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七年级（下）第五章生活中的轴对称轴对称的应用-----将军饮马问题相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．你知道海伦是如何帮助将军解决问题的吗？BAl将军饮马激疑引趣任务驱动启迪智慧问题图形语言描述1、截至目前，你学到那些最短问题？AB两点之间，线段最短。ALO直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短。2、如图，A,B两点位于直线L的两侧，你能在直线L上找一点P，使得点p到A、B两点距离之和最短吗？ABLP将直线异侧的两点A、B直接连接，交直线L于点P，此时PA+PB最短。问题图形语言描述3、你能把“将军饮马问题”转化成具体的数学问题吗？任务驱动启迪智慧ABLP？A、B两点位于直线L的同侧，在直线L上找一点P，使得点P到A、B两点的距离之和最小。4、怎样才能找到符合条件的点P呢？问题3与问题2的区别在哪？你能把问题3转化成问题2的情形吗？通过照镜子：你能得到什么启发呢？镜子AA′像p照镜子：物和像关于镜面成抽对称，镜面上的任意一点到物和像对应点的距离相等。5、通过以上学习和讨论，你知道海伦是怎样帮助将军解决问题的了吗？BAlB′P探索新知6、为什么这样找到的点P，就能使得PA+PB最短呢？你能尝试证明吗？探究新知ABLB/PQ证明：在直线L上任意取不同于点P的一点Q，连接QA、QB、QB/，如图所示。∵PA+PB=PA+PB/=AB/QA+QB=QA+QB/又∵AB/＜QA+QB/(两点之间线段最短或三角形中两边之和大于第三边）∴PA+PB＜QA+QB即此时点P使得PA+PB的值最小小试牛刀如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，已知居民区A、B分别距离街道1km、2km，两居民区水平距离4km，请问奶站修建在什么地方才能使得A，B到它的距离之和最短？最短距离是多少？居民区A居民区B街道PA/CAB如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人要从马厩牵出马，先到草地某一处牧马，再到河边饮水,然后回到帐篷,请帮他确定这一天的最短路线NMA’B’草地河小试牛刀民中造桥选址问题如图，民中学生宿舍A和教学楼B在小米溪河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处才能使同学们上学路程最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）AB再攀高峰AM+MN+BN在什么情况下最短？ABMN思维分析再攀高峰合作交流，解决问题ABA′MN再攀高峰归纳提升同学们，通过本堂课的学习，你学到了哪些知识？有哪些收获？1、平面上，在直线上找一点使得到线外两定点的距离之和最小。2、本节课所用到的数学思想：转化与化归折线路径直线段路径转化与化归轴对称性质课后拓展延伸课后作业1、如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=600，E是AB的中点，点P是对角线AC上的一个动点，请找出使得PE+PB的值最小时点P的位置（找出位置即可）AEPDCB异侧BALABL同侧☆2、利用轴对称的性质，类比本节课所学尝试在直线l上找一点P,让PB与PA的差最大，并给出证明！课后拓展延伸2016.4