2013年安徽高考数学(理科)卷及答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷和第II卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第II卷第3至第4页。全卷满分150分，考试时间为120分钟。参考公式：如果事件A与B互斥，那么()()()PABPAPB如果事件A与B相互独立，那么()()()PABPAPB第Ⅰ卷（选择题共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）设i是虚数单位，_z是复数z的共轭复数，若z+2=2zzi，则z=（A）1+i（B）1i（C）1+i（D）1-i（2）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（A）16（B）2524（C）34（D）1112版权所有：()（3）在下列命题中，不是．．公理的是（A）平行于同一个平面的两个平面相互平行（B）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（C）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内（D）如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线（4）0a“是函数()=(-1)fxaxx在区间(0,+)内单调递增”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（5）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（A）这种抽样方法是一种分层抽样（B）这种抽样方法是一种系统抽样（C）这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差（D）该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数（6）已知一元二次不等式()0fx的解集为1|-12xxx或，则(10)0xf的解集为（A）|-1lg2xxx或（B）|-1lg2xx（C）|-lg2xx（D）|-lg2xx（7）在极坐标系中，圆=2cosp的垂直于极轴的两条切线方程分别为（A）=0()cos=2R和（B）=()cos=22R和（C）=()cos=12R和（D）=0()cos=1R和（8）函数=()yfx的图像如图所示，在区间,ab上可找到(2)nn个不同的数12,...,,nxxx使得1212()()()==,nnfxfxfxxxx则n的取值范围是（A）3,4（B）2,3,4（C）3,4,5（D）2,3（9）在平面直角坐标系中，o是坐标原点，两定点,AB满足2,OAOBOAOB则点集,1,,|POPOAOBR所表示的区域的面积是（A）22（B）23（C）42（D）43（10）若函数3()=+ax+b+fxxxc有极值点1x，2x，且11()=fxx，则关于x的方程213(())+2a()+=0fxfxb的不同实根个数是（A）3（B）4（C）5（D）62013普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）第Ⅱ卷（非选择题共100分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．。二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在答题卡的相应位置。（11）若83axx的展开式中4x的系数为7，则实数a_________。（12）设ABC的内角,,ABC所对边的长分别为,,abc。若2bca，则3sin5sin,AB则角C_________.（13）已知直线ya交抛物线2yx于,AB两点。若该抛物线上存在点C，使得ABC为直角，则a的取值范围为___________。（14）如图，互不相同的点12,,,nAAX和12,,,nBBB分别在角O的两条边上，所有nnAB相互平行，且所有梯形11nnnnABBA的面积均相等。设.nnOAa若121,2,aa则数列na的通项公式是____________。（15）如图，正方体1111ABCDABCD的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段1CC上的动点，过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S。则下列命题正确的是_________（写出所有正确命题的编号）。①当102CQ时，S为四边形②当12CQ时，S为等腰梯形③当34CQ时，S与11CD的交点R满足1113CR④当314CQ时，S为六边形⑤当1CQ时，S的面积为62三.解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在答题卡上的指定区域内。（16）（本小题满分12分）已知函数()4cossin(0)4fxxx的最小正周期为。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）讨论()fx在区间0,2上的单调性。（17）（本小题满分12分）设函数22()(1)fxaxax，其中0a，区间|()0Ixfx（Ⅰ）求的长度（注：区间(,)的长度定义为）；（Ⅱ）给定常数(0,1)k，当时，求l长度的最小值。（18）（本小题满分12分）设椭圆2222:11xyEaa的焦点在x轴上（Ⅰ）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；（Ⅱ）设12,FF分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆E上的第一象限内的点，直线2FP交y轴与点Q，并且11FPFQ，证明：当a变化时，点p在某定直线上。（19）（本小题满分13分）如图，圆锥顶点为p。底面圆心为o，其母线与底面所成的角为22.5°。AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦，轴OP与平面PCD所成的角为60°，（Ⅰ）证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；（Ⅱ）求cosCOD。（20）（本小题满分13分）设函数22222()1(,)23nnnxxxfxxxRnNn，证明：（Ⅰ）对每个nnN，存在唯一的2[,1]3nx，满足()0nnfx；（Ⅱ）对任意npN，由（Ⅰ）中nx构成的数列nx满足10nnpxxn。（21）（本小题满分13分）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加（n和k都是固定的正整数）。假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到。记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为x（Ⅰ）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；（Ⅱ）求使()PXm取得最大值的整数m数学（理科）试题参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分50分。（1）A(2)D(3)A(4)C(5)C(6)D(7)B(8)B(9)D(10)A二、填空题：本题考查基本知识运算，每小题5分，满分25分。（11）21（12）32（13），1（14）32nan（15）①②③⑤三、解答题(16)（本小题满分12分）:本题考查三角恒等变换和三角函数的图像及基本性质等基础知识和基本技能,考查逻辑推理能力运算求解能力.解：（Ⅰ）4sincos4xxxf24cos(sincoscossin)4422cos(sincos)22(cossincos)2sin22cos222sin(2)24xxxxxxxxxxxx.因为()fx的最小正周期为，且0，从而有22，故1。（Ⅱ）由（Ⅰ）知()2sin(2)24fxx，若02x，则52444x当2442x，即08x时，()fx单调递增，当52244x，即82x时，()fx单调递减，综上可知，()fx在区间0,8上单调递增，在区间,82上单调递减。（17）（本小题满分12分）：本题主要考查二次不等式的求解，以及导数的计算和应用等基础知识和基本技能、考查分类讨论思想和综合运用数学知识解决问题的能力。解：（Ⅰ）因为方程22(1)0(0)axaxa有两个实根1220,1axxa，()0fx的解集为12xxxx，因此区间20,1aIa，I的长度为21aa。（Ⅱ）设2()1adaa，则2'221()1adaa，令'()0da，得1a，由于01k，故当11ka时，'()0da，()da单调递增；当11ak时，'()0da，()da单调递减；所以当11kak时，()da的最小值必定在1ak或1ak取得，而2322321(1)21(1)11(1)21(1)kdkkkkkdkkkk，故(1)(1)dkdk。因此当1ak时，()da在区间1,1kk上取得最小值2312kkk。（18）（本小题满分12分）:本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质，直线和椭圆的位置关系等基础知识和基本技能，考察数形结合的思想，逻辑推理能力和运算求解能力。解：（Ⅰ）因为焦距为1，所以21214a，解得258a，故椭圆E的方程为2288153xy。（Ⅱ）设0012(,),(,0),(,0)PxyFcFc，其中221ca，由题设知0xc，则直线1FP的斜率100FPykxc，直线2FP的斜率200FPykxc，故直线2FP的方程为00()yyxcxc，当0x时00cyycx，即点Q的坐标为000,cycx,因此直线1FQ的斜率为100FQykcx，由于11FPFQ，所以1100001FpFQyykkcxcxg化简得22200(21)yxa将上式代入椭圆E的方程，由于00(,)Pxy在第一象限，解得2200,1xaya，即点P在直线1xy上。（19）（本小题满分13分）:本题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系，直线与平面、直线与直线间所成角的计算等基础知识和基本技能，考查空间概念、推理论证能力和运算求解能力。解：（Ⅰ）证明;设面PAB与面PCD的交线为l，因为//ABCD，AB不在面PCD内，所以//ABPCD面,又因为ABPAB面,面PAB与面PCD的交线为l，所以//ABl，由直线AB在底面上，而l在地面外可知，l与底面平行。8（Ⅱ）解：设CD的中点为F，连接,OFPF,由圆的性质，2,CODCOFOFCD,因为,OPOPCDOPOFOOPF底面，CD底面，所以，又故CD面又CDPCD面,因此OPFPCD面面,而直线OP在面PCD上的射影为直线PF，故OPF为OP与面PCD所成的角，由题设，60OPFo设=OPh，则•tantan603OFOPOPFhho，根据题设有22.5OCPo,得tantan22.5OPhOCOCPo，由22tan22.51tan451tan22.5ooo和tan22.50o，可解得tan22.521o，因此(21)21hOCh，在RtOCFV中，3cos63(21)OFhCOFOCh，故22coscos(2)2cos12(63)117122CODCOFCOF。（20）（本小题满分13分）:本题主要考查函数的导数及其应用，函数零点的判定，等比数列的求和，以及不等式的放缩等基础知识和基本技能，考查综合运用知识分析和解决问题的能力，推理论证和运算求解能力。解：（Ⅰ）对每个*nN，当0x时，1'()102nnxxfxnL，故()nfx在(0,)内单调递增。由于1()0fx，当2n，222111(1)023nfnL，故(1)0nf