2005年北京卷高考理科数学试题

2005年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第II卷3至9页，共150分.考试时间120分钟.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷（选择题共40分）注意事项：1.答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上.2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试卷上.一、选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设全集UR，集合{|1}Mxx，2{|1}Pxx，则下列关系中正确的是A.MPB.P⫋MC.M⫋PD.UMPð2．“12m”是“直线(2)310mxmy与直线(2)(2)30mxmy相互垂直”的A.充分必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件3.若||1,||2,abcab，且ca，则向量a与b的夹角为A.30°B.60°C.120°D.150°4.从原点向圆2212270xyy作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为A.B.2C.4D.65.对任意的锐角,，下列不等关系中正确的是A.sin()sinsinB.sin()coscosC.cos()sinsinD.cos()coscos6.在正四面体PABC中，DEF、、分别是ABBCCA、、的中点，下面四个结论中不成立．．．的是A.//BCPDF平面B.DFPAE平面C.PDFABC平面平面D.PAEABC平面平面7.北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为A.124414128CCCB.124414128CAAC.12441412833CCCAD.12443141283CCCA8.函数1cos2()cosxfxxA.在[0,),(,]22上递增，在33[,),(,2]22上递减B.在3[0,),[,)22上递增，在3(,],(,2]22上递减C.在3(,],(,2]22上递增，在3[0,),[,)22上递减D.在33[,),(,2]22上递增，在[0,),(,]22上递减二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9.若12zai，234zi，且12zz为纯虚数，则实数a的值为．10.已知tan22，则tan的值为，tan()4的值为.11.61()xx的展开式中的常数项是（用数字作答）12.过原点作曲线xye的切线，则切点的坐标为，切线的斜率为．13.对于函数()fx定义域中任意的1212,()xxxx，有如下结论：①1212()()()fxxfxfx；②1212()()()fxxfxfx；③1212()()0fxfxxx；④1212()()()22xxfxfxf.当()lgfxx时，上述结论中正确结论的序号是.14.已知n次多项式1011()nnnnnPxaxaxaxa.如果在一种算法中，计算0(2,3,4,...,)kxkn的值需要1k乘法，计算30()Px的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算0()nPx的值共需要次运算．下面给出一种减少运算次数的算法：0011(),()()kkkPxaPxxPxa(0,1,2,...,1)kn．利用该算法，计算30()Px的值共需要6次运算，计算0()nPx的值共需要次运算．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题共13分）已知函数32()39fxxxxa，⑴求()fx的单调递减区间；⑵若()fx在区间[2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．16．（本小题共14分）如图，在直四棱柱1111ABCDABCD中，2ABAD，23DC，13AA，ADDC，ACBD，垂足为E.⑴求证：1BDAC；⑵求二面角11ABDC的大小；⑶求异面直线AD与1BC所成角的大小．17.（本小题共13分）甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为21，乙每次击中目标的概率32.⑴记甲击中目标的次数为，求的概率分布及数学期望E；⑵求乙至多击中目标2次的概率；⑶求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．18.（本小题共14分）如图，直线1:(0)lykxk与直线2:lykx之间的阴影区域（不含边界）记为W，其左半部分记为1W，右半部分记为2W．⑴分别用不等式组表示1W和2W；⑵若区域W中的动点(,)Pxy到1l，2l的距离之积等于2d，求点P的轨迹C的方程；⑶设不过原点O的直线l与⑵中的曲线C相交于12,MM两点，且与1l，2l分别交于34,MM两点.求证12OMM的重心与34OMM的重心重合．19.（本小题共12分）设数列{}na的首项114aa，且11214nnnanaan为偶数为奇数，记2114nnba，1,2,3,...n.⑴求23,aa；⑵判断数列{}nb是否为等比数列，并证明你的结论；⑶求123lim()nnbbbb．20.（本小题共14分）设()fx是定义在[0,1]上的函数，若存在(0,1)x，使得()fx在[0,]x上单调递增，在[,1]x上单调递减，则称()fx为[0,1]上的单峰函数，x为峰点，包含峰点的区间为含峰区间．对任意的[0,1]上的单峰函数()fx，下面研究缩短其含峰区间长度的方法．⑴证明：对任意的1212,(0,1),xxxx，若12()()fxfx，则2(0,)x为含峰区间；若12()()fxfx，则1(,1)x为含峰区间；⑵对给定的(00.5)rr，证明：存在12,(0,1)xx，满足212xxr，使得由⑴所确定的含峰区间的长度不大于0.5r；⑶选取1212,(0,1),xxxx，由⑴可确定含峰区间为2(0,)x或1(,1)x，在所得的含峰区间内选取3x，由3x与1x或3x与2x类似地可确定一个新的含峰区间．在第一次确定的含峰区间为2(0,)x的情况下，试确定1x，2x，3x的值，满足两两之差的绝对值不小于0.02，且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34.（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）2005年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）C（2）B（3）C（4）B（5）D（6）C（7）A（8）A二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）38（10）－34；－71（11）15（12）(1,e)；e（13）②③（14）21n(n＋3)；2n三、解答题（本大题共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（I）f’(x)＝－3x2＋6x＋9．令f‘(x)0，解得x－1或x3，所以函数f(x)的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．（II）因为f(－2)＝8＋12－18＋a=2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，所以f(2)f(－2)．因为在（－1，3）上f‘(x)0，所以f(x)在[－1,2]上单调递增，又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值，于是有22＋a＝20，解得a＝－2．故f(x)=－x3＋3x2＋9x－2，因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7．（16）（共14分）（I）在直四棱柱ABCD－AB1C1D1中，∵AA1⊥底面ABCD．∴AC是A1C在平面ABCD上的射影．∵BD⊥AC．∴BD⊥A1C；（II）连结A1E，C1E，A1C1．与（I）同理可证BD⊥A1E，BD⊥C1E，∴∠A1EC1为二面角A1－BD－C1的平面角．∵AD⊥DC，∴∠A1D1C1=∠ADC＝90°，又A1D1=AD＝2，D1C1=DC＝23，AA1=3且AC⊥BD，∴A1C1＝4，AE＝1，EC＝3，∴A1E＝2，C1E＝23，在△A1EC1中，A1C12＝A1E2＋C1E2，∴∠A1EC1＝90°，即二面角A1－BD－C1的大小为90°．（III）过B作BF//AD交AC于F，连结FC1，则∠C1BF就是AD与BC1所成的角．∵AB＝AD＝2，BD⊥AC，AE＝1，∴BF=2，EF＝1，FC＝2，BC＝DC，∴FC1=7，BC1＝15，在△BFC1中，1154715cos51215CBF,∴∠C1BF=15arccos5即异面直线AD与BC1所成角的大小为15arccos5．（17）（共13分）解：（I）P(ξ＝0)＝03311()28C，P(ξ＝1)＝13313()28C，P(ξ＝2)＝23313()28C，P(ξ＝3)＝33311()28C，ξ的概率分布如下表：Eξ＝133101231.58888,（或Eξ=3·21=1.5）；（II）乙至多击中目标2次的概率为1－3332()3C=1927；（III）设甲恰比乙多击中目标2次为事件A，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件B1，甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次为事件B2，则A＝B1＋B2，B1，B2为互斥事件．1231121()()()8278924PAPBPB所以，甲恰好比乙多击中目标2次的概率为124.（18）（共14分）解：（I）W1={(x,y)|kxy－kx,x0}，W2={(x,y)|－kxykx,x0}，（II）直线l1：kx－y＝0，直线l2：kx＋y＝0，由题意得222||||11kxykxydkk,即22222||1kxydk，由P(x,y)∈W，知k2x2－y20，所以222221kxydk，即22222(1)0kxykd,所以动点P的轨迹C的方程为22222(1)0kxykd；（III）当直线l与x轴垂直时，可设直线l的方程为x＝a（a≠0）．由于直线l，曲线C关于x轴对称，且l1与l2关于x轴对称，于是M1M2，M3M4的中点坐标都为（a，0），所ξ0123P81838381以△OM1M2，△OM3M4的重心坐标都为（32a，0），即它们的重心重合，当直线l1与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=mx+n（n≠0）．由22222(1)0kxykdymxn，得2222222()20kmxmnxnkdd由直线l与曲线C有两个不同交点，可知k2－m2≠0且△=2222222(2)4()()mnkmnkdd0设M1，M2的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，则12222mnxxkm,1212()2yymxxn,设M3，M4的坐标分别为(x3,y3)，(x4,y4)，由及ykxykxymxnymxn得34,nnxxkmkm从而3412222mnxxxxkm，所以y3+y4=m(x3+x4)+2n＝m(x1+x2)+2n＝y1+y2,于是△OM1M2的重心与△OM3M4的重心也重合．（19）（共12分）解：（I）a2＝a1+41=a+41，a3=21a2=21a+81；（II）∵a4=a3+41=21a+83,所以a5=21a4=41a+316,所以b1=a1－41=a－41,b2=a3－41=21(a－41),b3=a5－41=41(a－41),猜想：{bn}是公比为21的等比数列·证明如下：因为bn+1＝a2n+1－41=21