方程曲线为圆—应力圆（或莫尔圆，由德国工程师：OttoMohr引入）一、应力圆（StressCircle）o图2A（x，xy）B（y，yx）nD（，）、建立应力坐标系，如图2，（注意选好比例尺）二、应力圆的画法xyxxyyo、在坐标系内画出点A（x，xy）和B（y，yx）、AB与轴的交点C便是圆心。、以C为圆心，以AC为半径画圆——应力圆，；C图12xno图2A（x，xy）B（y，yx）nD（，）xyxxyyoC图12xn三、单元体与应力圆的对应关系、面上的应力（，）←→应力圆上一点（，）、面的法线←→应力圆的半径、两面夹角←→两半径夹角2；且转向一致。oA（x，xy）B（y，yx）Cx20222122xyyxyxROC）（半径四、在应力圆上标出极值应力212222xyyxminmaxminmaxR）（半径max´min´o（Mpa）（Mpa）AB例10-3-1求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa)4532532595150°CAB2012解：、建立应力坐标系如图),(B32545),(A32595在坐标系内画出点、AB的垂直平分线与轴的交点C便是圆心，以C为圆心，以AC为半径画圆——应力圆0o（Mpa）（Mpa）AB4532532595150°CAB20120、主应力及主平面如图020120321300222cossinxyyx4532532595150°解法2——解析法：分析——建立坐标系如图xyoxyyxyMPaMPa32545?x222122xyyxyx）（60°MPaMPa325956060§10－4梁的主应力及其主应力迹线zzxyIbQSzxIMyPqx12345yoxy3xxy2x1ooo12313223122xyxx）（x5xxy4o4o51313主应力迹线（StressTrajectories)：主应力方向线的包洛线——曲线上每一点的切线都指示着该点的拉主应力方位（或压主应力方位）。实线表示拉主应力迹线；虚线表示压主应力迹线。xy主应力迹线的画法：11截面22截面33截面44截面ii截面nn截面bacd§10－5三向应力状态研究——应力圆法oo2、三向应力分析：弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。图a图b：整个单元体内的最大剪应力为：231maxmax例：10—5—1求图示单元体的主应力和最大剪应力。（MPa）解：、由单元体图a知：yz面为主面501、建立应力坐标系如图，画图b的应力圆和点1′,得:xyz305040图aCBAo(MPa)（MPa）ABC13227505832144maxmax§10－6平面内的应变分析xyo一、叠加法求应变分析公式cosadDDx1121cosx21sincos/asinasin/bcosbBOEAODxxxabcdAOBDD1EE1剪应变：直角的增大量！（只有这样，前后才对应）sincdDDy2222siny22sincos/csinccos/csincBOEAODyyyDD2EE2abcdAOBxyocoscdADdxy33socsinxy32233sincoscos/ccoscsin/csincBOEAODxyxyxyabcdAOBDD3EE3xyxyxyocossinsincosxyyxii2231223122sincossinsinxyyxii2222sincosxyyxyx222cossinxyyx221222221222cossinsincosxyyxxyyxyx2、已知一点A的应变（），画应变圆xyyx,,二、应变分析图解法——应变圆（StrainCircle）2o22;2;1、应变圆与应力圆的类比关系、建立应变坐标系如图、在坐标系内画出点A（x，xy/2）B（y，-yx/2）、AB与轴的交点C便是圆心、以C为圆心，以AC为半径画圆——应变圆。ABC2oABC、方向上的应变（，/2）←→应变圆上一点（，/2）三、方向上的应变与应变圆的对应关系、方向线←→应变圆的半径、两方向间夹角←→两半径夹角2；且转向一致。maxmin20D(，/2)2n四、主应变数值及其方位2221xyyxyxminmax）（22;2;2222xyyxyxminmax）（yxxytg220yxxytg02例10—6—1已知一点在某一平面内的1、2、3、方向上的应变1、2、3，三个线应变，求该面内的主应变。解：由iixyiyixcossinsincosi22i=1、2、3这三个方程求出x，y，xy；然后在求主应变。2221xyyxyxminmax）（例10—6—2用45°应变花测得一点的三个线应变后，求该点的主应变。xyu45o0max][2)(2122）（）（yuuxyxmax][2)(2122）（）（yuuxyxminyxyxutg220§10－7复杂应力状态下的应力--应变关系——（广义虎克定律）一、单拉下的应力---应变关系ExxxyExzExyzx二、纯剪的应力---应变关系Gxyxyxyzxyz)y,x,j(i,0ijz)y,x,(i0i0zxyz三、复杂状态下的应力---应变关系xyzxxyzy依叠加原理,得:zyxzyxxEEEE1xzyyE1yxzzE1GxyxyGyzyzGzxzxzyxxE112313221E12331E32111