5 多元复合函数及隐函数的微分法

一、多元复合函数求导法则二、隐函数的求导公式第四节多元复合函数与隐函数的微分法第九章多元函数微分学一、多元复合函数求导法则定理设一元函数u=(x)与v=(x)在x处均可导，且为.ddddddxvvzxuuzxz处有一阶连续偏导数,,vzuz二元函数z=f(x,y)在x的对应点(u,v)对x的导数存在，)()(xxfz,则复合函数证给x以增量,x从而z=f(u,v)有全增量,),(),(vufvvuufzz=f(u,v)在(u,v)偏导数连续，从而知其可微，根据假设，所以,vvzuuzz,0lim0且其中,)()(22vu①则u，v有相应的增量u，v，又因一元函数u与v可导，所以u与v均连续，得,0lim0x于是2222020)(limlimxxxx2220220)()()(limlimxvux.0ddddlim22220xvxu并求时的极限，0x因此,0lim0xx再将①式两边除以,x则得xzxzx0limddxuuzx0limxvvzx0limxx0limxuuzdd.ddxvvz例1设,vuz,2sinxu,12xv求.ddxz解因,1vvuuz.lnuuvzv,2cos2ddxxu.1dd2xxxv则xzddxuvv2cos211ln2xxuuv1ln2cos22xuxuxvuv.1)2ln(sin2cot12)2(sin2212xxxxxxx设函数z=f(u,v)可微，这时，复合函数z=f[u(x,y),v(x,y)]对x与y的偏导数都存在且,xvvzxuuzxz.yvvzyuuzyz而和),(yxu),(yxv的一阶偏导数都存在，例2设z=eucosv，,xyu,2yxv.yzxz，求解因为,cosevuzu;sinevvzu,yxu;2xv,xyu.1yv可得xz2sinecosevyvuu)sin2cos(evvyu,)2sin(2)2cos(eyxyxyxyyz)1(sinecosevxvuu)sincos(evvxu.)2sin()2cos(eyxyxxxy应用两个公式时，可参考下图表示函数的复合关系和求导的运算途径.zuvxzuvxy当z=f(u,v,w),,),(yxu,),(yxv时，),(yx其求导公式可参考关系图如下.zuvwxyxzxuuzxvvz,xwwzyzyuuzyvvz.ywwz又如z=f(u,v),),,,(tyxu,),,(tyxv则,xvvzxuuzxz,yvvzyuuzyz.tvvztuuztz例3，设)sin,2,(xyyxxyfz求xz与.yz解,xyu令,2yxv,sinxyw于是).,,(wvufz因为,2xyxu,1xv,cosxyxw,1xyu,2yv,sinxyw所以xz2xyfuxyffwvcos1,cos3212fxyffxy式中的fi表示z对第i个中间变量的偏导数(i=1,2,3)，有了这种记法，就不一定要明显地写出中间变量u，v，w.类似地，可求得yz.sin21321fxffx例4设),,(yxyxfxyz.,yzxz求解在这个函数的表达式中，乘法中有复合函数，所以先用乘法求导公式.xz),(yxyxfy1121ffxy),(yxyxfy,21ffxyyz.),(21ffxyyxyxfx),(yxyxfx)1(121ffxy二、隐含数的求导公式1.一元隐函数的求导公式设方程F(x,y)=0确定了函数y=y(x)，两端对x求导，得,0ddxyFFyx,0yF若则.ddyxFFxy这就是一元隐函数的求导公式.例5设,222xyx求.ddxy解,2),(22xyxyxF令则,22xFx,2yFy由公式得xydd.1222yxyx2.二元隐函数的求导公式设方程F(x,y,z)=0确定了隐函数z=z(x,y),若Fx，Fy，Fz连续，,0zF且两边分别对x，y求导，得,0xzFFzx.0yzFFzy这就是二元隐函数的求导公式.zyzxFFyzFFxz,0,zF因为所以例6,zxyz设求.dz解因为,lnzzFxx,1zyyzF,ln1yyxzFzxz所以,lnln1yyzxzzxzzxx令.),,(zxyzzyxF故xxzyyzzzxzxdlnlnd1.lnd11yyzxyyzzxz,ln11yyzxzyyzzxz例7设,432222zyx求.,2yxzxz解令.432),,(222zyxzyxF,2xFx,4yFy.6zFz所以xzzx62,3zxyz,3264zyzy再求二阶导数，有xzyyxz2zyx13yzzx213zyzx3232.923zxy例8设,0),(bzcyazcx其中a,b,c为常数，函数可微).0(21ba证两边对x求导.0)()(21xzbxzac解得211bacxz①证明,cyzbxza同理212bacyz②a①+b②于是有.cyzbxza即为所证.