北京大学量子力学课件第七章 量子跃迁

目录第一章量子力学的诞生第二章波函数和Schrodinger方程第三章一维定态问题第四章量子力学中的力学量第五章态和力学量表象第六章近似方法第七章量子跃迁第八章自旋与全同粒子附录科学家传略第一章量子力学的诞生•§1经典物理学的困难§2量子论的诞生§3实物粒子的波粒二象性§1含时微扰理论§2量子跃迁几率§3光的发射和吸收第七章量子跃迁返回§1含时微扰理论(一)引言（二）含时微扰理论返回(一)引言上一章中，定态微扰理论讨论了分立能级的能量和波函数的修正，所讨论的体系Hamilton算符不显含时间，因而求解的是定态Schrodinger方程。本章讨论的体系其Hamilton算符含有与时间有关的微扰，即：)(ˆ)(ˆ0tHHtH因为Hamilton量与时间有关，所以体系波函数须由含时Schrodinger方程解出。但是精确求解这种问题通常是很困难的，而定态微扰法在此又不适用，这就需要发展与时间有关的微扰理论。含时微扰理论可以通过H0的定态波函数近似地求出微扰存在情况下的波函数，从而可以计算无微扰体系在加入含时微扰后，体系由一个量子态到另一个量子态的跃迁几率。)(ˆtHtinnnH0ˆ假定H0的本征函数n满足：H0的定态波函数可以写为：n=nexp[-iεnt/]满足左边含时S-方程：nnHti0ˆ定态波函数n构成正交完备系，整个体系的波函数可按n展开：nnnta)(代入nnnnnntatHtati)()(ˆ)(nnnnnnnnnnnntHtaHtattaitadtdi)(ˆ)(ˆ)()()(0因H’(t)不含对时间t的偏导数算符,故可与an(t)对易。nnHti0ˆnnnnnntHtatadtdi)(ˆ)()(相消（二）含时微扰理论nnnnnntHtatadtdi)(ˆ)()(以m*左乘上式后对全空间积分dtHtadtadtdinmnnnmnn)(ˆ)()(**detHtatadtditinmnnmnnnnm/][*)(ˆ)()(timnnnmmneHtatadtdiˆ)()(频率微扰矩阵元其中BohrdtHHnmmnnmmn][1)(ˆˆ*该式是通过展开式改写而成的Schrodinger方程的另一种形式。仍是严格的。nnnta)(求解方法同定态微扰中使用的方法：（1）引进一个参量，用H’代替H’（在最后结果中再令=1）；（2）将an(t)展开成下列幂级数；)2(2)1()0(nnnnaaaa（3）代入上式并按幂次分类；timnnnnntimnnnnnmmmmnmneHaaaeHaaadtdadtdadtdaiˆ][ˆ][)2(3)1(2)0()2(2)1()0()2(2)1()0(timnnnmtimnnnmmmnmneHadtdaieHadtdaidtdaˆˆ0)1()2()0()1()0((4)解这组方程，我们可得到关于an的各级近似解，近而得到波函数的近似解。实际上，大多数情况下，只求一级近似就足够了。（最后令=1，即用H’mn代替H’mn，用am(1)代替am(1)。）零级近似波函数am(0)不随时间变化，它由未微扰时体系所处的初始状态所决定。假定t0时，体系处于H0的第k个本征态k。而且由于exp[-int/]|t=0=1，于是有：nnnnnnnnnnkaaaa])0()0([)0()1()0()0()0(比较等式两边得)0()0()1()0(nnnkaa比较等号两边同幂次项得：0)0()0()0()2()1()0(nnnknaaa因an(0)不随时间变化，所以an(0)(t)=an(0)(0)=nk。t0后加入微扰，则第一级近似：timnnnmmneHadtdaiˆ)0()1(timktimnnknmknmneHieHidtdaˆ1ˆ1)1(dteHiattimktmknˆ10)1(积分得：对an(0)(t)=nk§2量子跃迁几率返回（一）跃迁几率（二）一阶常微扰（三）简谐微扰（四）实例（五）能量和时间测不准关系mmmta)(体系的某一状态t时刻发现体系处于m态的几率等于|am(t)|2dteHitatatatimktmkmmmmk0)1()0(1)()()(am(0)(t)=mk末态不等于初态时mk=0，则)()()1(tatamm所以体系在微扰作用下由初态k跃迁到末态m的几率在一级近似下为：202)1(1|)(|dteHitaWtimktmmkmk（一）跃迁几率（1）含时Hamilton量设H’在0tt1这段时间之内不为零，但与时间无关，即：1100)(ˆ00ˆttttrHtH（2）一级微扰近似am(1)dteHitatimktmmk0)1(1)(dteiHtitmkmk011timkmktimkmkmkmkeHeH2/2/2/tititimkmkmkmkmkeeeH)sin(2212/tieHmktimkmkmkttimkmkmkeiiH01H’mk与t无关(0tt1)（二）一阶常微扰（3）跃迁几率和跃迁速率2)1(|)(|taWmmk2212/)sin(2tieHmktimkmkmk222122)(sin||4mkmkmktH极限公式：)()(sin22limxxx则当t→∞时上式右第二个分式有如下极限值：)()(sin21221212limmkmkmktt于是：)(||22kmmkmkHtW跃迁速率：)(||22kmmkmkmkHtW)(2km)(2km（4）讨论1.上式表明，对于常微扰，在作用时间相当长的情况下，跃迁速率将与时间无关，且仅在能量εm≈εk，即在初态能量的小范围内才有较显著的跃迁几率。在常微扰下，体系将跃迁到与初态能量相同的末态，也就是说末态是与初态不同的状态，但能量是相同的。2.式中的δ(εm-εk)反映了跃迁过程的能量守恒。3.黄金定则设体系在εm附近dεm范围内的能态数目是ρ(εm)dεm，则跃迁到εm附近一系列可能末态的跃迁速率为：mkmmd)()(||2)(2kmmkmmHd)(||22mmkH（1）Hamilton量t=0时加入一个简谐振动的微小扰动：0cosˆ00)(ˆttAttH为便于讨论，将上式改写成如下形式0][ˆ00)(ˆteeFttHtitiF是与t无关只与r有关的算符（2）求am(1)(t)H’(t)在H0的第k个和第m个本征态φk和φm之间的微扰矩阵元是：kmmktHH|)(ˆ|ktitimeeF|][ˆ|][|ˆ|titikmeeF][titimkeeF（三）简谐微扰dteeeiFtatitititmkmmk][)(0)1(dteeiFtititmkmkmk][][][0titiitimkmkmkmkmkeeiF0][][][][][][][][11mkmkmkmktitimkeeF（2）几点分析(I)当ω=ωmk时，微扰频率ω与Bohr频率相等时，上式第二项分子分母皆为零。求其极限得：itemkmkmkti][][1limiteFtamkmktimkm22)1(1)(第二项起主要作用(II)当ω=ωmk时，同理有：mkmktimkmeitFta22)1(1)(第一项起主要作用(III)当ω≠±ωmk时，两项都不随时间增大总之，仅当ω=±ωmk=±(εm–εk)/或εm=εk±ω时，出现明显跃迁。这就是说，仅当外界微扰含有频率ωmk时，体系才能从φk态跃迁到φm态，这时体系吸收或发射的能量是ωmk。这说明我们讨论的跃迁是一种共振现象。因此我们只需讨论ω≈±ωmk的情况即可。（3）跃迁几率当ω=ωmk时，略去第一项，则mkmktimkmeFa1][)1(此式与常微扰情况的表达式类似，只需作代换：H'mk→Fmk,ωmk→ωmk-ω，常微扰的结果就可直接引用，于是得简谐微扰情况下的跃迁几率为：)(||2)][(||2)(2||212222kmmkkmmkmkmkmkFtFttFW同理，对于ω=-ωmk有：)(||22kmmkmkFtW二式合记之：)(||22kmmkmkFtW（4）跃迁速率)(||22kmmkmkmkFtW)(||222mkmkmkF或：（5）讨论1.δ(εm-εk±ω)描写了能量守恒：εm-εk±ω=0。2.εkεm时，跃迁速率可写为：)(||22kmmkmkF也就是说，仅当εm=εk-ω时跃迁几率才不为零，此时发射能量为ω的光子。3.当εkεm时，)(||22kmmkmkF4.将式中角标m,k对调并注意到F的厄密性，即得体系由m态到k态的跃迁几率：)(||22mkkmkmF即体系由Φm→Φk的跃迁几率等于由Φk→Φm的跃迁几率。])[(||22kmmkF)(||22kmmkFmk例1.设t=0时，电荷为e的线性谐振子处于基态。在t0时，附加一与振子振动方向相同的恒定外电场，求谐振子处在任意态的几率。解：xeHˆdteHitatimktmmk0)1(1)(dtexietimktmk0t=0时，振子处于基态，即k=0。tmtimieiem0010211]1[2010timmmee式中m,1符号表明，只有当m=1时，am(1)(t)≠0，dteietitmm00121111*0*0211)(211)()()(mmmmdxxxdxxxxxdtexietimtm000（四）实例2102)1(110)1(210tieeaW所以)1)(1(210102102222titieee)1(2)(1010)1(1tieeta结论：外加电场后，谐振子从基态ψ0跃迁到ψ1态的几率是W0→1，而从基态跃迁到其他态的几率为零。)](2[210102102222titieee)]cos(1[102102222te例2.量子体系其本征能量为：E0,E1,...,En,...，相应本征态分别是：|0,|1,...,|n,...，在t≤0时处于基态。在t=0时刻加上微扰：)0()(ˆ),(ˆ/texFtxH试证：长时间后，该体