1第一章 线性规划及单纯形法

第一章线性规划及单纯形法1．线性规划介绍2．线性规划数学模型3．线性规划标准形式4．线性规划的图解法5．线性规划基本概念6．单纯形法7．应用举例第一章1．线性规划介绍历史悠久，理论成熟，应用广泛运筹学的最基本的方法之一，网络规划、整数规划、目标规划和多目标规划都是以线性规划为基础的。解决稀缺资源最优分配的有效方法，使付出的费用最小或获得的收益最大。第一章线性规划理论的发展：1939年前苏联康托洛维奇（KOHTOPOBUZ）《生产组织与计划中的数学方法》提出“解乘数法”。1．线性规划介绍列奥尼德·康托罗维奇，前苏联人，由于在1939年创立了享誉全球的线形规划要点，对资源最优分配理论做出了贡献，而获得诺贝尔经济学奖。第一章美国科学院院士DANTZIG（丹齐克），1948年在研究美国空军资源的优化配置时提出线性规划及其通用解法“单纯形法”。被称为线性规划之父。1．线性规划介绍线性规划之父的Dantzig(丹齐克)。据说，一次上课，Dantzig迟到了，仰头看去，黑板上留了几个几个题目，他就抄了一下，回家后埋头苦做。几个星期之后，疲惫的去找老师说，这件事情真的对不起，作业好像太难了，我所以现在才交，言下很是惭愧。几天之后，他的老师就把他召了过去，兴奋的告诉他说他太兴奋了。Dantzig很不解,后来才知道原来黑板上的题目根本就不是什么家庭作业，而是老师说的本领域的未解决的问题，他给出的那个解法也就是单纯形法。这个方法是上个世纪前十位的算法。第一章1．线性规划介绍1960年，“最佳资源利用的经济计算”康托洛维奇和库伯曼斯(Koopmans)。两人因对资源最优分配理论的贡献而获1975年诺贝尔经济学奖佳林·库普曼斯，美国人，他将数理统计学成功运用于经济计量学，对资源最优分配理论做出了贡献。第一章1961年，查恩斯与库伯提出了目标规划，艾吉利提出了用优先因子来处理多目标问题。20世纪70年代，斯．姆．李与杰斯开莱尼应用计算机处理目标规划问题。计算机50约束100变量30000约束3000000变量1．线性规划介绍第一章从1964年诺贝尔奖设经济学奖后，到1992年28年间的32名获奖者中有13人(40%)从事过与线性规划有关的研究工作，其中著名的有Simon，Samullson，Leontief，Arrow，Miller等。1．线性规划介绍保罗-萨缪尔逊（PAULASAMUELSON）,他发展了数理和动态经济理论，将经济科学提高到新的水平。他的研究涉及经济学的全部领域。于1970年获得诺贝尔经济学奖。华西里·列昂惕夫（WASSILYLEONTIEF），美国人，他发展了投入产出方法，该方法在许多重要的经济问题中得到运用。曾获1973年诺贝尔经济科学奖。肯尼斯-J-阿罗（KENNETHJ.ARROW）,美国人，因与约翰-希克斯（JOHNR.HICKS）共同深入研究了经济均衡理论和福利理论获得1972年诺贝尔经济学奖。牟顿-米勒（MERTONM.MILLER）,1923-2000,美国人,由于他在金融经济学方面做出了开创性工作，于1990年获得诺贝尔经济奖。第一章1．线性规划介绍线性规划研究的主要问题：有一定的人力、财力、资源条件下，如何合理安排使用，效益最高?某项任务确定后，如何安排人、财、物，使之最省?第一章例1美佳公司计划制造I，II两种家电产品。已知各制造一件时分别占用的设备A、B的台时、调试时间及A、B设备和调试工序每天可用于这两种家电的能力、各售出一件时的获利情况如表I—l所示。问该公司应制造A、B两种家电各多少件，使获取的利润为最大？项目III每天可用能力设备A（h）设备B（h）调试工序（h）06152115245利润（元）212．线性规划数学模型第一章例2捷运公司拟在下一年度的1-4月的4个月内需租用仓库堆放物资。已知各月份所需仓库面积数列见下表。仓库租借费用随合同期定，期限越长折扣越大，具体数字见下表。租借仓库的合同每月初都可办理，每份台同具体现定租用面积数和期限。因此该厂可根据需要，在任何一个月初办理租借台同。每次办理时可签一份，也可签若干份租用面积和租借期限不同的合同，试确定该公司签订租借合同的最优决策，目的是使所付租借费用最小。月份1234所需仓库面积15102012合同租借期限1个月2个月3个月4个月合同期内的租费28004500600073002．线性规划数学模型第一章目标函数约束条件解：用变量x1和x2分别表示美佳公司制造家电I和II的数量。项目III每天可用能力设备A（h）设备B（h）调试工序（h）06152115245利润（元）21例1212maxxxz0,52426155..2121212xxxxxxxts用数学语言描述2．线性规划数学模型第一章解：设变量xij表示捷运公司在第i(i＝1．…，4)个月初签订的租借期为j〔j＝1，…，4)个月的仓库面积的合同(单位为100m2)。约束条件目标函数例2月份1234所需仓库面积15102012合同租借期限1个月2个月3个月4个月合同期内的租费2800450060007300142313322212413121117300)(6000)(4500)(2800minxxxxxxxxxxz)4...1;4...1(012201015..4132231432312322141323222114131214131211jixxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxtsij2．线性规划数学模型第一章AB备用资源煤1230劳动日3260仓库0224利润4050求：最大利润的生产计划。练习1生产计划问题2．线性规划数学模型第一章maxZ=40x1+50x2解:设产品A,B产量分别为变量x1，x2x1+2x2303x1+2x2602x224x1，x20s.t.2．线性规划数学模型第一章求：最低成本的原料混合方案？原料ABＣ每单位成本14102261253171642538每单位添加剂中维生12148素最低含量练习2混合配料问题2．线性规划数学模型第一章解：设每单位添加剂中原料i的用量为xi(i=1,2,3,4)minZ=2x1+5x2+6x3+8x44x1+6x2+x3+2x412x1+x2+7x3+5x4142x2+x3+3x48xi0(i=1,…,4)s.t.2．线性规划数学模型第一章决策变量：向量(x1…xn)T决策人要考虑和控制的因素。非负约束条件：线性等式或不等式目标函数：Z=ƒ(x1…xn)线性式，求Z极大或极小线性规划模型特点2．线性规划数学模型第一章如果规划问题的数学模型中，决策变量的取值可以是连续的，目标函数是决策变量的线性函数，约束条件是含决策变量的线性等式或不等式，则该类规划问题的数学模型称为线性规划的数学模型。实际问题中线性的含义：一是严格的比例性。如生产某产品对资源的消耗量和可获取的利润，同其生产数量严格成比例。二是可叠加性。如生产多种产品时对某项资源的消耗量应等于各产品对该项资源的消耗量之和。2．线性规划数学模型第一章19max(min)Z=c1x1+c2x2+…+cnxnn个变量价值系数第i种资源的拥有量技术系数或工艺系数a11x1+a12x2+…+a1nxn(=,)b1a21x1+a22x2+…+a2nxn(=,)b2………am1x1+am2x2+…+amnxn(=,)bmxj0(j=1,…,n)s.t.线性规划的一般式2．线性规划数学模型第一章njjjxcz1max(min)),,2,1(0),,2,1(.1njxmibxastjinjjij线性规划的简写式2．线性规划数学模型第一章CXzmax(min)0),(.1Xbxpstnjjj),...,,,(21ncccCnxxxX21mjjjjaaaP21mbbbb21线性规划的向量表示式2．线性规划数学模型第一章CXzmax(min)0),(.XbAXstmnmmnnaaaaaaaaaA............212222111211线性规划的矩阵表示式2．线性规划数学模型第一章比例性：决策变量变化引起目标的改变量与决策变量改变量成正比；可加性：每个决策变量对目标和约束的影响独立于其它变量；连续性：每个决策变量取连续值；确定性：线性规划中的参数aij,bi,ci为确定值。隐含的假设2．线性规划数学模型第一章仓库\工厂123库存121350222430334210需求401535练习3运输问题工厂需要的原棉存放在三个仓库中，现将原棉运往工厂以满足工厂生产的需求。已知原棉运到各个工厂的单位运费如表所示。问使总运费最小的运输方案？2．线性规划数学模型第一章解：设xij为i仓库运到j工厂的原棉数量(i=1,2,3j=1,2,3)minZ=2x11+x12+3x13+2x21+2x22+4x23+3x31+4x32+2x33x11+x12+x1350x21+x22+x2330x31+x32+x3310x11+x21+x31=40x12+x22+x32=15x13+x23+x33=35xij0st.2．线性规划数学模型第一章练习4连续投资10万元A：从第1年到第4年每年初投资，次年末回收本利1.15；B：第3年初投资，到第5年末回收本利1.25，最大投资4万元；C：第2年初投资，到第5年末回收本利1.40，最大投资3万元；D：每年初投资，每年末回收本利1.11。求：使5年末总资本最大的投资方案。分析：12345Ax1Ax2Ax3Ax4ABx3BCx2CDx1Dx2Dx3Dx4Dx5D2．线性规划数学模型第一章解：xik(i=1,2,…,5;k=A,B,C,D)为第i年初投资到第k个项目的资金数。MaxZ=1.15x4A+1.40x2C+1.25x3B+1.11x5Dx1A+x1D=10x2A+x2C+x2D=1.11x1Dx2C3x3A+x3B+x3D=1.15x1A+1.11x2Dx3B4x4A+x4D=1.15x2A+1.11x3Dx5D=1.15x3A+1.11x4Dxik0s.t.2．线性规划数学模型第一章线性规划问题应用市场营销(广告预算和媒介选择，竞争性定价，新产品开发，制定销售计划)生产计划制定(合理下料，配料，“生产计划、库存、劳力综合”)库存管理(合理物资库存量，停车场大小，设备容量)运输问题财政、会计(预算，贷款，成本分析，投资，证券管理)人事(人员分配，人才评价，工资和奖金的确定)设备管理(维修计划，设备更新)城市管理(供水，污水管理，服务系统设计、运用)2．线性规划数学模型第一章线性规划的适用情况要解决的问题的目标可以用数值指标反映对于要实现的目标有多种方案可选择有影响决策的若干约束条件2．线性规划数学模型第一章线性规划模型的结构目标函数：max，min约束条件：≥,=,≤变量符号：：≥0,≤0线性规划的标准形式目标函数：max约束条件：=变量符号：≥03．线性规划标准形式第一章标准型的一般型maxZ=c1x1+c2x2+…+cnxn其中bi0(i=1,2,…,m)a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2…………am1x1+am2x2+…+amnxn=bmxj0(j=1,2,…,n)s.t.3．线性规划标准形式第一章P1P2………Pna11a12………a1n其中A=a21a22………a2n…………………am1am2………amnx1x=x2xn…b1b=b2bm…C=(C1C2…Cn)标准型的矩阵型maxZ=CxAx=bx0b03．线性规划标准形式第一章x1Ax=(P1P2…Pn)x2=bxn…CXZmax