数值分析19切比雪夫多项式

函数逼近与希尔伯特矩阵切比雪夫多项式勒让德多项式正交多项式的应用《数值分析》19函数逼近中的伯恩斯坦多项式，f(x)∈C[0，1]nkkknknnxxCnkfxB0)1()()(Bezier曲线mkkkmkkmxttCtx0)1()(mkkkmkkmyttCty0)1()(P0P1P2P32/18引例.求二次多项式P(x)=a0+a1x+a2x2使min)]sin()([102dxxxP00.5101连续函数的最佳平方逼近已知f(x)∈C[0,1],求多项式P(x)=a0+a1x+a2x2+……+anxn使得min)]()([102dxxfxPL102010])([),,,(dxxfxaaaaLnjjjn令njjjnjjjdxxfdxxfxadxxaL0102101020)]([)(2][3/1810010)(22dxxfxdxxaaLknjkjjknnbbbaaannnn1010)12/(1)1/(1)2/(13/12/1)1/(12/11系数矩阵被称为Hilbert矩阵0kaL令10)(dxxfxbkk记4/18定义6.3设f(x),g(x)∈C[a,b],ρ(x)是区间[a,b]上的权函数,若等式0)()()(),(badxxgxfxgf成立,则称f(x),g(x)在[a,b]上带权ρ(x)正交.当ρ(x)=1时,简称正交。例1验证0(x)=1,1(x)=x在[–1,1]上正交,并求二次多项式2(x)使之与0(x),1(x)正交01)()(111110xdxdxxx解:4/18设2(x)=x2+a21x+a220)(1112dxx0)(112dxxx31)(22xx所以,0)(1122212dxaxax0)(1122212dxaxaxxa22=-1/3a21=02/3+2a22=02a21/3=05/18切比雪夫多项式:T0(x)=1,T1(x)=cos=x,T2(x)=cos2······Tn(x)=cos(n),·········由cos(n+1)=2coscos(n)–cos(n-1)得Tn+1(x)=2xTn(x)–Tn-1(x)(n≥1)所以,T0(x)=1,T1(x)=x,T2(x)=2x2–1,···········1.递推公式:7/18T0(x)=1,T1(x)=x,T2(x)=2x2–1T3(x)=4x3–3x,T4(x)=8x4–8x2+1前五个切比雪夫多项式图形8/180)cos()cos(0dnm(m≠n)0coscos)()(11),(0112dnmdxxTxTxTTnmnm所以,切比雪夫多项式在[–1,1]上带权正交211)(xx2.切比雪夫多项式的正交性9/183.切比雪夫多项式零点n阶Chebyshev多项式:Tn=cos(n),或,Tn(x)=cos(narccosx)2)12(arccoskxn(k=0,1,···,n-1)取T1=cos=x)2)12(cos(nkxk即(k=0,1,···,n-1)10/184.切比雪夫多项式的极性Tn(x)的最高次项xn的系数为2n–1所有最高次项系数为1的n次多项式中,Pn(x)=21–nTn(x)则min|)(|max11xPnx例如tk=–1+0.2k(k=0,1,2,···,10))22)12(cos(kxk(k=0,1,2,···,10)11/18令,P11(x)=(x–x0)(x–x1)···(x–x10)Q11(x)=(x–t0)(x–t1)···(x–t10)则有|)(|max|)(|max11111111xQxPxx-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-0.01-0.00500.0050.01P11(x)Q11(x)12/18勒让德(Legendre)多项式1.表达式P0(x)=1,P1(x)=x])1[(!21)(2nnnnnxdxdnxP(n≥1)2.正交性nmnnmdxxPxPnm,122,0)()(1113/183.递推式111011121nnnpnnxpnnpxpp,,)()(132122xxp)()(xxxp3521334.零点分布Pn(x)的n个零点,落入区间[–1,1]中P2(x)的两个零点:P3(x)的三个零点:311x312x531x02x533x14/18用正交多项式作最佳平方逼近设P0(x),P1(x),···,Pn(x)为区间[a,b]上的正交多项式,即0)()(),(bajkjkdxxPxPPP(k≠j,k,j=0,1,···,n)求P(x)=a0P0(x)+a1P1(x)+···+anPn(x)min)]()([2badxxfxPL使15/18banjjjndxxfxPaaaaL2010)]()([),,,(),(),(kkkkPPfPa(k=0,1,2,···,n)dxxfxPaxPaLnjjjbakk0)]()([)(20kaL令10)()(dxxfxPk记(Pk,f)=)(,0)()(),(jkdxxPxPPPbajkjk由于则有),(),(fPaPPkkkk(k=0,1,2,···,n)nkkkkkxPPPfPxP0)(),(),()(f(x)的平方逼近16/18例6在区间[1/4,1]上求函数f(x)=的一次多项式最佳平方逼近x解:令P0(x)=1,P1(x)=x–5/8,则(P0,P0)=3/4,(P1,P1)=9/256,(P0,f)=7/12,(P1,f)=11/480所以,97),(),(0000PPfPa13588),(),(1111PPfPa广义付立叶级数部分和)(),(),()(),(),()(),(),()(11110000xPPPfPxPPPfPxPPPfPxPNNNN17/180.20.30.40.50.60.70.80.910.50.60.70.80.91)85(1358897)(xxPxxf)(最佳平方逼近:)85(1358897)(xxP18/18