从美国微积分教材的演变看信息技术对教学内容的影响

从美国微积分教材的演变看信息技术对教学内容的影响2010.5美国微积分教学近几十年来经历了重大变革，变革的主要动力包括大学扩招的影响学习微积分的人数剧增，学生能够学会的微积分理论越来越少(在一些规模大的学校里，通过微积分期末考试的学生人数不到一半)微积分教学时数增加；设置荣誉班(提高班)；各类专门班(商业微积分，生物微积分)改革微积分教学内容和教学方法的呼声高涨年份1946195519651975198519952002招生人数(万)184.1237.9384.0969.71086.31471.51649.7美国微积分教学近几十年来经历了重大变革，变革的主要动力包括国际竞争的影响1957年与前苏联的“MoonRace”，使得对理论严格性的要求提高，出现了1960-70年代的所谓“新数学运动”(NewMathMovement)，其主要特征之一是强调用集合论的语言来构架数学教材方面代表性教材是上世纪60年代出版的由Apostol编写的Caculus，以“集合论的基本概念”开始，还介绍了实数系公理：良序原则，一致连续，一致收敛等同一时期出版的Thomas微积分第4版的函数是用有序实数对的集合来定义的微积分课程的设置也不断提前，越来越多的学生在高中已学过微积分，参加AP考试的中学生不断增加美国微积分教学近几十年来经历了重大变革，变革的主要动力包括信息技术发展的影响高效的数学软件(大大加强了计算、绘图、模拟功能)强大的网络技术(大大加强了资源的获取、交流，师生的互动，教学过程的实时反馈、监控，远程教学等)生动的计算机模拟(大大加强了抽象概念的数值化、图形化、可视化)精美的课件制作软件和技术(大大提高和丰富了对数学概念的表现能力)信息技术的发展为教学内容的改革创造了新的条件，也提出了新的课题：现代信息技术条件下的微积分教材应该是怎样的？本文考察的主要教材以下着重分析信息技术对微积分教材的内容所带来的影响。考察的教材主要是Thomas’AnalyticGeometry&Calculus的第4版(1960’),第7版(1988),10版(2004)和11版(2005)Calculus:AGraphingApproachbyFinney,Thomas,etal(1993)（他们就是Thomas教材的几个编者）CalculusbyApostol(第2版，1966)CalculusbyHowardAnton(第8版，2005)CalculusbyJ.Stewart(第3、5版，2003)CalculusbyHarvard大学协作组(1994)这些教材都在改革过程中发生较大作用：或是历史久，影响大；或是当前畅销；或是在改革方面作出巨大努力，开启先河信息化带来的微积分教材变化改变之一：教材构成从单一的纸质教材形成了立体化、系列化、网络化的教材上世纪60年代出版的Thomas’Calculus第4版与我国现在的通用教材的构成形式还是相当接近的(除了一些彩色插图)，但到了前几年出版的第10、11版，其构成形式已是有天壤之别了。近期美国教材的一般构成形式如下：教学资源纸质资源网上资源（选学材料、数学史料、用于测评和跟踪学习情况的电子评分手册、课程管理系统、习题生成和布置系统等）介质资源CD-ROM（教材增补、习题提示、探索题的背景资料、动画演示等）教材教师用书（教学指导书、习题全解、试题汇编）学生用书（学习指导书、习题选解）各种形式的附册：Printsupplements，Mediasupplements，Onlinesupplements信息化带来的微积分教材变化改变之二：由于信息技术发展提供的可能性，上世纪90年代后出版的一些改革教材(特别如由Harvard协作组编写的教材)都明确提出了“4规则”和“Archimedes方法”：4规则：每个概念都要从图形、数值、代数和语言4个方面描述Archimedes方法：形式化的数学定义与方法要根据其实际背景的考察而得出Thomas’Calculus编者的信念1993年,Finney,Thomas等编了“Calculus:AGraphingApproach”这本初级微积分教材.在前言中写道:将技术引进教学,能使所有学生学会微积分,把微积分课程变为“水泵”而非“过滤器”.借助技术,我们可以用数值和图形的方法来处理问题,为代数和分析方法提供直观显示,形象地模拟问题背景.技术使我们能在分析、几何、数值等表示形式之间自在地转换，探索它们之间的联系.这种联系使我们对微积分的理解变得更加丰富.该书处理问题的一个典型例子:在讲导数公式之前，先做如下的“ExplorewithaGrapher”:设1．对a=2,10,1/2,1/10,比较和的图象；2．根据操作1，对的图象施行怎样的变换，可得到的图象？3．你能否由1和2的结果，预测的导数公式？()lnxxaaaThomas’Calculus编者的信念()yfxNDer(,)yfx这类方法，到第10版的大学用微积分中，也有体现，如：()xfxa()yfxNDer(,)yfxxaThomas’Calculus编者的信念又例如,对函数y=f(x)的微分概念的引入Thomas'第4版总共只写了4页第一步微分定义：定义自变量x的微分dx为可取任何实数值的自变量；定义y的微分dy为由下式定义的自变量x和dx的函数：dy=f'(x)dx第二步给出微分dy的几何解释，并由图形显示但到Thomas第10版，微分定义分以下4步给出第一步图形显示：在局部范围，可微曲线y=x2的性态就象一条直线第二步分析表示：一般说来，在f(x)可微的点x=a处，曲线y=f(x)的切线方程是：y=f(a)+f(a)(x-a)，这里的切线方程，即线性函数L(x)=f(a)+f(a)(x-a)，就给出了f(x)的很好的近似。第三步用语言定义”线性化”：如果f在x=a处可微，那么近似函数L(x)=f(a)+f(a)(x-a)称为f在x=a处的线性化。第四步数值验证：在x=０处，近似式的精度211xx近似值｜真值-近似值｜10-210-310-5当x的值离开０较远时，误差就加大了，例如对x=2，线性化对的近似值为2，连一位小数的精度都没有。00250.12005.01005.1025.1205.0105.110.122.012.13Anton编教材处理方式举例这种突出数学概念的数值、几何等直观背景的做法在后期出版的美国微积分教材中被普遍采用。例如在Anton中，引入极限概念时，分成三大步关于极限的直观定义(描述性定义)，占13页利用直观定义计算常用极限和得出极限运算规则，占10页极限概念的精确化，得出ε-δ定义，占10页(作为选用内容)Harvard教材的处理方式举例在引入导函数概念后，为了加深对概念的理解，分三个方面举例讨论了导数的计算：求用图象给出的函数的导数；求用数值给出的函数的导数；求用公式给出的函数的导数.(对前两种方法，早期教材一般不介绍)接着问:从图象上,导数告诉了我们什么?并举脉冲导函数的例子,说明原函数是一个阶梯函数信息化带来的微积分教材变化改变之三：由于数学软件提供的便捷的画图功能，对数学概念的几何表示是大大地丰富了。下面这些例子均选自Thomas第11版。空间参数曲线信息化带来的微积分教材变化Logistic方程的斜率场与积分曲线信息化带来的微积分教材变化对Lagrange乘子法的几何解释利用二元函数的等值线确定最大(小)值的例子(在习题中出现)以上这些例子在Thomas第4版中都是没有的。信息化带来的微积分教材变化信息化带来的微积分教材变化值得指出，在后期出版的Thomas和其他微积分教材，都新增了很多将数学概念与图形紧密结合的例题或习题，强调对学生的“根据给定的信息作出相关图形”和“从给定的图中读出相关信息”的能力的培养(这方面的例子已在“比较研究”一文中提及,这里不在赘述).信息化带来的微积分教材变化这种变化的出现与计算机软件提供的强大的绘图功能是不无关系的以下两图分别取自Thomas的第4版和第7(及以后)版。都是表示sinx的Maclaurin多项式对sinx的逼近情况的。可见，新版书中的图形说明更清楚了信息化带来的微积分教材变化改变之四：由于数学软件提供的强大的计算功能，使教材对诸如方程近似解、数值计算、函数逼近中的误差估计等内容比以前更加重视，论述更加详尽，例题和习题更加丰富例如，定积分的数值计算Thomas第４版只介绍了梯形法(原理、误差公式)，2个简单例题和(取)，相关习题只有6个简单的计算题(总共篇幅为2.5页)212dxx21d1xx5n信息化带来的微积分教材变化Thomas第10、11版，专列“数值积分”一节。详细介绍了梯形法和Simpson法，它们的误差估计公式。例题中增加了用数值表给出被积函数的情况，还特别论述了分割数n取多大值时，可达到给定的精度要求。例题由2个增加到了9个习题的量及其涉及的内容大大扩充了，内容十分丰富–题量增加到了58个，有计算，有误差估计，有达到精度要求必须取的分割数–还有不少的应用题(比如鱼池中养鱼量的估计，跑车加速路程的估算，飞机机翼形状的设计，船舶排水量的估计等等)信息化带来的微积分教材变化值得指出：在加强图形和数值的同时，对理论严密性的要求有所降低。例如Thomas第4版在讲了定积分应用中的元素法后，专门加了一段长达3页的说明，指出在何种情况下，从找到的元素可得出准确的积分表达式，还进而介绍和证明了一个“Bliss定理”，由此严格推导出求曲线弧长的积分公式。又如在讲了曲面面积的计算公式后，又用了差不多2页篇幅，举例说明不能用曲面的内接多面体的表面积来逼近曲面面积。这些内容在后期的版本中都删除了信息化带来的微积分教材变化改变之五：作为信息技术发展的一个最直接的体现，在新版教材中都广泛应用图形计算器，计算机和CAS，都引进了称之为“ComputerExploration”或“AppliedProject”的数学实验的内容。以Thomas第11版为例，其习题中包含了三百道左右的被标以“T”和“ComputerExploration”的练习题，前者可用计算器和计算机解决，后者则要用CAS解决，这些习题在第4版中都是没有的实现微积分传统内容和计算机技术的有机结合，也使传统内容出现了新的面孔比如，“利用导数进行函数作图”这个传统内容，变成了先用计算机作图，再利用导数知识来捕捉关键点，或对计算机所作图形进行纠错“函数逼近”这部分内容，通过计算机模拟，成为一个非常直观和易于教学的内容剧场最佳座位的确定问题，变成一个更加接近实际的问题传统的最佳罐头外形问题，在Stewart的新版书中就发展成一个综合考虑材料浪费及制作成本的课题又如我们教材中《微分方程》一章有应用托里斥利定理计算液漏时间的问题，这在Stewart第五版中发展成高层建筑屋顶水箱喷水系统的实际课题，而这个课题是作者的朋友在北京设计一座高层建筑时碰到的实际问题。信息化带来的微积分教材变化改变之六：由于网络技术和应用的高速发展和普及，获取和加工资料变得非常便利，因此新版书中与教学内容相关的资源变得十分丰富，大大提高了教材的可读性.使用恰当的话，也能有力提高学生的学习兴趣．例如Anton书中一个函数概念的例(美国成年人平均香烟消费量的统计表)信息化带来的微积分教材变化获取资料的便利性不仅仅丰富了教学内容(如历史资料、背景说明等等)，而且还使一些学科交叉的内容也被吸收进教材，开阔了教学思路例如Stewart书中的MonteCarlo积分法120(1)sin[100(1)]dxxxxxThomas新版书中的牛顿迭代法中的“fractalbasins”(分形盆)现象信息化带来的微积分教材变化信息化带来的微积分教材变化变化之七:发达的网络技术，也使得新版教材中的各类应用题所涉及的方面大大扩充，内容更加丰富，成为新版教材的一个重要特色突出例子是由哈佛