【河南地区】中考聚焦：第22讲《矩形、菱形与正方形》ppt课件

直角互相平分且相等三个角相等2相等互相垂直平分一组对角中心21/2ab相等互相垂直垂直平分邻边矩形菱形对角线1．一个防范在判定矩形、菱形或正方形时，要明确是在“四边形”还是在“平行四边形”的基础之上来求证的．要熟悉各判定定理的联系和区别，解题时要认真审题，通过对已知条件的分析、综合，最后确定用哪一种判定方法．2．三种联系(1)平行四边形与矩形的联系：在平行四边形的基础上，增加“一个角是直角”或“对角线相等”的条件可为矩形；若在四边形的基础上，则需有三个角是直角(第四个角必是直角)则可判定为矩形．(2)平行四边形与菱形的联系：在平行四边形的基础上，增加“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”的条件可为菱形；若在四边形的基础上，需有四边相等则可判定为菱形．(3)菱形、矩形与正方形的联系：正方形的判定可简记为：菱形＋矩形＝正方形，其证明思路有两个：先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等(即矩形)；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直(即菱形)．DA1．(2016·莆田)菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是()A．对边相等B．对角相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直2．(2016·雅安)如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为120cm2，对角线AC＝24cm，则四边形ABCD的周长为()A．52cmB．40cmC．39cmD．26cmCB3．(2015·河南)如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E.若BF＝6，AB＝5，则AE的长为()A．4B．6C．8D．104．(2016·毕节)如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH.若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是()A．3B．4C．5D．665．(2016·新乡模拟)如图，在菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD，NF⊥AB，若NF＝NM＝2，ME＝3，则AM＝____．矩形【例1】(2016·台州)如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和G，H.(1)求证：△PHC≌△CFP；(2)证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．证明：(1)∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，AD∥BC.∵PF∥AB，∴PF∥CD，∴∠CPF＝∠PCH.∵PH∥AD，∴PH∥BC，∴∠PCF＝∠CPH.在△PHC和△CFP中，∠CPF＝∠PCH，PC＝CP，∠PCF＝∠CPH，∴△PHC≌△CFP(ASA)(2)∵四边形ABCD为矩形，∴∠D＝∠B＝90°.又∵EF∥AB∥CD，GH∥AD∥BC，∴四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形．∵EF∥AB，∴∠CPF＝∠CAB.在Rt△AGP中，∠AGP＝90°，PG＝AG·tan∠CAB.在Rt△CFP中，∠CFP＝90°，CF＝PF·tan∠CPF.S矩形DEPH＝DE·EP＝CF·EP＝PF·EP·tan∠CPF；S矩形PGBF＝PG·PF＝AG·PF·tan∠CAB＝EP·PF·tan∠CAB.∵tan∠CPF＝tan∠CAB，∴S矩形DEPH＝S矩形PGBF.【点评】本题考查了矩形的判定及性质、全等三角形的判定及性质以及平行线的性质，解题的关键是：(1)通过平行找出相等的角；(2)利用矩形的判定定理来证明四边形为矩形．[对应训练]1．(2016·扬州)如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．(1)求证：四边形AECF是平行四边形；(2)若AB＝6，AC＝10，求四边形AECF的面积．(1)证明：∵折叠，∴AM＝AB，CN＝CD，∠FNC＝∠D＝90°，∠AME＝∠B＝90°，∴∠ANF＝90°，∠CME＝90°，∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，AD∥BC，∴AM＝CN，∴AM－MN＝CN－MN，即AN＝CM，在△ANF和△CME中，∠FAN＝∠ECM，AN＝CM，∠ANF＝∠CME，∴△ANF≌△CME(ASA)，∴AF＝CE，又∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形(2)解：∵AB＝6，AC＝10，∴BC＝8，设CE＝x，则EM＝8－x，CM＝10－6＝4，在Rt△CEM中，(8－x)2＋42＝x2，解得：x＝5，∴四边形AECF的面积的面积为：EC·AB＝5×6＝30.菱形260°【例2】(2016·河南)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点M是AC的中点，以AB为直径作⊙O分别交AC，BM于点D，E.(1)求证：MD＝ME；(2)填空：①若AB＝6，当AD＝2DM时，DE＝____；②连接OD，OE，当∠A的度数为____时，四边形ODME是菱形．(1)证明：∵∠ABC＝90°，AM＝MC，∴BM＝AM＝MC，∴∠A＝∠ABM，∵四边形ABED是圆内接四边形，∴∠ADE＋∠ABE＝180°，又∠ADE＋∠MDE＝180°，∴∠MDE＝∠MBA，同理证明：∠MED＝∠A，∴∠MDE＝∠MED，∴MD＝ME.(2)解：①由(1)可知，∠A＝∠MDE，∴DE∥AB，∴DEAB＝MDMA，∵AD＝2DM，∴DM∶MA＝1∶3，∴DE＝13AB＝13×6＝2.故答案为2.②当∠A＝60°时，四边形ODME是菱形．理由：连接OD，OE，∵OA＝OD，∠A＝60°，∴△AOD是等边三角形，∴∠AOD＝60°，∵DE∥AB，∴∠ODE＝∠AOD＝60°，∠MDE＝∠MED＝∠A＝60°，∴△ODE，△DEM都是等边三角形，∴OD＝OE＝EM＝DM，∴四边形OEMD是菱形．故答案为60°.【点评】菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．[对应训练]2．(2016·滨州)如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连接ED，DG.(1)请判断四边形EBGD的形状，并说明理由；(2)若∠ABC＝30°，∠C＝45°，ED＝210，点H是BD上的一个动点，求HG＋HC的最小值．解：(1)四边形EBGD是菱形．理由：∵EG垂直平分BD，∴EB＝ED，GB＝GD，∴∠EBD＝∠EDB，∵∠EBD＝∠DBC，∴∠EDF＝∠GBF，在△EFD和△GFB中，∠EDF＝∠GBF，DF＝BF，∠EFD＝∠GFB，∴△EFD≌△GFB(ASA)，∴ED＝BG，∴BE＝ED＝DG＝GB，∴四边形EBGD是菱形．(2)作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，连接EC交BD于点H，此时HG＋HC最小，在Rt△EBM中，∵∠EMB＝90°，∠EBM＝30°，EB＝ED＝210，∴EM＝12BE＝10，∵DE∥BC，EM⊥BC，DN⊥BC，∴EM∥DN，EM＝DN＝10，MN＝DE＝210，在Rt△DNC中，∵∠DNC＝90°，∠DCN＝45°，∴∠NDC＝∠NCD＝45°，∴DN＝NC＝10，∴MC＝310.在Rt△EMC中，∵∠EMC＝90°，EM＝10，MC＝310，∴EC＝EM2＋MC2＝（10）2＋（310）2＝10.∵HG＋HC＝EH＋HC＝EC，∴HG＋HC的最小值为10.正方形【例3】(2016·贵阳)如图，点E是正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF＝90°，连接CE，CF.(1)求证：△ABF≌△CBE；(2)判断△CEF的形状，并说明理由．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB，∠ABC＝90°，∵△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF＝90°，∴BE＝BF，∴∠ABC－∠CBF＝∠EBF－∠CBF，∴∠ABF＝∠CBE.在△ABF和△CBE中，AB＝CB，∠ABF＝∠CBE，BF＝BE，∴△ABF≌△CBE(SAS)(2)解：△CEF是直角三角形．理由如下：∵△EBF是等腰直角三角形，∴∠BFE＝∠FEB＝45°，∴∠AFB＝180°－∠BFE＝135°，又∵△ABF≌△CBE，∴∠CEB＝∠AFB＝135°，∴∠CEF＝∠CEB－∠FEB＝135°－45°＝90°，∴△CEF是直角三角形．【点评】本题考查了正方形的性质，(1)根据判定定理SAS证明△ABF≌△CBE；(2)通过角的计算得出∠CEF＝90°.解决该题型题目时，通过正方形和等腰三角形的性质找出相等的边，再通过角的计算找出相等的角，以此来证明两三角形全等是关键．[对应训练]3．(2016·杭州)如图，已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形，点E在线段DE上，点A，D，G在同一直线上，且AD＝3，DE＝1，连接AC，CG，AE，并延长AE交CG于点H.(1)求sin∠EAC的值．(2)求线段AH的长．解：(1)作EM⊥AC于M.∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，AD＝DC＝3，∠DCA＝45°，∴在Rt△ADE中，∵∠ADE＝90°，AD＝3，DE＝1，∴AE＝AD2＋DE2＝10，在Rt△EMC中，∵∠EMC＝90°，∠ECM＝45°，EC＝2，∴EM＝CM＝2，∴在Rt△AEM中，sin∠EAM＝EMAE＝210＝55，∴sin∠EAC＝55(2)在△GDC和△EDA中，DG＝DE，∠GDC＝∠EDA，DC＝DA，∴△GDC≌△EDA(SAS)，∴∠GCD＝∠EAD，GC＝AE＝10，∵∠EHC＝∠EDA＝90°，∴AH⊥GC，∵S△AGC＝12·AG·DC＝12·GC·AH，∴12×4×3＝12×10×AH，∴AH＝6510.22.不认真画图导致错误试题在△ABC的两边AB，AC上向形外作正方形ABEF，ACGH，过点A作BC的垂线分别交BC于点D，交FH于点M，求证：FM＝MH.错解证明：如图，∵四边形ABEF与四边形ACGH都是正方形，∴AF＝AB，AH＝AC.又∵∠FAH＝∠BAC，∴△AFH≌△ABC，∴∠5＝∠2.∵∠3＋∠1＝90°，∠3＋∠2＝90°，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠5.∵∠1＝∠4，∴∠4＝∠5.∴AM＝FM.同理，AM＝MH，故FM＝MH.剖析上述解法错在将∠BAC画成了直角(题中没有这个条件)，从而导致∠FAH，∠BAC和∠1，∠4分别成为对顶角，不认真画图，匆匆忙忙进行推理，就很容易犯错误．正解证明：分别过F，H作FK⊥MD，HL⊥MD，垂足为K，L.∵四边形ACGH是正方形，∴AC＝AH，∠CAH＝90°，∴∠1＋∠2＝90°，∵AD⊥BC，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3.又∵∠HLA＝∠ADC＝90°，∴△AHL≌△CAD，∴HL＝AD.同理：△AFK≌△BAD，∴FK＝AD，∴FK＝HL.又∵∠FMK＝∠HML，∠FKM＝∠HLM＝90°，∴△FMK≌△HML，∴FM＝MH.