2019年高考理科数学北京卷理数(附参考答案和详解)

第1页（共12页）绝密★启用前6月7日15:00-17:002019年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理工农医类）总分：150分考试时间：120分钟★祝考试顺利★注意事项：1、本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。2、选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。4、考试结束后，将本试卷和答题卡一并上交。第I卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.（2019北京卷·理）已知复数2iz，则zz（）A.3B.5C.3D.5【解析】因为2iz，所以2iz，所以(2i)(2i)5zz.故选D.【答案】D2.（2019北京卷·理）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A.1B.2C.3D.4第2页（共12页）【解析】1,1ks；第一次循环：2s，判断3,2kk；第二次循环：2s，判断3,3kk；第三次循环：2s，判断3k.故输出2，故选B.【答案】B3.（2019北京卷·理）已知直线l的参数方程为13,24xtyt（t为参数），则点(1,0)到直线l的距离是（）A.15B.25C.45D.65【解析】由题意可知直线l的普通方程为4320xy，由点到直线的距离公式可得点(1,0)到直线l的距离22|41302|654(3)d.故选D.【答案】D4.（2019北京卷·理）已知椭圆22221(0)xyabab的离心率为12，则（）A.222abB.2234abC.2abD.34ab【解析】因为椭圆的离心率为12cea，所以224ac.又222abc，所以2234ab.故选B.【答案】B5.（2019北京卷·理）若x，y满足||1xy，且1y，则3xy的最大值为（）A.7B.1C.5D.7【解析】由||1xy，且1y，得10,10,1.xyxyy作出可行域如图阴影部分所示.设3zxy，则3yxz，作直线0:3lyx，并进行平移.显然当0l经过点(2,1)A时，z取得最大值，max3215z.故选C.【答案】C第3页（共12页）6.（2019北京卷·理）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足12125lg2EmmE，其中星等为km的星的亮度为(1,2)kEk．已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）A.10.110B.10.1C.lg10.1D.10.110【解析】由题意知，126.7m，21.45m，代入所给公式得1251.45(26.7)lg2EE，所以12lg10.1EE，所以10.11210EE.故选A.【答案】A7.（2019北京卷·理）设点A，B，C不共线，则“ABuuur与ACuuur的夹角为锐角”是“ABACBCuuuruuuruuur”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】因为设点A，B，C不共线，由向量加法的三角形法则，可知BCACABuuuruuuruuur，所以||||ABACBCuuuruuuruuur等价于||||ABACACABuuuruuuruuuruuur，因模为正，故不等号两边平方得22222||||cos2||||cosABACABACACABACABuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur（为ABuuur与ACuuur的夹角），整理得4||||cos0ABACuuuruuur，故cos0，即为锐角.又以上推理过程可逆，所以“ABuuur与ACuuur的夹角为锐角”是“ABACBCuuuruuuruuur”的充分必要条件.故选C.【答案】C8.（2019北京卷·理）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线22:1||Cxyxy就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是（）第4页（共12页）A.①B.②C.①②D.①②③【解析】由221||xyxy，当0x时，1y；当0y时，1x；当1y时，01x，.故曲线C恰好经过6个整点：(0,1)A，(0,1)B，(1,0)C，(1,1)D，(1,0)E，(1,1)F，所以①正确.由基本不等式，当0y时，22221||1||12xyxyxyxy，所以222xy，所以222xy，故②正确.如图，由①知矩形CDFE的面积为2，△BCE的面积为1，所以曲线C所围成的“心形”区域的面积大于3，故③错误.故选C.【答案】C第Ⅱ卷二、填空题：本题共6小题，每小题5分。9.（2019北京卷·理）函数2()sin2fxx的最小正周期是．【解析】由降幂公式得21cos411()sin2cos4,222xfxxx所以最小正周期242T.【答案】π210.（2019北京卷·理）设等差数列{}na的前n项和为nS，若23a，510S，则5a，nS的最小值为．【解析】因为213daa，5151010Sad，所以14,1ad，所以5140aad，所以通项公式1(1)5naandn.令0na，得5n，即数列{}na的前4项为负，50a，第6项及以后的项为正.所以nS的最小值为4510SS.第5页（共12页）【答案】0，1011.（2019北京卷·理）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为．【解析】由题意知，去掉的四棱柱的底面为直角梯形，底面积(24)226S，高等于正方体的棱长4，所以去掉的四棱柱的体积为6424.又正方体的体积为3464，所以该几何体的体积为642440.【答案】4012.（2019北京卷·理）已知l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：①lm；②mP；③l．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：．【解析】已知l，m是平面外的两条不同直线，由①lm与②mP，不能推出③l，因为l与可以平行，也可以相交但不垂直；由①lm与③l能推出②mP；由②mP与③l能推出①lm.故正确的命题是②③①或①③②.【答案】若lm，l，则mP（答案不唯一）13.（2019北京卷·理）设函数()eexxfxa（a为常数）．若()fx为奇函数，则a；若()fx是R上的增函数，则a的取值范围是．【解析】因为()eexxfxa（a为常数）的定义域为R，所以00(0)10eeafa，所以1a.而()eeeexxxxafxa，由于()fx是R上的增函数，所以()0fx在R上恒成立.第6页（共12页）又2e0x，所以0a，即a的取值范围是(,0]【答案】1，(,0]14.（2019北京卷·理）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当10x时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为．【解析】①顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，原价应为6080140（元），超过了120元可以优惠，所以当10x时，顾客需要支付14010130（元）.②由题知，当x确定后，顾客可以得到的优惠金额是固定的，所以顾客支付的金额越少，优惠的比例越大.而顾客想要得到优惠，最少要一次购买2盒草莓，此时顾客支付的金额为(120)x元，所以列出不等式(120)80%1200.7x，解得15x.即x的最大值为15.【答案】130，15三、解答题：本题共80分。15.（2019北京卷·理）在ABC△中，3a，2bc，1cos2B．（1）求b，c的值；（2）求sin()BC的值．【解析】（1）由余弦定理2222cosbacacB，得22213232bcc．因为2bc，所以2221(2)3232ccc．解得5c．所以7b．（2）由1cos2B得3sin2B．由正弦定理得53sinsin14cCBb．在ABC△中，B是钝角，所以C为锐角．第7页（共12页）所以211cos1sin14CC．所以43sin()sincoscossin7BCBCBC．16.（2019北京卷·理）如图，在四棱锥-PABCD中，PAABCD平面，ADCD，ADBCP，2PAADCD，3BC．E为PD的中点，点F在PC上，且13PFPC．（1）求证：CDPAD平面；（2）求二面角--FAEP的余弦值；（3）设点G在PB上，且23PGPB．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．【解析】（1）因为PAABCD平面，所以PACD．又因为ADCD，所以CDPAD平面．（2）过A作AD的垂线交BC于点M．因为PAABCD平面，所以PAAM，PAAD．如图建立空间直角坐标系-Axyz，则(0,0,0)A，(2,1,0)B，(2,2,0)C，(0,2,0)D，(0,0,2)P．因为E为PD的中点，第8页（共12页）所以(0,1,1)E．所以(0,1,1)AEuuur，(2,2,2)PCuuur，(0,0,2)APuuur．所以1222,,3333PFPCuuuruuur，224,,333AFAPPFuuuruuuruuur．设平面AEF的法向量为(,,)xyzn，则0,0,AEAFuuuruuurnn即0,2240.333yzxyz令1z，则1y，1x．于是(1,1,1)n．又因为平面PAD的法向量为(1,0,0)p，所以3cos,||||3npnpnp．由题知，二面角--FAEP为锐角，所以其余弦值为33．（3）直线AG在平面AEF内．因为点G在PB上，且23PGPB，(2,1,2)PBuuur，所以2424,,3333PGPBuuuruuur，422,,333AGAPPGuuuruuuruuur．由（Ⅱ）知，平面AEF的法向量(1,1,1)n．所以4220333AGuuurn．所以直线AG在平面AEF内．17.（2019北京卷·理）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：(0,1000](1000,2000]大于2000仅